中南大学大学物理第三章

1、第三章第三章 振动、波动和声振动、波动和声广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一在某一 数值附近反复变化。数值附近反复变化。 振动分类振动分类非线性振动非线性振动线性振动线性振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。：物体在一定位置附近作来回往复的运动。3-1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其所受：一个作往复运动的物体，如果其所受的回复力跟离开平衡位置的位移成正比方向相反。的回复力跟离开平衡位置的位移成正比方向相反。一、简谐振动的基本特征及其表示一、简谐振动的基本特征及

2、其表示kxF 弹簧振子模型弹簧振子模型弹簧振子：弹簧弹簧振子：弹簧物体系统物体系统 平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧轻弹簧质量忽略不计，形变满足胡克定律质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体物体可看作质点可看作质点 kxOmkxF22dtxdmkx mk 2 简谐振动简谐振动微分方程微分方程0222 xdtxd 其通解为：其通解为：)tcos(Ax0 0222 xdtxd 简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程)tsin()tcos(200 20 )tsin(x 二、二、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量)

3、tcos(Ax0 1 1、振幅、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。移（或角位移）的绝对值。)tsin(Av0 000vv ,xx,t 初始条件初始条件00 cosAx 00sinAv2020)v(xA 频率频率 ：单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。2、周期周期 、频率、角频率频率、角频率对弹簧振子对弹簧振子 21 T角频率角频率 22 TkmT 2 mk 21 mk 周期周期T ：物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。 00 )Tt(cosA)tcos(A 2 T)tsin(Av0 0 是是t =0时刻

4、的位相时刻的位相初位相初位相000 cosAxt 时时00 sinAv 000 xvtan 3、位相和初位相位相和初位相)tcos(Ax0 位相，决定谐振动物体的运动状态位相，决定谐振动物体的运动状态0 t位相差位相差 两振动位相之差。两振动位相之差。12 当当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相当当 = (2k+1) , k=0,1,2.两振动步调相反两振动步调相反, ,称称反相反相 0 2 超前于超前于 1 或或 1滞后于滞后于 2 位相差反映了两个振动不同程度的参差错落位相差反映了两个振动不同程度的参差错落 三、简谐振动的三、简谐振动的旋转矢量表示法旋

5、转矢量表示法 0t = 0Ax t+ 0t = tA)tcos(Ax0 oX)tcos(a)tcos(Aam 002)tcos(Ax0 )tcos(v)tsin(Avm200 谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTa vx.avxT/4T/4 例：例： 一质点沿一质点沿x 轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅A= 0.12 m，周期，周期T= 2 s， 当当t = 0 时，质点对平衡位置的位移时，质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06 m, 此时刻质点向此时刻质点向x 正向运动。求此简谐振动的表达式。正向运动。求此简谐振动的表达式。解解取平衡位

6、置为坐标原点。取平衡位置为坐标原点。)cos(tAx由题设由题设T= 2 s，则，则, T2A= 0.12 m由初条件由初条件 x0 = 0.06 m，v0 0得得,cos0Ax 0,Av0 sin21Axcos035,30, sin35简谐振动的表达式为简谐振动的表达式为)35cos(12. 0tx设简谐振动的表达式为设简谐振动的表达式为例例 已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。所示，试求其振动方程。431.431. 715.715. 01)(st)(1 cmsv解：方法解：方法1100715cms.sinAv )tcos(

7、Ax0 设振动方程为设振动方程为0020 cosAa1431 cmsvAm. 2143171500.Avsin 6560或或0000 cos,a则则60 17151 cmsvt.2161 mvvAv )sin( 6116761或 01001)cos(,a 则则 6761 1143 s. cmvAm10143431 . 故振动方程为故振动方程为cmtx)cos(610 方法方法2： 用旋转矢量法辅助求解。用旋转矢量法辅助求解。)cos( tAx)cos()sin(2 tvtAvm1431 cmsAvm. 0 tst1 2 vov的旋转矢量的旋转矢量与与v轴夹角表轴夹角表示示t 时刻相位时刻相位2

