北师版2018七年级（下册）数学 第四章 三角形4.1认识三角形（3课时）教学课件

1、三角形的内角和三角形的内角和第四章第四章 三角形三角形 认识三角形认识三角形 从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑物到微小的分子结构，都有什么样的形状？ 在我们的生活中有没有这样的形状？在我们的生活中有没有这样的形状？能举例子吗？能举例子吗？认识三角形认识三角形4.1三角形（1）请动手请动手画画一个三角形。一个三角形。说说说说你是怎样画的。你是怎样画的。快快画一画吧画一画吧！定义定义：不在同一条直线上：不在同一条直线上的三条线段首的三条线段首尾顺次相接尾顺次相接所组成的图形叫做所组成的图形叫做三角形三角形。一一.三角形的定义三角形的定义1、顶点顶点： 用一个大写字母表示如用一个大写字母表

2、示如A、B、C 2、边边： 边边AB，边边BC，边边AC3、角角（内角）：（内角）：相邻两边相邻两边 的夹角的夹角 A，B，C 4、三角形记作：、三角形记作：ABCABC5、对角对角： 对边对边： C的对边是的对边是BA BC边的对角是边的对角是A二二.三角形的相关概念三角形的相关概念ABC在在ABC中中abc例、图中以例、图中以BCBC为边的三角形共有为边的三角形共有_个；个；它们分别它们分别_在在ABDABD中中,A A是是_边的对角边的对角, , ADBADB是是_的内角的内角DBECFA4BCF; BCF; BCE; BCE; BCD; BCD; BCA BCAABDBD 在小学我们已

3、经知道,任意一个三角 形的内角和等于180，但究竟为什么是180，我们没有去研究，本节课我们来回答这个问题。方法一方法一:通过具体的度量,验证三角形的内角和 为180.问问题题l 方法二方法二:剪拼法剪拼法. 在纸上画一个三角形，并将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角。从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？ 上面的拼合中，有不同的方法。你用了哪种方法？（1 ）（ 2 ）BBCABCABCA为什么要证明 按照上面的方法,已经可以验证一些具体的具体的三角形的内角和是180,但是由于形状不同的形状不同的三角形有无数误差,不能保证其有效性.所以我们需要一种能证明任意一个三角形的内角和等于180的

4、方法.这个方法就是证证明明.证明证明是是由命题的题设由命题的题设(已知已知)出发出发,经过严密的推理经过严密的推理,最后推最后推出结论出结论(求证求证)正确的过程正确的过程.三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于180。已知:ABC(如图所示)求证:A+B+C=180证明:过点C作AB的平行线l.ABlA=1 (两直线平行,内错角相等)同理,B=2.1+ 2+3=180 (平角的定义)A+B+BCA=180 (等量代换) 证证明明ABCl123在这里，为了在这里，为了证明的需要证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做在原来的图形上添画的线叫做辅助线。辅助线。在平面几何里，在平面几何里，辅助线

5、辅助线通常画成通常画成虚线。虚线。方法一方法一三角形内角和定理: 三角形内角和等于180.证明:延长BC到D点,过点C作AB的平行线CE.ABCEB=ECD(两直线平行,同位角相等) A=ACE(两直线平行,内错角相等)BCA+ACE+ECD=180BCA+A+B=180方法二方法二ABCED 从上面的两种证明方法中，大家能否找到它们的异同点？它们的思路是否一致呢?相同点相同点: 都是把三角形的三个内角拼到一起，根据 平角的定义证明三角形的内角和是180;不同点不同点:辅助线的作法不同。证明:过A作AEBC，C=CAE (两直线平行,内错角相等)EAC+BAC+B=180(两直线平行,同旁内角

