九上《243正多边形和圆》

1、正多边形正多边形各边相等，各角也相等的多边形各边相等，各角也相等的多边形. .几种常见的正多边形几种常见的正多边形生活中的正多边形图案生活中的正多边形图案生活中的正多边形图案生活中的正多边形图案正多边形的性质正多边形的性质60正正n边形内角和：边形内角和：(n2)180108 每条边都相等每条边都相等 每个角都相等每个角都相等135 轴对称图形轴对称图形， 一个正一个正n边形共有边形共有n条对称轴条对称轴， 每条对称轴都通过每条对称轴都通过n边形的边形的中心中心.正多边形的性质正多边形的性质正五边形正五边形正八边形正八边形正三边形正三边形什么叫中心？什么叫中心？ 边数是边数是偶数偶数的正多边形

2、的正多边形 是是中心对称图形中心对称图形， 它的它的中心中心就是就是对称中心对称中心.正八边形正八边形正六边形正六边形正多边形的性质正多边形的性质菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？菱形的四个角不相等菱形的四个角不相等. .矩形的四条边不相等矩形的四条边不相等. .CABDE 正多边形和圆的关系非常密切，把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.123ABCDE45证明：证明：AB=BC=CD=DE=EA AB=BC=CD=DE=EA BCE=CDA=3AB 1=2 同理同理2=3=4=5 又又顶点顶点A、B、

3、C、D、E都在都在 O上，上， 五边形五边形ABCDE是是 O的内接正五边形的内接正五边形. O是五边形是五边形ABCDE的外接圆的外接圆. 定理证明定理证明 把圆分成把圆分成 n（n3）等份：）等份： 依次连结各分点所得的多边形是依次连结各分点所得的多边形是这个圆的这个圆的内接正多边形内接正多边形.内接正多边形内接正多边形EFCD.正多边形及外接圆中的有关概念正多边形及外接圆中的有关概念EFCD.n360中心角nBOGAOG180AB边心距边心距OG把把AOB分成分成2个全等的直角三角形个全等的直角三角形.设正多边形的边长为设正多边形的边长为a，半径为，半径为R，它的周长，它的周长为为L =

4、 na.Ra）边心距（）边心距（面积，边心距）（rnarLSraR2121222正多边形的有关计算正多边形的有关计算ABCD正多边形正多边形外接圆外接圆内接正多边形与外接圆的联系内接正多边形与外接圆的联系把正把正n边形的边数无限增多，边形的边数无限增多，正多边形正多边形就接近于圆就接近于圆.圆圆由圆怎样得到由圆怎样得到正多边形？正多边形？ 把一个圆把一个圆4等分，并依次连接这些点等分，并依次连接这些点,得到正多边形吗得到正多边形吗?探究探究正方形正方形已知已知 O的半径为的半径为2cm，求作圆的内接正三角形，求作圆的内接正三角形120 AOCB探究探究用量角器度量，使用量角器度量，使AOB=B

5、OC=COA=120用量角器或用量角器或30角的三角的三角板度量，使角板度量，使BAO=CAO=30一题多解一题多解量角器作图量角器作图 你能用以上方法画出正四边形、正五边形、你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？正六边形吗？ABCDOABCDEOOABCDEF907260 你能用尺规作出正四边形、正八边形吗？你能用尺规作出正四边形、正八边形吗？ABCDO探究探究尺规作图尺规作图 作出已知作出已知 O的互相垂直的直的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与各边的垂线与 O相交，或作各中相交，或作各中心角的角平分线与心角的角平分线与 O相交

6、，即得相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六正十六边形、正三十二边形、正六十四边形十四边形 你能用尺规作出正六边形、正三角形、你能用尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？正十二边形吗？OABCEFD 以半径长在圆周上截取以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形等分点，则作出正六边形. 先作出正六边形，则可先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，作正三角形，正十二边形，正二十四边形正二十四边形 有一个亭子它的地基是半径为有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形，的正六边形，求地

7、基的周长和面积（精确到求地基的周长和面积（精确到0.1平方米）平方米）.FADE.rRP解解:.606360半径六边形的边长等于它的是等边三角形，从而正，它的中心角等于是正六边形，所以由于OBCABCDEF亭子的周长亭子的周长 L=64=24(m)(6 .4132242121322242422224mLrSrBCPCOCOPCRt亭子的面积心距根据勾股定理，可得边，中，在例题ABCDEO 已知点已知点A、B、C、D、E是是 O 的的5等分点，等分点，画出画出 O的的内接正五边形内接正五边形和和外切正五边形外切正五边形. 把圆分成把圆分成 n（n3）等份：）等份： 经过各分点作圆的经过各分点作圆

