《点到直线的距离、两条平行直线间的距离》参考课件

1、高中数学高中数学3.3.3-3.3.4点到直线的距离、两平行线间点到直线的距离、两平行线间的距离的距离点到直线的距离：点到直线的距离： 是指点到直线的垂线段的长度是指点到直线的垂线段的长度 求求P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )到直线到直线l ：Ax+By+CAx+By+C=0=0的距离的一般的距离的一般 步骤：步骤： (1)(1)由直线由直线l 的斜率求出经过点的斜率求出经过点P P0且与直线且与直线l 垂直的直垂直的直 线的斜率，根据点斜式求出线的斜率，根据点斜式求出 直线直线P P0 0Q Q的方程的方程 (2)(2)根据两条直线的方程求出交根据两条直线的方程求出交 交点交点

2、Q Q的坐标的坐标(3)(3)由由P P0 0，Q Q的坐标，根据两点间的坐标，根据两点间 的距离求点到直线的距离的距离求点到直线的距离x xy yo oP P0 0Q Ql. .当直线当直线l 的方程的方程Ax+By+CAx+By+C=0=0中中A=0A=0时：时：x xy yo oP P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )Q Q. .l ：By+CBy+C=0=0， y=- y=- C CB B|y|y0 0-y-yQ Q|= |= |By|By0 0+C| +C| |B| |B| x xy yo oP P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )Q Q. .当直线当直线l 的方程的方程

3、Ax+By+CAx+By+C=0=0中中B=0B=0时：时：l ：Ax+CAx+C=0=0， x=- x=- C CA A|PQ|= |PQ|= C CB B= =y y0 0+ + |x|x0 0-x-xQ Q|= |= |Ay|Ay0 0+C| +C| |A| |A| |PQ|= |PQ|= x x0 0+ + C CA A= =当直线当直线l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中A A0 0且且B B0 0时：时：x xy yo olP P0 0(x(x0,y,y0) ). .d dQ QS SR R过过P P0 0分别作分别作x x轴和轴和y y轴的平行线，交直线轴的平

4、行线，交直线l于点于点R R，S S则则P P0 0R R的方程为的方程为y=yy=y0 0， R R的坐标为：的坐标为： 则则P P0 0S S的方程为的方程为x=xx=x0 0， S S的坐标为：的坐标为： ) ) ByBy0 0+C +C A A- -，y y0 0 ( (AxAx0 0+C +C B B- -x x0 0 , ,) ) ( (当直线当直线l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中A A0 0且且B B0 0时：时：x xy yo olP P0 0(x0,y0)(x0,y0). .d dQ QS SR R于是有：于是有：|Ax|Ax0 0+By+By0 0+

5、C| +C| |A|A|P|P0 0R|= R|= ByBy0 0+C +C A A- -x-x0 0 = =|Ax|Ax0 0+By+By0 0+C| +C| |B|B|P|P0 0S|= S|= AyAy0 0+C +C B B- -y-y0 0 = =|RS|RS|= = |P|P0 0R|R|2 2+|P+|P0 0S|S|2 2 = =A A2 2+B+B2 2 |A|B|A|B|Ax|Ax0 0+By+By0 0+C| +C| 当直线当直线l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中A A0 0且且B B0 0时：时：x xy yo olP P0 0(x0,y0)(x0

6、,y0). .d dQ QS SR R设设|P|P0Q|=dQ|=d，由三角形面积公式可得：，由三角形面积公式可得：d d|RS|RS|=|P|=|P0 0R|R|P|P0 0S|S|于是得：于是得：= =A A2 2+B+B2 2 |Ax|Ax0 0+By+By0 0+C| +C| d=d=|P|P0 0R|R|P|P0 0S|S|RS|RS|点点P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )到直线到直线l ：Ax+By+CAx+By+C=0=0的距离公式：的距离公式：d=d=A A2 2+B+B2 2 |Ax|Ax0 0+By+By0 0+C| +C| 当直线方程中的当直线方程中的A=0A

7、=0时：时： |d|= |d|= |By|By0 0+C| +C| |B|B|当直线方程中的当直线方程中的B=0B=0时：时： |d|= |d|= |Ax|Ax0 0+C| +C| |A|A|点点P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )到直线到直线l ：Ax+By+CAx+By+C=0=0的距离公式：的距离公式：d=d=A A2 2+B+B2 2 |Ax|Ax0 0+By+By0 0+C| +C| 求点求点(-1(-1，2)2)到直线：到直线：3x=23x=2的距离的距离? ? 解：解：d=d=3 32 2+0+02 2 |3|3(-1)-2| (-1)-2| = =5 53 3例例1.

