第三章等价线性化法、谐波平衡法、

1、第三章等价线性化法、谐波平衡法、 3.1 等价线性化法等价线性化法 3.1.1 自治系统自治系统 已知某非线性振动方程，其阻尼力与弹性力具有非线性已知某非线性振动方程，其阻尼力与弹性力具有非线性 特征，其振动方程可表示为以下形式：特征，其振动方程可表示为以下形式： (3-1)式中式中 非线性惯性力与非线性阻尼力的综合表达式；非线性惯性力与非线性阻尼力的综合表达式； 非线性阻尼力与非线性弹性力的综合表达式。非线性阻尼力与非线性弹性力的综合表达式。 mxfx xfx xmk, 0 fx xm, fx xk, 用等价线性化方法求非线性振动方程的解，首先应建用等价线性化方法求非线性振动方程的解，首先应

2、建 立一个与立一个与 非线性振动方程相对应的等价线性化振动方程，非线性振动方程相对应的等价线性化振动方程，即即 (3-2)式中式中 等价质量；等价质量； 等价阻力系数；等价阻力系数； 等价弹簧刚度。等价弹簧刚度。m xc xk xeee 0meceke 设等价线性振动方程设等价线性振动方程 (3-2) 有以下形式的解：有以下形式的解： (3-3) 对于小阻尼情况对于小阻尼情况, 式中的振幅式中的振幅 a 和等效阻尼比和等效阻尼比 与等与等效固有频率效固有频率 可表示为可表示为 (3-4)x ataxaxaeeecoscossincos2 e eeeeeeeetmkmceaae2202 将式将式

3、 (3-3) 代入式代入式 (3-1) 和式和式 (3-2) 中中, 并将非线性函数展并将非线性函数展为富氐级数为富氐级数, 便可求出等价质量便可求出等价质量 、等价阻力系数、等价阻力系数 与等与等价弹簧刚度价弹簧刚度 的值。的值。 首先将非线性函数展为富氏级数，即首先将非线性函数展为富氏级数，即: (3-5)mecekefx xccndnfx xaanbnnmnnnknnn, cossin, cossin, , ,010112 3 对于一般非线性振动系统，按富氏级数展开的一次谐波力对于一般非线性振动系统，按富氏级数展开的一次谐波力远大于二次及其他高次谐波力，因此可以将后者看作是小量，远大于二

4、次及其他高次谐波力，因此可以将后者看作是小量，近似计算时可略去。这时可取近似值为近似计算时可略去。这时可取近似值为 (3-6) 按照富氏级数的公式，系数按照富氏级数的公式，系数 、c1、d1和和 、 、 可可按下式计算：按下式计算： (3.7)sincos,sincos,1111baxxfdcxxfkm c0a0a1b1cf am00212,dcf adf amm10210211 ,cos,sind dafaafabfafafaafafaakkkmmkk00210210221211 ,cos,sin,cos,sin,cos,sindd d 将式将式 (3-6) 和式和式 (3-7) 代入式代入

5、式 (3-1) 中，可得：中，可得： (3-8) 当考虑当考虑 (3-3) 式的近似值时，有式的近似值时，有 mxfafafafammkk,coscos,sinsin,coscos,sinsin1111002020202 ddddmxafaxafaxafaxafaxememkek,cos,sin,cos,sin11110202020202 dddd对应于式对应于式 (3-2) 的等价质量的等价质量 、等价阻力系数、等价阻力系数 与等价与等价刚度刚度 分别为：分别为： (3-9) 将式将式(3-9)的值代入式的值代入式(3-4)中中, 便可求出等价衰减系数便可求出等价衰减系数 与与等价固有频率等

6、价固有频率 ： (3-10)mecekemmafacafaafakafaeemeemekek 1111202020202 ,cos,sin,sin,cosdddd e e2020dsin,dsin,212afafammckmeeeee eddkmafamafaeekem1102202,cos,cos3.1.2 非自治系统非自治系统 假如已知某非线性振动方程，其阻尼力与弹性力具有假如已知某非线性振动方程，其阻尼力与弹性力具有 非线性特征，其振动方程可表示为以下形式：非线性特征，其振动方程可表示为以下形式： (3-11)式中式中 非线性惯性力与非线性阻尼力的综合表达式；非线性惯性力与非线性阻尼力的