8、 t由图知由图知 322 6 11 s cmvAm10143431 . cmtx)cos(610 以弹簧振子为例以弹簧振子为例谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的动能系统的动能Ek+系统的势能系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x)tsin(Av0 )tcos(Ax0 221mvEk )t(sinkA02221 221kxEp )t(coskA02221 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数四、四、 简谐振动的能量简谐振动的能量一、同方向、同频率的两个简谐振动的合成一、同方向、同频率的两个简谐振动的合成合振动是简谐振

9、动合振动是简谐振动, , 其频率仍为其频率仍为 )cos(AAAAA10202122212 2021012021010coscossinsintgAAAA)tcos(A)t(x1011 )tcos(A)t(x2022 )tcos(Axxxx021 质点同时参与同方向同频率质点同时参与同方向同频率的谐振动的谐振动 : :合振动合振动 : :3-2 简谐振动的合成简谐振动的合成2A1AA10 20 0 1x2xx1M2MM如如 A1=A2 , , 则则 A=0,kk21021020 两分振动相互加强两分振动相互加强21AAA ,k)k(210121020 两分振动相互减弱两分振动相互减弱21AAA

10、 分析分析若两分振动同相：若两分振动同相：若两分振动反相若两分振动反相: :)cos(AAAAA10202122212 合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动式中式中tAtA)2cos(2)(12 tt)2cos(cos12 随随t 缓变缓变随随t 快变快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动二二. . 同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成-拍拍分振动分振动)tcos(Ax 11)tcos(Ax 22合振动合振动)tcos(t )cos(Ax 222121221xxx 当当 2 1时时, ,ttAxcos)(则：1212 拍拍 合振动忽强忽弱的现象合振

11、动忽强忽弱的现象拍频拍频 : : 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数 =| 2- 1| xt tx2t tx1t t12 拍拍122 T或或：三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动合振动)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 分振动分振动)tcos(Ax101 )tcos(Ay202 0(1)1020 0221 )AyAx(xAAy12 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线在第一、第三象限内的直线12AA斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移讨论讨论)(

12、sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 yx)tcos(AAyxS 222122 1020(2)0221 )AyAx(xAAy12 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线在第二、第四象限内的直线12AA 斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 yx)tcos(AAyxS 2221222(3)1020 12212 AyAx合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴轴为轴线的椭圆为轴线的椭圆)tcos(Ax101 质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。

13、质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 yx)tcos(Ay2101 yx2(4)1020 合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴轴为轴线的椭圆为轴线的椭圆)tcos(Ax101 质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 )tcos(Ay2101 0 时，逆时针方向转动。时，逆时针方向转动。 0时，顺时针方向转动。时，顺时针方向转动。*四、两个相互四、两个相互垂直方向不同频率的简谐振动的合成垂直方向不同频率的简谐振动的合成如果

14、两个分振动如果两个分振动的频率相差较大，的频率相差较大，但有简单的整数但有简单的整数比关系，这时合比关系，这时合振动为有一定规振动为有一定规则的稳定的闭合则的稳定的闭合曲线，这种曲线曲线，这种曲线称为利萨如图形称为利萨如图形 一、一、 阻尼振动阻尼振动阻阻尼尼振振动动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。

15、向周围辐射出去。3-3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振阻尼振动的振动方程阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）（系统受到弱介质阻力而衰减）振子动力学方程振子动力学方程22dtxdmdtdxkx 振子受阻力振子受阻力dtdxvfr 022022 xdtdxdtxd mk 0 系统固有角频率系统固有角频率m2 阻尼系数阻尼系数弱介质阻力是指振子运动速度较低时，弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比 阻力系数阻力系数弱阻尼弱阻尼 每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢

16、，周期越接近于谐振动。周期越接近于谐振动。0 )tcos(eAxt00 220 0220222 T阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的准周期阻尼振动的准周期二、二、 受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。振动系统在周期性外力作用下的振动。弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程ptcosFtddxkxtdxdm022 tpcosfxtddxtdxd 20222 令令mk 0 周期性外力周期性外力策动力策动力ptcosFF0 mFf0m2稳定解稳定解)ptcos(Ax (1)频率频率: : 等