8、1.已知点已知点A(1A(1，3)3)，B(3B(3，1)1)，C(-1C(-1，0)0)，求求ABCABC的面积的面积解：设解：设ABAB边上的高为边上的高为h h， ABAB边所在的直线方程：边所在的直线方程： 点点C C到到x+y-4=0 x+y-4=0的距离：的距离： x xy yo o1 12 23 31 12 23 3-1-1A AB BC Ch h则：则：S SABCABC = = 1 12 2| |AB|AB|h h |AB|= |AB|= (3-1)(3-1)2 2+(1-3)+(1-3)2 2 = = 2 ,2 ,2 2 y-3y-31-3 1-3 x-1x-13-1 3-

9、1 = =, ,即即x+y-4=0 x+y-4=0。因此，因此，S SABC ABC = = 1 12 22 2 2 2 2 2 5 5=5=5h=h=|-1+0-4| |-1+0-4| 1 12 2+1+12 2= =2 2 5 5已知点已知点A(1A(1，3)3)，B(3B(3，1)1)，C(-1C(-1，0)0)，求，求ABCABC的面积的面积你还能有其他你还能有其他解法吗？解法吗？ x xy yo oA AB BC CM MN N解：解：延长延长ABAB交交x x轴于点轴于点D D。D D过过A A，B B两点分别作两点分别作x x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为M M，N N。提示：

10、提示： S SABC ABC = = S SACDACD - - S SBCDBCD 思考：思考：如何求两条平行直线的距离？如何求两条平行直线的距离？探究：探究：能否将两条平行直线间的距离转化为点到能否将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离？如何取点呢？直线的距离？如何取点呢？ 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长公垂线段的长 x xy yo ox xy yo ox xy yo o例例2.2.已知直线已知直线l1 1 ：2x-7y-8=02x-7y-8=0，l2 2 ：6x-21y-6x-21y-1=01=0，求直线，求直线l1

11、1 与与l2 2 间的距离间的距离 解：解：设设l1 1 与与x x轴的交点为轴的交点为A A， A A点的坐标为点的坐标为:(4:(4，0) 0) 根据点到直线的距离公式：根据点到直线的距离公式：d=d=A A2 2+B+B2 2 |Ax|Ax0 0+By+By0 0+C| +C| 点点A A到到l2 2 的距离为的距离为d= d= 6 62 2+21+212 2 |6|64-214-210-1| 0-1| 5353 3 3 2323= =所以所以l1 1 与与l2 2 间的距离是间的距离是 23231591595353 x xy yo ol1 1 l2 2 A(4,0)A(4,0). .

12、23231591595353 = =法法2:任意两条平行直线都可以写成如下形式：任意两条平行直线都可以写成如下形式： l1: Ax+By+C1=0与与l2: Ax+By+C2=0，则则l1与与l2之间的距离之间的距离2122|CCdAB思考思考与两点与两点A(1,1),B(4,5)A(1,1),B(4,5)距离都是距离都是2 2的直线方程的直线方程结论与结论与AB平行且距离为平行且距离为2的平行线的平行线两条两条求下列点到直线的距离：求下列点到直线的距离：(1)A(-2(1)A(-2，3)3)，l：3x+4y+3=0 3x+4y+3=0 (3)C(1(3)C(1，-2)-2)，l： 4x+3y