7、综合表达式； 非线性阻尼力与非线性弹性力的综合表达式。非线性阻尼力与非线性弹性力的综合表达式。 非线性振动方程非线性振动方程(3-11)相对应的等价线性化振动方程为相对应的等价线性化振动方程为 (3-12)式中式中 等价质量；等价质量； 等价阻力系数；等价阻力系数； 等价弹簧刚度等价弹簧刚度; 不变的作用力。不变的作用力。 mxfx xfx xFtmk, , sin fx xm, fx xk,m xc xk xFFteeesin 0 mecekeF0 只要求出等价质量只要求出等价质量 、等价阻力系数、等价阻力系数 和等价弹簧刚和等价弹簧刚度度 , 非线性振动方程就可以近似地按照线性振动方程进行

8、非线性振动方程就可以近似地按照线性振动方程进行求解。由于阻尼的存在求解。由于阻尼的存在, 自由振动在经过一定时间后将会消失自由振动在经过一定时间后将会消失, 所以可设等价线性振动方程所以可设等价线性振动方程 (3-12) 有以下形式的强迫振动解：有以下形式的强迫振动解： (3-13) 因此，等价线性化振幅因此，等价线性化振幅 A、相位差角、相位差角 分别可由下式求分别可由下式求出：出： (3-14)mecekexAAtAAxAxAt002sinsincossin AFkmckmAFkeeeeecos2200 arc tg 等价质量等价质量 、等价阻力系数、等价阻力系数 与等价弹簧刚度与等价弹簧

9、刚度 的值，的值，可以通过将非线性惯性力、非线性阻尼力与非性弹性力是按富可以通过将非线性惯性力、非线性阻尼力与非性弹性力是按富氏级数展开的方法得出：氏级数展开的方法得出： (3-15)对于一般非线性振动系统，按富氏级数展开的一次谐波力远对于一般非线性振动系统，按富氏级数展开的一次谐波力远大于二次和其他高次谐波力及常数项，因此可以将后者看作是大于二次和其他高次谐波力及常数项，因此可以将后者看作是小量，近似计算时略去。这时可取近似值为小量，近似计算时略去。这时可取近似值为 (3-16) mecekefx xccndnfx xaanbnnmnnnknnn, cossin, cossin, , ,01

10、011 2 3sincos,sincos,110110baaxxfdccxxfkm 按照富氏级数的公式，系数按照富氏级数的公式，系数 、c1、d1和和 、 、 可可按下式计算：按下式计算： (3-17)c0a0a1b1cfAcfAdfAafA AafA AbfA Ammmkkk00210210200021002100212111211 ,cos,sin, , ,cos, ,sindd ddd dcos,sin,cos,sin,002AAAfAAfAAfAfkkmm 将式将式(3-16)和式和式(3-17)代入式代入式(3-11)中，可得：中，可得： (3-18)mxfA AfA Af A Af

11、 A AFtfAf A Ammkkmk, ,sinsin, ,coscos, ,sinsin, ,coscossin, ,11111212002002002002020 dddddd02或或 (3-19)2002002002002002002d,21d,21sindcos,1dsin,1dcos,1dsin,1AAfAAftFxAAfAxAAfAxAAfAxAAfAxmkmkkmm 等价质量等价质量 、等价阻力系数、等价阻力系数 与等价刚度与等价刚度 、等价衰、等价衰减系数减系数 与等价固有频率与等价固有频率 分别为：分别为： (3-20) meceke eemmAfA AcAfA AAfA

12、Aememk1112002002002 ,sin,cos,cosdddkAfA Aek1002 ,sin d22000001, ,d, ,d2mkFfA AfA A （3-21） 将式将式 (3-20) 的值代入式的值代入式 (3-14) 中便可求出等价线性化振幅中便可求出等价线性化振幅 A 及相位差及相位差 。2002200200200dsin,1dsin,1dcos,dcos,21AAfAmAAfAmkAAfAAfAmmkeeeklmee 例例 3.1.1 用等价线性化方法求下列非线性振动方程的等价用等价线性化方法求下列非线性振动方程的等价阻力系数阻力系数 与等价弹簧刚度与等价弹簧刚度 。