17、于策动力的频率等于策动力的频率 (2)振幅振幅: :2/12222204)(ppfA(3)初相初相: :2202pptg 特点特点: :稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化)ptcos(A)t(coseAxt 00阻尼振动阻尼振动简谐振动简谐振动三、三、共振共振在一定条件下在一定条件下, , 振幅出现极大值振幅出现极大值, , 振动剧烈的现象。振动剧烈的现象。1 1、位移共振、位移共振(1)共振频率共振频率 : :2202 rp(2)共振振幅共振振幅 : :2202fAr2、速度共振、速度共振一定条件下一定条件下, , 速度振幅极大的现象。速度振幅极大的现象

18、。速度共振时，速度与速度共振时，速度与策动力同相，一周期策动力同相，一周期内策动力总作正功，内策动力总作正功，此时向系统输入的能此时向系统输入的能量最大。量最大。 0 rp2fvmr)ptsin(pAv 2222204)(pppfpAvm波动波动是一切微观粒子的属性，是一切微观粒子的属性，与微观粒子对应的波称为与微观粒子对应的波称为物质波物质波。各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，有类似的波动方程。有类似的波动方程。机械振动在介质中的传播称为机械振动在介质中的传播称为机械波机械波。声波、水波声波、水波3-4 机械波的产生和传播机械波的产生和传播一

19、、机械波产生的条件一、机械波产生的条件 如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。性力，则称为弹性波。 弹性力：弹性力： 有正弹性力（压、张弹性力）和切弹有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。弹性力。1 1、有作机械振动的物体，即波源、有作机械振动的物体，即波源2、有连续的介质、有连续的介质二、纵波和横波二、纵波和横波横波横波振动方向与传播方向垂直，如电磁波振动方向与传播方向垂直，如电磁波纵波纵波振动方向与传播方向相同，如声波。振动方向与传播方向相

20、同，如声波。0 t4/Tt 2/Tt 43 /Tt Tt 45 /Tt 横波在介质中传播时，介质中产生横波在介质中传播时，介质中产生切变切变，只能在，只能在固体固体中传播。中传播。纵波在介质中传播时，介质中产生纵波在介质中传播时，介质中产生容变容变，能在，能在固体固体、液体液体、气体气体中传播。中传播。结论：机械波向外传播的是波源（及各质点）结论：机械波向外传播的是波源（及各质点） 的振动状态和能量。的振动状态和能量。三、波线和波面三、波线和波面波场波场-波传播到的空间。波传播到的空间。波面波面-波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波前（波阵面）波前（波

21、阵面）-某时刻波源最初的振动状态某时刻波源最初的振动状态 传到的波面。传到的波面。波线（波射线）波线（波射线）-代表波的传播方向的射线。代表波的传播方向的射线。各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直. .沿波线方向各质点的振动相位依次落后。沿波线方向各质点的振动相位依次落后。波线波线波面波面波面波面波线波线平面波平面波球面波球面波波面波面波线波线波线波线波波面面四、描述波动的几个物理量四、描述波动的几个物理量振动状态（即位相）在单位时间内传播振动状态（即位相）在单位时间内传播的距离称为的距离称为波速波速1 1、波速、波速 u Gu 在固体媒质中在固体媒质中纵波

22、纵波波速为波速为 Eu/ G、 E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 为介质的密度为介质的密度在固体媒质中在固体媒质中横波横波波速为波速为在同一种固体媒质中，在同一种固体媒质中，横波横波波速比波速比纵波纵波波速小些波速小些3、波长、波长 2、波的周期、波的周期和频率和频率 12 T uuT 波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需所需 的时间，用的时间，用T表示。表示。波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波 的数目的数目，用，用 表示。表示。同一波线上相邻的位相差为同

23、一波线上相邻的位相差为2 的两质点的距离的两质点的距离。介质决定介质决定波源决定波源决定一、平面简谐波的波动方程一、平面简谐波的波动方程平面简谐波平面简谐波简谐波的波面是平面。简谐波的波面是平面。( (可当作一维简谐波研究）可当作一维简谐波研究）3-5 波动方程波动方程一平面简谐波在理想介质中沿一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播，轴正向传播，x轴即为某一波线轴即为某一波线设原点振动表达式：设原点振动表达式：tcosAy 0 xypuOxy表示该处质点偏离平衡位置的位移表示该处质点偏离平衡位置的位移x为为p点在点在x轴的坐标轴的坐标p点的振动方程：点的振动方程：)uxt(cosAy t 时刻