13、=0 4x+3y=0 (2)B(1(2)B(1，0)0)，l： 3x+y- 3=0 3x+y- 3=0 解：解：d= d= 3 32 2+4+42 2 |3|3(-2)+4(-2)+43+3| 3+3| 9 95 5= =(1)(1)d= d= =0=0(2)(2)d= d= 3 32 2+4+42 2 |4|41+31+3(-2)| (-2)| 2 25 5= =(3)(3)点到直线的距离点到直线的距离为为0 0表示什么？表示什么？ 2 23 33 3 1-1- 3 3 +1+12 2(1)(1)已知点已知点A(-2A(-2，3)3)到直线到直线y=ax+1y=ax+1的距离为的距离为1 1

14、，求，求a a的值的值(2)(2)已知点已知点A(-2A(-2，3)3)到直线到直线y=-y=-x+ax+a的距离为的距离为1 1，求，求a a的值的值解：解： (1)(1)直线方程直线方程y=ax+1y=ax+1即即ax-y+1=0 ax-y+1=0 d= d= a a2 2+(-1)+(-1)2 2 |a|a(-2)+(-1)(-2)+(-1)3+13+1| | =1=1a a2 2+1+1|-2a-2| |-2a-2| = =解出：解出：a= a= 3 3-4+-4+7 7或或 a= a= 3 3-4-4-7 7(2)(2)直线方程直线方程y=-y=-x+ax+a即即x+yx+y-a=0

15、 -a=0 d= d= 1 12 2+1+12 2 |1|1(-2)+1(-2)+13-a3-a| | 2 2|1-a| |1-a| =1=1= =解出：解出：a= a= 1+1+7 7或或 a= a= 1-1-7 7直线直线x+ay-1=0求下列两条平行线间的距离：求下列两条平行线间的距离：(1)2x+3y-8=0(1)2x+3y-8=0，2x+3y+18=0 2x+3y+18=0 (2)3x+4y=10(2)3x+4y=10，3x+4y=03x+4y=0， (1)(1)直线直线2x+3y-8=02x+3y-8=0与与x x轴的交点轴的交点A A的坐标为：的坐标为： (4,0) (4,0)则

16、点则点A A到直线到直线2x+3y+18=02x+3y+18=0的距离的距离解：解： d= d= 2 22 2+3+32 2 |2|24+18| 4+18| 2 2所以两条平行线间的距离是所以两条平行线间的距离是 1313 1313 2 2 = =求下列两条平行线间的距离：求下列两条平行线间的距离：(1)2x+3y-8=0(1)2x+3y-8=0，2x+3y+18=0 2x+3y+18=0 (2)3x+4y=10(2)3x+4y=10，3x+4y=03x+4y=0 (2)(2)直线直线3x+4y=03x+4y=0与与y y轴的交点轴的交点A A的坐标为的坐标为:(0,0):(0,0)则点则点A

17、 A到直线到直线3x+4y=03x+4y=0的距离的距离解：解： d= d= 3 32 2+4+42 2 |-10| |-10| 所以两条平行线间的距离是所以两条平行线间的距离是 2 2 2 2 = =变式变式6x+8y=103x+4y=0例例3、已知平面上两点、已知平面上两点A ( 4，1 ) 和和B ( 0，4 ) 在直线在直线 ：3x y 1 = 0 上求一点上求一点 M，(1) 使使| | MA | | MB | | 为最大；为最大；xyoB (0, 4) )1 , 4(A 1(3,3)BM(2) 使使 | MA | + | MB | 为最小。为最小。xyoB (0, 4) )1 ,

18、4(A MM1例例3、已知平面上两点、已知平面上两点A ( 4，1 ) 和和B ( 0，4 ) 在直线在直线 ：3x y 1 = 0 上求一点上求一点 M，(1) 使使| | MA | | MB | | 为最大；为最大；xyoB (0, 4) )1 , 4(A 1(3,3)BM由图知：由图知：A、B1、M三点共线三点共线 且且 M 在线段在线段AB1的延长线上的延长线上 时，时，| | MA | | MB | | 最大最大分析：先求分析：先求B关于关于 的对称点的对称点B1 013092yxyx此时此时M( 2, 5 )(2) 使使 | MA | + | MB | 为最小。为最小。xyoB (0, 4) )1 , 4(A M解：由图知：解：由图知：A、M、B 三点共线且三点共线且 M 在线在线段