13、 式中式中 与位移成三次及五次方的恢复力系数。与位移成三次及五次方的恢复力系数。 解解: 设方程的强迫振动解为设方程的强迫振动解为 cekemxcxkxbxdxFtsin 35 db,xAtAxAtAsinsincoscos 按照式按照式 (3-20), 求等价阻力系数求等价阻力系数 ： 非线性弹性力对等价阻力系数的值没有影响。非线性弹性力对等价阻力系数的值没有影响。按照式按照式 (3-20) 第二式可求出弹簧刚度第二式可求出弹簧刚度 ： cAc Ak Ab Ad Ace13502 cossinsinsincos dcekAc Ak Ab Ad AkbAdAecoss

14、insinsinsin d 例例3.1.2 已知非线性方程已知非线性方程 式中式中 非线性弹性力非线性弹性力 求等价刚度、等价固有频率及受迫振动的振幅求等价刚度、等价固有频率及受迫振动的振幅 。 。 mxfxFtksin f x exexkkxexexkkxexekxxfk 解解: 在一次近似的情况下，方程的近似解为：在一次近似的情况下，方程的近似解为： 非线性弹性力在一次近似情况下可改写为以下形式：非线性弹性力在一次近似情况下可改写为以下形式： 式中式中 间隙间隙 e 所对应的相位角所对应的相位角; 该系统的等价弹簧刚度为：该系统的等价弹簧刚度为： xAtA sinsin fxkxkxk x

15、ekxk xekeeeeeeee 22, eearceAsinkAfAAe102 sin,cossind将将x的值代入，并进行分段积分，可求得：的值代入，并进行分段积分，可求得： 因为因为 可将和展为幂级数可将和展为幂级数, 于是有于是有等价固有频率：等价固有频率： 等价线性化振幅为：等价线性化振幅为： kkkeAeAeAkkeee 121121222arcsinsineA 1,arcsineAeAeA12 kkkeAeAeAe 1411614024 eekm aFkme 2 谐波平衡法是将非线性方程的解假设为各次谐波叠加的谐波平衡法是将非线性方程的解假设为各次谐波叠加的形式，然后将方程的解代

16、入非线性方程中，消去方程中的正形式，然后将方程的解代入非线性方程中，消去方程中的正弦与余弦项，即可得到能求出含有未知系数的相应多个代数弦与余弦项，即可得到能求出含有未知系数的相应多个代数方程式，进而可求得方程的解。方程式，进而可求得方程的解。 设有非线性方程设有非线性方程 (3-22) 若若 是是 t 的周期为的周期为 T 的函数，并且方程存在着周的函数，并且方程存在着周期等于期等于 T 或或 T 的整数倍的周期解的情形，方程右边的整数倍的周期解的情形，方程右边 在的有限区域在的有限区域 内分别满足莱伯尼兹条件，方程的解是内分别满足莱伯尼兹条件，方程的解是唯一的，而且是分段可微的，因此有可能展

17、成为富氏级数，唯一的，而且是分段可微的，因此有可能展成为富氏级数，所以可设方程的解为：所以可设方程的解为： ,xf x x t f x x t, f x x t,x x , 3.2 谐波平衡法谐波平衡法 (3-23) 将它代入等式的两边，等式两边的常数项将它代入等式的两边，等式两边的常数项 及及cos 、sin 的系数必须分别相等，如果只取到的系数必须分别相等，如果只取到 n 次谐波，则可次谐波，则可得得2n+1个方程，由此可求出包含有个方程，由此可求出包含有n次谐波的近似解。这一次谐波的近似解。这一方法称为谐波平衡法。方法称为谐波平衡法。 xaanbnnnnn01212 3 cossin,