24、时刻p处质点的振动状态重复处质点的振动状态重复uxt 时刻时刻O处质点的振动状态处质点的振动状态xypuOxO点振动状态传到点振动状态传到p点需用点需用 uxt 沿沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程轴正向传播的平面简谐波的波动方程ux 沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动为为p点的振动落后与原点振动的时间点的振动落后与原点振动的时间沿沿x轴负向传播的轴负向传播的平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程)uxt(cosAy )tcos(Ay00 若波源（原点）振动初位相不为零若波源（原点）振动初位相不为零)xTt(cosAy02 )xtc

25、osAy022 )xut(cosAy02 )xut(kcosA0 )uxt (cosAy0 或或 2 k波矢波矢，表示在，表示在2 长度内所具有的完整波的长度内所具有的完整波的数目。数目。二、波动方程的物理意义二、波动方程的物理意义0 )uxt (cosAy1、如果给定、如果给定x，即即x=x0yOtTTx0处质点的振动初相为处质点的振动初相为002 x 02 x为为x0处质点落后于原点的位相处质点落后于原点的位相为为x0处质点的振动方程处质点的振动方程则则y=y(t)xtcos(A)t(y002 若若x0= 则则 x0处质点落后于原点的位相为处质点落后于原点的位相为2 是波在空间上的周期性的

26、标志是波在空间上的周期性的标志2、如果给定、如果给定t，即即t=t0 则则y=y(x) 221212xxx 00 )uxt (cosAy表示给定时刻波线上各质表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分布点在同一时刻的位移分布，即给定了，即给定了t0 时刻的波形时刻的波形同一波线上任意两点的振动位相差同一波线上任意两点的振动位相差XYOux1x2 21212Tt)tt( 同一质点在相邻两时刻的振动位相差同一质点在相邻两时刻的振动位相差T是波在时间上的是波在时间上的周期性的标志周期性的标志3.如如x,t 均变化均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形包含了不同时刻的波形0 )uxt (cosA)

27、x( yxyuOxtt tx 0 )utuxtt (cosA)tt ,xx( yt时刻的波形方程时刻的波形方程t+ t时刻的波形方程时刻的波形方程0 )uxtt (cosA)x( yt时刻时刻,x处的某个振动状态经过处的某个振动状态经过 t ，传播了，传播了 x的距离的距离0 )uxt (cosA)t , x( y)tt , xx( y 在时间在时间 t内整个波形沿波的内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离传播方向平移了一段距离 x行波行波) t , x( y) tt , xx( y xyuOxtt tx 例例5 5已知波动方程为已知波动方程为 ，其中，其中x x，y y的单位为的单位为m m

28、，t t的单位为的单位为s s，求，求(1)(1)振幅、波长、周期、振幅、波长、周期、波速；波速；(2)(2)距原点为距原点为8 8m m和和1010m m两点处质点振动的位相两点处质点振动的位相差；差；(3)(3)波线上某质点在时间间隔波线上某质点在时间间隔0.20.2s s内的位相差内的位相差. .y0.1cos25tx1025y0.1cos(t)1025x解解(1) (1) 1025A = 0.1m ,s, u= 25m / s,= 0102T0.8s, =uT=20m(2)(2)同一时刻波线上坐标为同一时刻波线上坐标为 和和 两点处质点振两点处质点振动的位相差动的位相差1x2x2122

29、xx 21=1082m=25xx 时，(3)(3)对于波线上任意一个给定点对于波线上任意一个给定点(x(x一定一定) )，在时间间，在时间间隔隔tt内的位相差内的位相差21tttt0.2s,2则例例.一平面简谐波沿一平面简谐波沿x正正方向传播，振幅方向传播，振幅A10cm，圆频圆频率率 当当t=1.0s时，位于时，位于x=10cm处的质点处的质点a经过经过平衡位置向平衡位置向y轴负方向运动。此时轴负方向运动。此时,位于位于x=20cm处的质处的质点点b的位移为的位移为5cm, 且向且向y轴正方向运动。设该波波轴正方向运动。设该波波长长 ，试求该波的波动方程。，试求该波的波动方程。17 s cm