6、互补)B+C+BAC=180 (等量代换)方法三方法三三角形内角和定理: 三角形内角和等于180.ABCE三角形内角和定理: 三角形内角和等于180.证明:过ABC的两个顶点B、C作BC的垂线BD和CE,过 点A作BD的平行线AF.由图可知BDAFCE.BAF=ABD ECA=FAC (两条直线平行,内错角相等.) ABC的三个内角 A+B+C=ABC+ACB+ BAF+ FAC =ABC+ACB+ ABD+ ECA =90+90 =180ABCEFD方法四方法四已知：已知：A B C.A B C.求证：求证：A +B +C=180A +B +C=180证明：在证明：在BC上取一点上取一点D，

7、过点，过点D作作DEBA， DF CAABCFE方法五方法五 BDF C，EDC B (两直线平行，同位角相等）两直线平行，同位角相等）EDF=DEC=A（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）D BDF EDF EDC A B C 思路总结思路总结为了证明三个角的和为为了证明三个角的和为180,利用逆向思考的利用逆向思考的方法方法,把问题转化为一个平角把问题转化为一个平角,同旁内角互补同旁内角互补,或者两个直角之和或者两个直角之和,或者其它方法或者其它方法.这种转化这种转化思想是数学中的常用方法思想是数学中的常用方法.考考自己?1:在在ABC中中,A=80,B=C , 求求C的度

8、数。的度数。解：在解：在ABC中中, A+B+C=180，A=80 B+C=100 B=C B=C=50ABC考考自己?2:已知三角形三个内角的度数之比为已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角，求这三个内角的度数。的度数。解：设三个内角度数分别为：解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x.列出方程列出方程 x+3x+5x=180 x=20答：三个内角度数分别为答：三个内角度数分别为20,60,100。按角分按角分锐角三角形锐角三角形直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形三三.三角形的分类三角形的分类斜三角形斜三角形说出下列三角形的名称说出下列三角形的名称直角三角形直角三角形锐

9、角三角形锐角三角形钝角三角形钝角三角形这节课你学到了什么?为什么要证明?你掌握了几种内角和的证明方法?你会应用内角和定理去解决一些问题吗?三角形的三边关系三角形的三边关系第四章第四章 三角形三角形 认识三角形认识三角形 1、 三角形的内角和 2、三角形的分类1.1.等腰三角形的相关概念等腰三角形的相关概念. .(1)(1)等腰三角形：有等腰三角形：有_相等的三角形叫做等腰三角形相等的三角形叫做等腰三角形. .(2)(2)等边三角形：等边三角形：_都相等的三角形是等边三角形，也叫都相等的三角形是等边三角形，也叫_._.(3)(3)关于等腰三角形各部分有其特定的名称关于等腰三角形各部分有其特定的名

10、称. .相等的两条边称为相等的两条边称为_，第三边称为，第三边称为_._.两腰的夹角称为两腰的夹角称为_，另两个角，另两个角( (腰与底的夹角腰与底的夹角) )称为称为_._.两边两边三边三边正三角形正三角形腰腰底边底边顶角顶角底角底角2.2.三角形的边角关系三角形的边角关系. .(1)(1)三角形任意两边之和三角形任意两边之和_第三边第三边. .(2)(2)三角形任意两边之差三角形任意两边之差_第三边第三边. .【归纳归纳】如果三角形的两边为如果三角形的两边为a,b,a,b,则第三边则第三边x x的取值范围是：的取值范围是：|a-b|x|a-b|x_. .大于大于小于小于a+ba+b 3.

11、3.等边三角形是等腰三角形吗？等边三角形是等腰三角形吗？提示：提示：是是. .等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是腰和底相等的等腰三角形腰和底相等的等腰三角形. . 三角形的三边关系及应用三角形的三边关系及应用【例例】等腰三角形一边长为等腰三角形一边长为5 cm5 cm，它比另一边短，它比另一边短6 6 cm,cm,求三角形周长求三角形周长. .【解题探究解题探究】(1)(1)你能确定你能确定5 cm5 cm的边是腰还是底吗？的边是腰还是底吗？答：答：不能不能，故此题可能有，故此题可能有两两解，即解，即5 cm5 cm的边为的边为底底或为或为