18、, , a0n n 例例3.2.1 用谐波平衡法求以下有阻尼用谐波平衡法求以下有阻尼Duffing方程的次谐波方程的次谐波解（亚谐振动）解（亚谐振动） 解解: 设设 将自变量变换成将自变量变换成，因变量变换成，因变量变换成，便可写成，便可写成 tQbxxkxcxmcos3 cmktkmb xFbQk 000 dd1cos3F 如果设如果设 则上述方程为则上述方程为 假设它的次谐波振动解：假设它的次谐波振动解： FHFGcossin 23 HGcossin dd AAB13113coscossin 将上式代入前式，进行谐波平衡，可得将上式代入前式，进行谐波平衡，可得 02243912121131

19、2312BAAAAHBBAABAAAAB1211312311331123113364110433122222121223123112121231112 2431FGHBABAGBABABB则有则有 考虑考虑 ，解出第一式，得，解出第一式，得19342319916132342311934231233429116222222222222222222222222262 F 11 21222222242216819194819163649 由第二式得由第二式得 式中式中, 软特性为软特性为 -1, 硬特性为硬特性为+1。 用电子计算机进行迭代求解，可得次谐波振动的幅用电子计算机进行迭代求解，可得次谐波

20、振动的幅 值值 、 与与、的关系及基波幅值的关系及基波幅值 、 与与、的关系。的关系。12222226222222222222232311619243231234391132F 1 1 2 1 2 3.3 迦辽金法与里兹法迦辽金法与里兹法 3.3.1 迦辽金法迦辽金法 采用微分算子采用微分算子 , 可以将非线性方程写成可以将非线性方程写成 (3-24)式中的式中的 一般是算子一般是算子 D、因变量、因变量 x 和自变量和自变量 t 的某种非线性函数。对于精确解的某种非线性函数。对于精确解 x(t) , 函数函数 , 而对于近似解而对于近似解 X(t) , 函数函数 , 或多或少会产生或多或少会

21、产生余项，或称误差余项，或称误差(t)，即有，即有 (3-25)Dddtfx tD, , 0fx tD, ,fx tD, , 0fX tD, 0 fX t ttD, 对微分方程的近似解可以采取与上述同样的做法，这种对微分方程的近似解可以采取与上述同样的做法，这种方法便是迦辽金法。方法便是迦辽金法。 在这种情况下，如果设我们所考察的自变量区域为在这种情况下，如果设我们所考察的自变量区域为atb，那么式，那么式 (3-27) 的误差为的误差为(t), 而而“误差的平方和误差的平方和”可以用以下可以用以下积分式来表示积分式来表示 (3-26)假设近似解假设近似解X(t)可以用适当的函数可以用适当的函

22、数 的线性组合来表示的线性组合来表示，即用，即用 (3-27) Jt d tab 2 it X ttctiiin 01作为方程作为方程 (3-24) 的最合适的近似解，的最合适的近似解， 其中的常数其中的常数 ci 可以从可以从式式(3-26)的积分取最小值的条件加以确定，即从下述联立方的积分取最小值的条件加以确定，即从下述联立方程式程式 (3-28)来解出来解出 。函数。函数 可以从物理和其他方面的考虑来选可以从物理和其他方面的考虑来选取，使它成为比较逼近的近似解，并且使它满足初始条件。取，使它成为比较逼近的近似解，并且使它满足初始条件。这样，对于这样，对于 来说初始值都等于零。来说初始值都

23、等于零。 JcttctJcttctabnnabn1112020ddci 0t it 例例3.3.1 用迦辽金法求以下用迦辽金法求以下Duffing方程的解方程的解 解解: 当当 b 甚小时甚小时, 它的周期解近似于谐振动它的周期解近似于谐振动, 所以取圆频率所以取圆频率为为, 振幅为振幅为 A , 即取即取 作为近似解。这相当于取作为近似解。这相当于取 。这。这时误差时误差为为 xaxbx 30 X tAt cos 01110 ,cos,ct cA 23334143AaAbAtbAtcoscos 区间区间 (a,b) 可以取为一个周期可以取为一个周期 (0, ), 因而最适宜的条因而最适宜的条