8、的切线切线，以相邻，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆切线的交点为顶点的多边形是这个圆的的外切正多边形外切正多边形.外切正多边形外切正多边形又又五边形五边形PQRST的各边都与的各边都与 O相切，相切，五边形五边形PQRST的是的是O外切正五边形。外切正五边形。 证明：连结证明：连结OA、OB、OC，则：，则：OAB=OBA=OBC=OCBTP、PQ、QR分别是以分别是以A、B、C为切点的为切点的 O的切线的切线OAP=OBP=OBQ=OCQPAB=PBA=QBC=QCB又又AB=BCAB=BCPAB与与QBC是全等的等腰三角形。是全等的等腰三角形。P=Q PQ=2PA同理同理Q=R=S=

9、T QR=RS=ST=TP=2PA ABCDEP PQ QR RS ST TO定理证明定理证明正正多多边边形形概念概念计算计算画法画法应用应用正多边形与圆的关系正多边形与圆的关系正多边形的中心、半径、边心距、中心角正多边形的中心、半径、边心距、中心角正多边形的对称性、相似性正多边形的对称性、相似性半径、边心距、中心角的计算半径、边心距、中心角的计算边长、面积的计算边长、面积的计算量角器等分圆周画正多边形量角器等分圆周画正多边形尺规作正方形、正六边形等尺规作正方形、正六边形等圆的周长、弧长及组合图形周长的计算圆的周长、弧长及组合图形周长的计算圆面积、扇形面积及组合图形面积的计算圆面积、扇形面积及

10、组合图形面积的计算 1. 正正n边形的一个内角的度数是边形的一个内角的度数是_;中心角是中心角是_；正多边形的中心角与外角的正多边形的中心角与外角的大小关系是大小关系是_.n360nn1802）（相等相等 2. O是正是正ABC的中心，它是的中心，它是ABC的的_圆与圆与_圆的圆心圆的圆心.外接外接内切内切 3. OB叫正叫正ABC的的_ ，它是正，它是正ABC的的_圆的半径圆的半径. 4. OD叫作正叫作正ABC的的_ ，它是，它是正正ABC的的_ 圆的半径。圆的半径。ABC.OD半径半径外接外接边心距边心距内切内切ABCDE5. 求证：正五边形的对角线相等求证：正五边形的对角线相等.证明：

11、连结证明：连结BD、CE，则，则 在在BCD和和CDE中中 BC=CD BCD=CDE CD=DE BCD CDE BD=CE 同理可证对角线相等同理可证对角线相等. 6. 正六边形正六边形ABCDEF外切于外切于 O， O的半的半径为径为R，则该正六边形的周长和面积各是多少？，则该正六边形的周长和面积各是多少？266323421621 34126 33130tan ,30tan ， ,3021 , ., OBO, :RRROMABSRAMABPROMAMOMAMROMAOBAOMAOMRtBMAMMABOMOMOA、M，AB中在于则连结于切设如图解ABCDEFOMR 8. 正六边形正六边形A

12、BCDEF的边长是的边长是a，分别以，分别以C、F为为圆心，圆心，a为半径作弧，则图中阴影部分的周长是为半径作弧，则图中阴影部分的周长是_.aaaEDlCaalCFABCDEFEAEA364)32(2)(2 32180120 120 , :阴影中正六边形解ABCDEF2)233()2(36 2 )( 2 ,120 , , :aSSSSSSSSSSSSCOAAOCCOAAOCCOAOOAOCAOCAOCOAOCAOCOAOCCOAAOCOAOCAOC扇形小弓形阴影扇形扇形弓形小弓形则连结的圆心为设如图解 9. 等边等边ABC的边长为的边长为 a ,以各边为弦以各边为弦作弧交于作弧交于ABC的外心

13、的外心O. 求求:菊形的面积菊形的面积.ABCOO 10. A是半径为是半径为2的的 O外的一点外的一点,OA=4,AB是是 O的切线的切线,点点B是切点是切点,弦弦BCOA,边结边结AC,则图中阴影部分的面积等于则图中阴影部分的面积等于 ( )A. 32360260 60 , 2, 4 , D.BOAC, OB,OC,，2故选由同底等高知交于点设连结如图扇形阴影COBADBOCDSSCODOABDOBOASSABCDO332 D. C. 38 B. 32 A. AABCDEF 11. 已知正六边形已知正六边形ABCDEF的边长为的边长为2厘米厘米, 分分别以每个顶点为圆心别以每个顶点为圆心, 以以1厘米为半径作弧厘米为半径作弧, 求这些弧求这些弧所围成的图形所围成的图形(阴影部分阴影部分)面积面积.(精确到精确到0.1平方厘米平方厘米).HG)4.1( 236 360112062436 6222cmSSSAGH扇形正六边形阴O 3. 至少是至少是 . 4. 正多边形是轴对称图形，奇数边的正多正多边形