差分方程模型学习教案

1、会计学1差分方程模型差分方程模型第一页，编辑于星期日：十四点 四十七分。t 规定 只取非负整数，记 为变量在 点的取值，则称 为 的一阶向前差分，称为 的二阶差分。 由 、 及 的差分给出的方程称为 的差分方程。其中含 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶数。差分方程也可以写成不显含差分的形式，例如二阶差分方程 可以写成ttytttyyy1tytttttttyyyyyyy12122)(tyttttytytyty02tttyyy012tttyyy第1页/共27页第二页，编辑于星期日：十四点 四十七分。 满足一阶差分方程的序列 称为差分方程的解，若解中含有独立的常数的个数等于差分方程的阶数时，称此

2、解为该差分方程的通解。 称如下形式的差分方程 为 阶常系数线性差分方程，其中 是常数， 。其对应的齐次方程为ty)(110tbyayayatnntntnnaaa,1000a0110tnntntyayaya第2页/共27页第三页，编辑于星期日：十四点 四十七分。0110nnnaaann,1tnntcc11ktkktcc)(11itctcttsincos1122arctan第3页/共27页第四页，编辑于星期日：十四点 四十七分。kittccttcctkktkksin)(cos)(1111tytyttyy )(tb)()(tpbtbkt)(tpktkb)(tqbkt)(tqktkbr)(1tqtbk

3、rt)(tqk第4页/共27页第五页，编辑于星期日：十四点 四十七分。解 对应齐次方程的特征方程为 ，其特征根为 ，故齐次方程的通解为，原方程有形如 的特解，带入原方程求得 ，所以原方程的通解为在应用差分方程研究问题时，需要讨论解的稳定性。对常系数非齐次线性差分方程，若不论其对应齐次方程的通解中的任意常数如何取值，当 时， ，则称方程的解是稳定的。tyytt2012i2, 1tctcyt2sin2cos21bat 2/1, 2/1ba21212sin2cos21ttctct0ty第5页/共27页第六页，编辑于星期日：十四点 四十七分。ZZ, 1 , 0),(kkx)(kxZ0)()()(kkz

4、kxkxZzXz)(zXZ)()(1zXZkx第6页/共27页第七页，编辑于星期日：十四点 四十七分。几个常用离散函数的几个常用离散函数的 变换变换 (3) 单边指数函数 的 变换( 为不等于1的正常数)(1) 单位冲激函数 的 变换(2) 单位阶跃函数 的 变换Z0011 )()(kkkkzzkkZ)(kZ)(kUZ) 1|(|11)()(00zzzzzkUkUZkkkkkakf)(Za)|(|0azazzzaaZkkkk第7页/共27页第八页，编辑于星期日：十四点 四十七分。(1)线性性质 设 ，则 变换的性变换的性质质(2)平移性质：设 ，则Z)()(),()(2211zXkxZzXkx

5、Z)()()()(2121zbXzaXkbxkaxZ)()(zXkxZ)0()()1(xzXzkxZ)()()(10NkkNzkxzXzNkxZ) 1()()1(1zxzXzkxZ)()()(1NkkNzkxzXzNkxZ第8页/共27页第九页，编辑于星期日：十四点 四十七分。解 令 ，对差分方程取 变换得 对上式取 反变换，便得差分方程的解为1) 1 (, 0)0(, 0)(2) 1(3)2(xxkxkxkx)()(zXkxZZ0)(2)(3)(2zXzzXzzXz2123)(2zzzzzzzzXZkkkx)2() 1()(第9页/共27页第十页，编辑于星期日：十四点 四十七分。第10页/共

6、27页第十一页，编辑于星期日：十四点 四十七分。kkxky)(kkxfy )(1kkygx第11页/共27页第十二页，编辑于星期日：十四点 四十七分。),(000yxP0P)(),(0000 xfyygxk0 xxk), 1( ,00kklxxyyll0 x0y01xx kkyx ,第12页/共27页第十三页，编辑于星期日：十四点 四十七分。1x1yf1P1P2xg2P2yff3P),(),(),(),(234223122111yxPyxPyxPyxPkPkP),(),(lim000yxPyxPkk第13页/共27页第十四页，编辑于星期日：十四点 四十七分。gfg,21PP0P第14页/共27

7、页第十五页，编辑于星期日：十四点 四十七分。,3221PPPPfgfg0P|01xx 0Pfg0P| )(| )(|00ygxf0P| )(| )(|00ygxf0P第15页/共27页第十六页，编辑于星期日：十四点 四十七分。| )(|1|,)(|00ygxf0Pfg)(00 xxyykk)(001yyxxkkky02231201201)1 ()()()()1)()()()1 (xxxxxxxxxkkkkkk第16页/共27页第十七页，编辑于星期日：十四点 四十七分。01121022132)1 ()()()()1 ()()()(xxxxxxkkkkkkk011011)(1 )()()(1 )1

8、 ()(xxxxxkkkkk0P0limxxkk0P10P1第17页/共27页第十八页，编辑于星期日：十四点 四十七分。1kxky1ky)2(11kkkyygx0P)2(20101yyyxxkkk)(00 xxyykk)(0101xxyykk), 3 , 2( ,)1 (22011kxxxxkkk第18页/共27页第十九页，编辑于星期日：十四点 四十七分。02248)(22, 10P8448)(222|20P824)(84)(|2/1222, 1第19页/共27页第二十页，编辑于星期日：十四点 四十七分。0P2,第20页/共27页第二十一页，编辑于星期日：十四点 四十七分。第一第一 年年第二第

9、二 年年第三第三 年年第四第四 年年第五第五 年年1111213151621618224253252627303241214151517第21页/共27页第二十二页，编辑于星期日：十四点 四十七分。tyt32211ayayayttt321,aaa53232211ttttayayay第22页/共27页第二十三页，编辑于星期日：十四点 四十七分。,19,2176yy20, 2 , 1t38241ayayayttt321,aaa209238241321),(ttttayayayaaaQ)21( ,6957. 01941. 08737. 084tyyyttt1676.19,5869.172521yy第23页/共27页第二十四页，编辑于星期日：十四点 四十七分。第24页/共27页第二十五页，编辑于星期日：十四点 四十七分。kkF1, 1,)1 (1, 1 , 0,)1 (11MNNkqrFFNkprFFkkkkqp,rMN,600,420,2282,200MNqp00MFF第25页/共27页第二十六页，编辑于星期日：十四点 四十七分。于是得到由于 ，可得如下方程MNkrqrFNkrprFMkkkk, 1,)1 (1 , 1 , 0,