24、件可写成件可写成 即有即有 2JAAt202d 23414323302 AaAbAtbAtcoscos222943430abAtbAttcoscosd23222534943160AaAbAabAb A由此得由此得 或或 这是一个关于的一元二次方程，解之得这是一个关于的一元二次方程，解之得 其中，其中， 即即 k=0.89 或或 k。 A=0 给出方程的显然解，这相当于给出方程的显然解，这相当于k=+, 这时这时J=0。而系数而系数0.89 与与 2.11 究竟那一个给出究竟那一个给出J的极小值，的极小值， 可以通过可以通过下面的分析弄清楚。下面的分析弄清楚。 因为对于光滑曲线来说，极大值与极小

25、值往往是交替因为对于光滑曲线来说，极大值与极小值往往是交替发生的，考虑到这一点，由于发生的，考虑到这一点，由于 k=+ 时，有时，有 J=0, 它给出最它给出最小值，所以小值，所以k对应于对应于J取极大值，而取极大值，而k对应于对应于J取极取极小值。小值。k的精确解为，按这种方法求解有一定误差。的精确解为，按这种方法求解有一定误差。A 0 abAab A 22222431580bA222akbAk 1466()3.3.2 里兹法里兹法 前一种方法是用误差平方的积分来评价近似解的近似前一种方法是用误差平方的积分来评价近似解的近似程度。除了上述积分之外，还有其它多种形式的积分，其程度。除了上述积分

26、之外，还有其它多种形式的积分，其中之一即拉格朗日函数中之一即拉格朗日函数 的积分，的积分， 或称为哈密或称为哈密顿作用量：顿作用量： (3-29)式中式中 T系统的动能；系统的动能； U系统的势能。系统的势能。LTUSJL tTUtsttttdd1212 对于方程的周期解来说，哈密顿的作用量对于方程的周期解来说，哈密顿的作用量J的变分可取为的变分可取为0，即即 (3-30)式中式中 T周期；周期； Xi、Yi、Zi 三个座标方向上的有势力；三个座标方向上的有势力； mi质体质体i的质量；的质量； 、 、 质体质体i在三个座标方向上的加速度。在三个座标方向上的加速度。 采用以上方法，可以求出方程

27、的解。采用以上方法，可以求出方程的解。JTUtXm xxYm yyZmzztsTiiiiiiiiii iiTdd000 xi yi zi 下面来看前面列举的非线性方程下面来看前面列举的非线性方程 f(D,x,t)=0。假设该方程。假设该方程是二阶方程，那么它就可以看作是一个力，即相当于式是二阶方程，那么它就可以看作是一个力，即相当于式(3-30)中的中的 , 因而方程因而方程 f(D,x,t)=0应满足式应满足式(3-34)的条件，即的条件，即 (3-31) 使式使式(3-29)中的中的 J 取最小值的近似解为取最小值的近似解为X(t)，也可以把它，也可以把它看作是近似度最好的近似解。所以式看

28、作是近似度最好的近似解。所以式(3-25)的解可由下式求得的解可由下式求得 (3-32) 可设方程的解可设方程的解 (3-33)Xm xii i fx tTD, ,00 tX tfX tX tTTdDd000, X tctiiin 1因而有因而有 (3-34)按照哈密顿原理：按照哈密顿原理： (3-35)即即 (3-36)待定系数待定系数 ci 便可由上式确定。便可由上式确定。 X tctiiin 1 TiittctXf00d,D fX tttiTDd, 00 对于无阻尼非线性系统，可设方程的近似解为对于无阻尼非线性系统，可设方程的近似解为或或 (3-37) 对于有阻尼的非线性系统，可设方程的

29、近似解为对于有阻尼的非线性系统，可设方程的近似解为 (3-38)或或 (3-39) X tcitiin sin 1 X tcitiin cos 1 X tcitiiin sin 1 X taitbitiiinsinsin1 由由(3-38)有有 (3-40) 将将(3-44)代入代入(3-32)式，待定系数式，待定系数 ci 与与 可由下式求出可由下式求出 (3-41) 将近似解代入上式中，完成积分计算，便可得到一个代将近似解代入上式中，完成积分计算，便可得到一个代数方程或代数方程组。因此用迦辽金数方程或代数方程组。因此用迦辽金里兹方法时，其问题里兹方法时，其问题归结于代数方程组的求解。但有时