12、腰腰. .(2)(2)当当5 cm5 cm的边为腰时，则底边长为的边为腰时，则底边长为5+6=115+6=11(cm).(cm).因为因为5+5=105+5=101111, ,所以所以不能构成不能构成三角形三角形. .当当5 cm5 cm的边为底边时，此时腰长为的边为底边时，此时腰长为5+6=115+6=11(cm).(cm).又因为又因为11+511+51111，故能构成三角形，故能构成三角形. .所以三角形周长所以三角形周长为为5+11+11=275+11+11=27(cm).(cm).【跟踪练习】【跟踪练习】1.1.下列长度的三条线段，不能构成三角形的是下列长度的三条线段，不能构成三角形

13、的是( )( )(A)3(A)3，8 8，4 4(B)4(B)4，9 9，6 6 (C)15(C)15，2020，8 8(D)9(D)9，1515，8 8【解析】【解析】选选A.A.因为因为3+43+48 8，所以不能构成三角形；因，所以不能构成三角形；因为为4+64+69 9，所以能构成三角形；因为，所以能构成三角形；因为8+158+152020，所以，所以能构成三角形；因为能构成三角形；因为8+98+91515，所以能构成三角形，所以能构成三角形. .故故选选A.A.2. 2. 一个三角形的三边长分别为一个三角形的三边长分别为4 4，7 7，x x，那么，那么x x的取值范的取值范围是围是

14、( )( )(A)3(A)3x x1111(B)4(B)4x x7 7 (C)-3(C)-3x x1111(D)x(D)x3 3【解析解析】选选A.A.因为三角形的三边长分别为因为三角形的三边长分别为4 4，7 7，x x，7-47-4x x7+47+4，即，即3 3x x11.11.3.3.为估计池塘两岸为估计池塘两岸A A，B B间的距离，杨阳在间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点池塘一侧选取了一点P P，测得，测得PA=16 mPA=16 m，PB=12 mPB=12 m，那么，那么A A，B B间的距离不可能是间的距离不可能是( )( )(A)5 m (B)15 m (C)20 m (D

15、)28 m(A)5 m (B)15 m (C)20 m (D)28 m【解析解析】选选D.D.因为因为PAPA，PBPB，ABAB能构成三角形，所以能构成三角形，所以PA-PBPA-PBABABPA+PBPA+PB，即，即4 m4 mABAB28 m. 28 m. 4.4.如果三角形的两边长为如果三角形的两边长为2 2和和9 9，且周长为奇数，那么满足条件，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有的三角形共有( )( )(A)1(A)1个个 (B)2(B)2个个 (C)3(C)3个个 (D)4(D)4个个【解析解析】选选B.B.设第三边的边长是设第三边的边长是x x，则，则7 7x x1111，

16、所以，所以x=8x=8或或9 9或或10.10.而三角形的周长是奇数，因而而三角形的周长是奇数，因而x=8x=8或或1010，满足条件的三角形，满足条件的三角形共有共有2 2个个. .1. 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )( )(A)1(A)1，1 1，2 2(B)3(B)3，4 4，5 5(C)1(C)1，4 4，6 6(D)2(D)2，3 3，7 7【解析解析】选选B.B.由由1+1=21+1=2，1+41+46 6，2+32+37 7，得，得A A，C C，D D均不正确，均不正确，故故B B正确正确. . 2.2.如果三角形的两边长分

17、别为如果三角形的两边长分别为3 3和和5 5，第三边长是偶数，则，第三边长是偶数，则第三边长可以是第三边长可以是( )( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)8(A)2 (B)3 (C)4 (D)8【解析解析】选选C.C.由题意，设第三边为由题意，设第三边为x x，则，则5-35-3x x5+35+3，即，即2 2x x8 8，因为第三边长为偶数，所以第三边长是，因为第三边长为偶数，所以第三边长是4 4或或6.6.故故选选C.C.3.3.若三角形的两边长分别为若三角形的两边长分别为2 2和和4 4，且周长为奇数，则第三，且周长为奇数，则第三边的长是边的长是_._.【解析解析】根据三角形的三边