30、10 解：设该波的波动方程为：解：设该波的波动方程为：)(cos uxtAy求解的关键是求出波速求解的关键是求出波速u 及原点的初位相及原点的初位相 由题意知由题意知t=1.0s时时07710 )cos(. uxya0 av所以所以2707/. uXOabusmu/.840 317 / 取取3/ 故得波动方程为故得波动方程为)().(cos.mxty3840710 5 . 0)/4 . 17cos( u0 bv得得3417/. u 时，时，b点的位相只能取点的位相只能取 （还考虑了（还考虑了 以及以及 的条件。）的条件。）3/cm10 cmxxab10 注意注意a点落后于点落后于b点，故同一时

31、刻（点，故同一时刻（t=1.0s)a点的位相点的位相取取2/ 同理同理XOabu22Am100)m( yA)m( xoAPm200)200250(cosxt2Ay 例例 一平面简谐波在一平面简谐波在 时刻的波形图如图，时刻的波形图如图，设频率设频率 ，且此时，且此时 P 点的运动方向向点的运动方向向下下，求求 1）该波的波函数）该波的波函数;Hz2500t0pv0220, 0vAyxt4解：解：x波向波向 轴轴负负向传播向传播Hz250yAO22A4)200250(cosxt2Ay)450(cos,m100t05Ayx)450(sin500ddt05Atyv 2） 求求在距原点在距原点 O 为

32、为100m处质点的振动方程与处质点的振动方程与振动速度表达式振动速度表达式.m200Hz25022Am100)m( yA)m( xoAP例：如图有一平面简谐波在空间传播，已知例：如图有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为点的振动方程为)cos( tAyP（1）分别就图中的两种坐标写出其波动方程）分别就图中的两种坐标写出其波动方程（2）写出距）写出距P点为点为b的的Q点的振动方程点的振动方程)(cos ultAyO原点的振动方程原点的振动方程波动方程波动方程)(cos uluxtAy原点的振动方程原点的振动方程)cos( tAyO波动方程波动方程)(cos uxtAyOlbPQXYubP

33、QXOYuOlbPQXYubPQXOYu)(cos uluxtAy)(cos uxtAy（2）写出距）写出距P点为点为b的的Q点的振动方程点的振动方程将将代代入入blx )(cos ubtAyQ)(cos ubtAyQ代代入入bx 将将一一、波的能量和能量密度、波的能量和能量密度 波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。动能量的传播。有一平面简谐波有一平面简谐波0 )uxt (cosAy质量为质量为在在x处取一体积元处取一体积元VVm质点的振动速度质点的振动速度 0 )uxt(sinAtyv3-6 波的能量波的能量体积元内媒质质点动能为体积

34、元内媒质质点动能为mvEk221VuxtA)(sin210222体积元内媒质质点的弹性势能为体积元内媒质质点的弹性势能为VuxtAEp)(sin210222体积元内媒质质点的总能量为：体积元内媒质质点的总能量为：pkEEEVuxtA)(sin02221）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。时等于零。说明说明2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。能量密度能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。单位体积介质中所具有

35、的波的能量。)(sin0222uxtAVEw平均能量密度平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值。一个周期内能量密度的平均值。2221 Aw dt)uxt(sinATwdtTw T T11022020 T2sin02dVuxtAE)(sin0222能流能流: :单位时间内通过介质中某一单位时间内通过介质中某一 截面的能量。截面的能量。二、二、波的波的能流和能流密度能流和能流密度 波强波强Swup 平均能流平均能流：在一个周期内能流的平均值。：在一个周期内能流的平均值。SuwSwup 能流密度（波的强度）能流密度（波的强度）：通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量通过垂直于波动传播方向的单位

36、面积的平均能量。uwSpI uAI2221 2 米米单位：瓦单位：瓦uuS 三、三、波的吸收波的吸收波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。波通过厚度为波通过厚度为dx的介质，其强度衰减量为的介质，其强度衰减量为-dIIdxdIxeII0处波的强度和分别是、xxxII 00,是介质的吸收系数介质的吸收系数与介质的性质和波的频率有关介质的吸收系数与介质的性质和波的频率有关一一、惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理： 介质中波阵面（波前）介质中波阵面（波前）上