30、得到的代数方程是超越方归结于代数方程组的求解。但有时得到的代数方程是超越方程或超越方程组，计算往往是相当复杂的。程或超越方程组，计算往往是相当复杂的。 X tcitcitiiiiiinsincos1 ifX tittiTDd,sin00fX tittiTDd,cos00例例3.3.2 某非线性方程某非线性方程 试用本节的方法求方程的解。试用本节的方法求方程的解。解解: 由上式得由上式得 设一次近似解为：设一次近似解为： mxfxFtksin fxkxexekxk xexekxk xexek fx tmxfxFtkD, ,sin0 X tAtsin 代入式代入式(3-35)中，得中，得 将非线性

31、函数将非线性函数f(X)的近似值代入上式，进行分段积分，并化的近似值代入上式，进行分段积分，并化简得：简得： 整理后可得整理后可得 fX ttmAtfxFtt tTik02020 Ddd,sinsinsin kkmkAeFkeAeeAeA 2221arc sinAFkkeAeAeAm12122arc sin 因为因为 可将可将 和和 展为幂级数，展为幂级数，于是有：于是有： 为了求得为了求得A值，可采用图解法或数值方法。由上面解值，可采用图解法或数值方法。由上面解式可见，等号左边和右边分别为式可见，等号左边和右边分别为 eA 1,arcsineAeAeA12AFkkeAeAeAm1411614

32、0242yAeeAeAykkmkAeFk e122221 arc sin 上式若以上式若以 为自变量，用坐标横轴来表示；而为自变量，用坐标横轴来表示；而 和和 为纵坐标，则第一方程为两条曲线为纵坐标，则第一方程为两条曲线 和和 ，第二方程为直线第二方程为直线 。这二组线的交点即为方程的解。这二组线的交点即为方程的解。 用数值方法计算时，将具体数值代入上式，利用两式相用数值方法计算时，将具体数值代入上式，利用两式相等的条件，即可求出等的条件，即可求出 , 当当 e 值确定后，便可求出值确定后，便可求出 A 值。值。Aey1y2 A B A BAe 3.4.1 杜芬迭代法杜芬迭代法 杜芬方程的近似

33、解可用杜芬迭代法求出。设杜芬方程有以杜芬方程的近似解可用杜芬迭代法求出。设杜芬方程有以下形式：下形式： (3-42) 假设假设b很小，很小，F也很小，而且也很小，而且 接近于接近于a, 这时方程可写这时方程可写成：成： (3-43) 在上述假设下，方程右端为小量，因此可以先将它略去，在上述假设下，方程右端为小量，因此可以先将它略去，方程成为：方程成为： (3-44)cosxaxbxFt 3 2 cosxxa xbxFt 223 xx0200 3.4 迭代法迭代法其解为其解为 (3-45)并作为零次近似解。将它代入式并作为零次近似解。将它代入式(3-47)右端，有右端，有 (3-46) 根据上式

34、来确定一次近似解时，为保证根据上式来确定一次近似解时，为保证x1是周期的，即是周期的，即方程的解中不出现长期项方程的解中不出现长期项 (或称永年项，久期项或称永年项，久期项) ： 与与 , 上式右端上式右端 cos 的系数应等于零，因而有的系数应等于零，因而有 (3-47) 由式由式(3-39)可解出一次近似解：可解出一次近似解： (3-48)xAt0coscoscosxxa AbAFtbAt12123334143ttsinttcos t 2234 abAFA x tAtbAt1321323 coscos 式中的式中的可由可由(3-47)确定。在这一方程中，我们有意不确定。在这一方程中，我们有意不给定给定，而把它看作是基波振幅，而把它看作是基波振幅A的函数。的函数。 将一次近似解代入式将一次近似解代入式(3-43)的右端，再按方程的右端，再按方程(3-47)确定确定二次近似解二次近似解x2(t)。假设代入后右端可写