18、关系，得第三边长应大于根据三角形的三边关系，得第三边长应大于4-4-2=22=2，而小于，而小于4+2=6.4+2=6.又三角形的两边长分别为又三角形的两边长分别为2 2和和4 4，且周，且周长为奇数，所以第三边长应是奇数，则第三边长是长为奇数，所以第三边长应是奇数，则第三边长是3 3或或5.5.答案：答案：3 3或或5 54.4.已知：在已知：在ABCABC中，中，AB=2 cmAB=2 cm，AC=5 cmAC=5 cm，且，且BCBC边的长度边的长度为偶数为偶数( (单位：单位：cm)cm)，则，则BCBC边的长为边的长为_._.【解析解析】根据三角形的三边关系，得根据三角形的三边关系，

19、得5-25-2BCBC5+25+2，即，即3 3BCBC7.7.又又BCBC长是偶数，则长是偶数，则BC=4 cmBC=4 cm或或6 cm.6 cm.答案：答案：4 cm4 cm或或6 cm6 cm5.5.如图，有四个村庄如图，有四个村庄( (点点)A)A，B B，C C，D D，要建一所学校要建一所学校O O，使，使OA+OB+OC+ODOA+OB+OC+OD最小，最小，画图说明画图说明O O在哪里，并说出你的理由在哪里，并说出你的理由. .【解析解析】要使要使OA+OB+OC+ODOA+OB+OC+OD最小，则点最小，则点O O是线段是线段ACAC，BDBD的交点的交点. .理由如下：如

20、果存在不同于点理由如下：如果存在不同于点O O的交点的交点P P，连接连接PAPA，PBPB，PCPC，PDPD，那么那么PA+PCPA+PCACAC，即，即PA+PCPA+PCOA+OCOA+OC，同理，同理，PB+PDPB+PDOB+ODOB+OD，则则PA+PB+PC+PDPA+PB+PC+PDOA+OB+OC+ODOA+OB+OC+OD，即点即点O O是线段是线段ACAC，BDBD的交点时，的交点时，OA+OB+OC+ODOA+OB+OC+OD最小最小. .三角形的三边关系三角形的三边关系第四章第四章 三角形三角形 认识三角形认识三角形 1、 三角形的内角和 2、三角形的分类1.1.等

21、腰三角形的相关概念等腰三角形的相关概念. .(1)(1)等腰三角形：有等腰三角形：有_相等的三角形叫做等腰三角形相等的三角形叫做等腰三角形. .(2)(2)等边三角形：等边三角形：_都相等的三角形是等边三角形，也叫都相等的三角形是等边三角形，也叫_._.(3)(3)关于等腰三角形各部分有其特定的名称关于等腰三角形各部分有其特定的名称. .相等的两条边称为相等的两条边称为_，第三边称为，第三边称为_._.两腰的夹角称为两腰的夹角称为_，另两个角，另两个角( (腰与底的夹角腰与底的夹角) )称为称为_._.两边两边三边三边正三角形正三角形腰腰底边底边顶角顶角底角底角2.2.三角形的边角关系三角形的

22、边角关系. .(1)(1)三角形任意两边之和三角形任意两边之和_第三边第三边. .(2)(2)三角形任意两边之差三角形任意两边之差_第三边第三边. .【归纳归纳】如果三角形的两边为如果三角形的两边为a,b,a,b,则第三边则第三边x x的取值范围是：的取值范围是：|a-b|x|a-b|x_. .大于大于小于小于a+ba+b 3. 3.等边三角形是等腰三角形吗？等边三角形是等腰三角形吗？提示：提示：是是. .等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是腰和底相等的等腰三角形腰和底相等的等腰三角形. . 三角形的三边关系及应用三角形的三边关系及应用【例例