37、的各点，都可以看作上的各点，都可以看作为发射子波的波源，其为发射子波的波源，其后一时刻这些子波的包后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。迹便是新的波阵面。3-7 波的叠加原理波的叠加原理 波的干涉波的干涉t时刻波面时刻波面 t+ t时刻波面时刻波面波的传播方向波的传播方向如你家在大山后如你家在大山后, ,听广播和看电听广播和看电视哪个更容易视哪个更容易? (? (若广播台、电若广播台、电视台都在山前侧视台都在山前侧) )二二、波的叠加原理波的叠加原理 各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）不变，（频率、波长、振动方向、传

38、播方向等）不变，与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成。动则是各列波在该处激起的振动的合成。波传播的波传播的独立性原理独立性原理或波的或波的叠加原理叠加原理：说明说明： 振动的叠加仅发生在单一质点上振动的叠加仅发生在单一质点上 波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上能分辨不同的声音正是这个原因能分辨不同的声音正是这个原因 两列波若两列波若频率相同频率相同、振动方向相同振动方向相同、在相遇点的、在相遇点的位相相同或位相差恒定位相相同或位相差恒定，则合成波场中会出现某些点，则合

39、成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵消），这种现象称为波的干涉。消），这种现象称为波的干涉。相干条件相干条件具有恒定的相位差具有恒定的相位差振动方向相同振动方向相同两波源具有相同的频率两波源具有相同的频率满足相干条件的波源称为相干波源。满足相干条件的波源称为相干波源。三三、波的干涉现象和规律、波的干涉现象和规律传播到传播到p点引起的振动分别为：点引起的振动分别为： )cos(10110tAy)cos(20220tAy在在p点的振动为同点的振动为同方向同频率振动方向同频率振动的合成。的合成。设有两个相干波源设有两个相干波

40、源S1和和S2发出的简谐波在空间发出的简谐波在空间p点相遇。点相遇。 合成振动为：合成振动为：)tcos(Ayyy021 )rtcos(Ay110112 )rtcos(Ay220222 cos22122212AAAAA其中：其中：)rr()(1210202 )tcos(Ay0 对空间不同的位置，都有恒定的对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。 )rsin(A)rcos(A)rsin(A)rsin(Atan 220211012202110102222 其中：其中：,.,kkrr3210 22121020 ）（2

41、1maxAAAA ,.,k)k()rr()(3210122121020 |21minAAAA 相长干涉的条件相长干涉的条件：相消干涉的条件相消干涉的条件： cos22122212AAAAA当两相干波源为同相波源时，相干条件写为当两相干波源为同相波源时，相干条件写为,.3 , 2 , 1 , 0,12 kkrr ,.3 , 2 , 1 , 0,2) 12(12 kkrr 相长干涉相长干涉相消干涉相消干涉 称为波程差称为波程差波的非相干叠加波的非相干叠加21III 例题例题 位于位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频两点的两个波源，振幅相等，频率都是率都是100赫兹，相位差为赫兹，相位差为 ，其，

42、其A、B相距相距30米，米，波速为波速为400米米/ /秒，求秒，求: :A、B连线之间因相干干涉而连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。静止的各点的位置。解：如图所示，取解：如图所示，取A点为坐标原点，点为坐标原点，A、B联线为联线为X轴，轴，取取A点的振动方程点的振动方程 : :)cos( tAyA在在X轴上轴上A点发出的行波方程：点发出的行波方程：)2cos( xtAyA B点的振动方程点的振动方程 : :) 0cos( tAyB BAXxm30 x30O)2cos( xtAyA B点的振动方程点的振动方程 : :)0cos( tAyB 在在X轴上轴上B B点发出的行波方程：点发出的行波

43、方程：)30(20cos xtAyB 因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：为静止的点满足： )()(123022 kxx,.2, 1, 0 kBAXxm30 x30O相干相消的点需满足：相干相消的点需满足：kx 230mu4 因为因为：,.2, 1, 0215 kkxmx29,27,25,.9 , 7 , 5 , 3, 1 )12()30(22 kxx,.2, 1, 0 k四、四、 驻波驻波 当两列振幅相同的相干波沿同一直线相向传当两列振幅相同的相干波沿同一直线相向传播时，合成的波是一种波形不随时间变化的波，播时，合成的波是一