23、】等腰三角形一边长为等腰三角形一边长为5 cm5 cm，它比另一边短，它比另一边短6 6 cm,cm,求三角形周长求三角形周长. .【解题探究解题探究】(1)(1)你能确定你能确定5 cm5 cm的边是腰还是底吗？的边是腰还是底吗？答：答：不能不能，故此题可能有，故此题可能有两两解，即解，即5 cm5 cm的边为的边为底底或为或为腰腰. .(2)(2)当当5 cm5 cm的边为腰时，则底边长为的边为腰时，则底边长为5+6=115+6=11(cm).(cm).因为因为5+5=105+5=101111, ,所以所以不能构成不能构成三角形三角形. .当当5 cm5 cm的边为底边时，此时腰长为的边为

24、底边时，此时腰长为5+6=115+6=11(cm).(cm).又因为又因为11+511+51111，故能构成三角形，故能构成三角形. .所以三角形周长所以三角形周长为为5+11+11=275+11+11=27(cm).(cm).【跟踪练习】【跟踪练习】1.1.下列长度的三条线段，不能构成三角形的是下列长度的三条线段，不能构成三角形的是( )( )(A)3(A)3，8 8，4 4(B)4(B)4，9 9，6 6 (C)15(C)15，2020，8 8(D)9(D)9，1515，8 8【解析】【解析】选选A.A.因为因为3+43+48 8，所以不能构成三角形；因，所以不能构成三角形；因为为4+64

25、+69 9，所以能构成三角形；因为，所以能构成三角形；因为8+158+152020，所以，所以能构成三角形；因为能构成三角形；因为8+98+91515，所以能构成三角形，所以能构成三角形. .故故选选A.A.2. 2. 一个三角形的三边长分别为一个三角形的三边长分别为4 4，7 7，x x，那么，那么x x的取值范的取值范围是围是( )( )(A)3(A)3x x1111(B)4(B)4x x7 7 (C)-3(C)-3x x1111(D)x(D)x3 3【解析解析】选选A.A.因为三角形的三边长分别为因为三角形的三边长分别为4 4，7 7，x x，7-47-4x x7+47+4，即，即3 3

26、x x11.11.3.3.为估计池塘两岸为估计池塘两岸A A，B B间的距离，杨阳在间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点池塘一侧选取了一点P P，测得，测得PA=16 mPA=16 m，PB=12 mPB=12 m，那么，那么A A，B B间的距离不可能是间的距离不可能是( )( )(A)5 m (B)15 m (C)20 m (D)28 m(A)5 m (B)15 m (C)20 m (D)28 m【解析解析】选选D.D.因为因为PAPA，PBPB，ABAB能构成三角形，所以能构成三角形，所以PA-PBPA-PBABABPA+PBPA+PB，即，即4 m4 mABAB28 m. 28 m. 4

27、.4.如果三角形的两边长为如果三角形的两边长为2 2和和9 9，且周长为奇数，那么满足条件，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有的三角形共有( )( )(A)1(A)1个个 (B)2(B)2个个 (C)3(C)3个个 (D)4(D)4个个【解析解析】选选B.B.设第三边的边长是设第三边的边长是x x，则，则7 7x x1111，所以，所以x=8x=8或或9 9或或10.10.而三角形的周长是奇数，因而而三角形的周长是奇数，因而x=8x=8或或1010，满足条件的三角形，满足条件的三角形共有共有2 2个个. .1. 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是下列长度的三条线段，能组成三角形的是

28、( )( )(A)1(A)1，1 1，2 2(B)3(B)3，4 4，5 5(C)1(C)1，4 4，6 6(D)2(D)2，3 3，7 7【解析解析】选选B.B.由由1+1=21+1=2，1+41+46 6，2+32+37 7，得，得A A，C C，D D均不正确，均不正确，故故B B正确正确. . 2.2.如果三角形的两边长分别为如果三角形的两边长分别为3 3和和5 5，第三边长是偶数，则，第三边长是偶数，则第三边长可以是第三边长可以是( )( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)8(A)2 (B)3 (C)4 (D)8【解析解析】选选C.C.由题意，设第三边为由题意，设第三边为x x，则，则5-35-3x x5+35+3，即，即2 2x x8 8，因为第三边长为偶数，所以第三边长是，因为第三边长为偶数，所