44、种波形不随时间变化的波，称为驻波。称为驻波。 将弦线的一端系于电动音叉的一臂上，弦将弦线的一端系于电动音叉的一臂上，弦线的另一端系一砝码，砝码通过定滑轮线的另一端系一砝码，砝码通过定滑轮P对弦对弦线提供一定的张力，调节刀口线提供一定的张力，调节刀口B的位置，就会的位置，就会在弦线上出现驻波。在弦线上出现驻波。1、驻波方程、驻波方程)xtcos(Ay 21 )xtcos(Ay 22 tcosxcosAyyy 2221 tcos)x(Ay xAxA2cos2)( )x, t ( y)tux, tt ( y 函数不满足函数不满足它不是行波它不是行波 它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频它表示各点都

45、在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。不同而不同。 驻波的驻波的特点特点：不是振动的传播，而是媒质中各质：不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。点都作稳定的振动。tcos)x(AtcosxcosAy 22tcos)x(Ay 12cos x xAxA2cos2)( 振振幅幅最最大大，波波腹腹AxA2)( kx 2,kkx2102 02cos x振振幅幅最最小小，波波节节0)( xA )k(x212 ,k)k(x210221 （1 1）、波腹与波节）、波腹与波节 驻波振幅分布特点驻波振幅分布特点2、驻波的

46、特点、驻波的特点相邻波腹间的距离为：相邻波腹间的距离为：221 k|kx相邻波节间的距离为：相邻波节间的距离为：2 x相邻波腹与波节间的距离为：相邻波腹与波节间的距离为： 4 因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。,kkx2102 波波腹腹,k)k(x210221 波波节节txAy cos2cos2 （2）、驻波的位相的分布特点、驻波的位相的分布特点 时间部分提供的相位对于所有的时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。而空间变化带来的相位是不同的。在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或在波节两侧点的振动相位

47、相反。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。同时达到反向最小。速度方向相反。两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。同时达到最小。速度方向相同。3-8 3-8 声波声波声波：客观上是声振动在弹性介质中的传播，主观上声波：客观上是声振动在弹性介质中的传播，主观上是这种物理现象可引起人的听觉。是这种物理现象可引起人的听觉。声波：可听声声波：可听声 频率频率 20Hz20000Hz 次声次声 频率频率20000Hz 声波是纵波，可在固、液、气态中传播声波是纵波，可在固、液、气态中传播声的主要特征量声的主要特征

48、量 ：频率和声压：频率和声压一、声压、声强和声强级一、声压、声强和声强级 1声压：当声波在介质中传播时，介质的密度声压：当声波在介质中传播时，介质的密度作周期性变化，稠密时压强大，稀疏时压强小，在作周期性变化，稠密时压强大，稀疏时压强小，在某一时刻，介质中某一点的压强与无声波时的压强某一时刻，介质中某一点的压强与无声波时的压强之差。之差。若若声波方程为：声波方程为：uxtAycos则则可以证明：可以证明：2cosuxtAuP声压的幅声压的幅值：值：AuPmax2声阻抗声阻抗uvPvPzmm声阻抗是表征介质声学特性的一个重要物理量声阻抗是表征介质声学特性的一个重要物理量声压的单位即压强的单位声压

49、的单位即压强的单位N/m2,声阻抗的单位是声阻抗的单位是kg.m-2.s-1。讨论：（讨论：（1）声压与介质振动速度具有相同位相，）声压与介质振动速度具有相同位相， （2）声压超前位移）声压超前位移 /2， （3）声压与）声压与f成正比；成正比； （4）声压一定，声阻抗与介质振动速度幅值成反比，）声压一定，声阻抗与介质振动速度幅值成反比， （5）要注意声速与介质振动速度区别。）要注意声速与介质振动速度区别。3. 声强：声强：单位时间通过单位面积（与声速垂直）的平单位时间通过单位面积（与声速垂直）的平均能量，也叫能流密度。均能量，也叫能流密度。2max22max222122121zvzPuPAuIm例：例：1000hz的痛域强度的痛域强度 I=1W/m2)(120101lg1012dBL则 在听觉区域中，声强差别很大，但人耳主观感觉差别在听觉区域中，声强差别很大，但人耳主观感觉差别并没有这样大。因此用声强级来表示声音强度的等级。并没有这样大。因此用声强级来表示声音强度的等级。4声强级：声强级：)