第二章第一二三节

1、 江西财经大学江西财经大学 2015年Probability and mathematical statistics公共邮箱： 密码: gltj2013手机：1*第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.1 2.1 随机变量随机变量2.2 2.2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律2.3 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数2.4 2.4 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布2.5 2.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 2* 在第一章中在第一章中, 我们用样本空间的子集我们用样本空间的子集, 即即样本点的集合来表示随机试验

2、的各种结果样本点的集合来表示随机试验的各种结果, 这种表示方式对全面讨论这种表示方式对全面讨论随机试验的统计规随机试验的统计规律性律性及及数学工具的运用数学工具的运用都有较大的局限都有较大的局限. 在本章中在本章中, 我们将用我们将用实数来表示随机试实数来表示随机试验的各种结果验的各种结果, 即引入即引入随机变量随机变量的概念的概念. 这样这样, 不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性统计规律性, 而且可使我们用而且可使我们用微积分微积分的方法的方法来讨论随机试验来讨论随机试验. 3* 在实际问题中，随机试验的结果可以用在实际问题中，随机试验的结

3、果可以用数量来表示，由此就产生了数量来表示，由此就产生了随机变量随机变量的概念的概念.4*1、有些试验结果本身与数值有关、有些试验结果本身与数值有关(本身就是一本身就是一个数个数). 例如，掷一颗骰子面上出现的点数例如，掷一颗骰子面上出现的点数;七月份南昌的最高温度；七月份南昌的最高温度；每天从南昌站下火车的人数每天从南昌站下火车的人数;昆虫的产卵数昆虫的产卵数;5*2、在有些试验中、在有些试验中, 试验结果看来与数值无试验结果看来与数值无关关, 但我们可以引进一个变量来表示它的但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果各种结果. 也就是说也就是说, 把试验结果数值化把试验结果数值化. 正如裁判

4、员在运正如裁判员在运动场上不叫运动动场上不叫运动员的名字而叫号员的名字而叫号码一样码一样, 二者建立二者建立了一种对应关系了一种对应关系. 6*.X()R 则则X的取值随着试验的重复而不同的取值随着试验的重复而不同, X是是一个变量一个变量, 且在每次试验中且在每次试验中, 究竟取什么值事究竟取什么值事先无法预知先无法预知, 也就是说也就是说X是一个是一个随机取值的变随机取值的变量量,由此由此, 我们很自然地称我们很自然地称X为随机变量为随机变量. 在随机试验中在随机试验中, 如果把试验中观察的如果把试验中观察的对对象象与与实数实数对应起来对应起来, 即建立对应关系即建立对应关系X, 使其使其

5、对试验的每个结果对试验的每个结果, 都有一个实数都有一个实数X()与之与之对应对应, 7* 定义定义2.1.1: 设设(,F, P)是概率空间，是概率空间，X()是定义是定义在在上的单值实函数，若对于上的单值实函数，若对于任意实数任意实数xR， 有有 :,XxF称称X()是随机变量是随机变量. . 可测空间可测空间(,F)(,F)上的上的可测函数可测函数. .注注1 1( )Xx:简记：XxR8*注注2由随机变量定义及由随机变量定义及代数性质代数性质, 有有 Xx1=kXxk1FXxXxXxFXxXxFXxXxF注注3xR ,对记()Xx :9( )XxF:(Xx1,(XxF1,*一般地，一般

6、地， 1,:BBXXBR设记 1XB满足下列性质： 11 XRF 1XRRXX 证明： 112 ,BCXBXC若则 1,XB证明： ,XB则BC又， XC 1,XC 11XBXC10* 11 3BXXB 1,1BX证明： ,XB ,XB 1,XB 1XB 11XBXB 12XB 1XB ,BX 1,BX 11XXBB 11 BXXB 114 nnnnXXBB1 nnXB证明：， ,nnXB ,nnBXB1,nnBBX1nnXB11 nnnnXBXB11 nnnnXBXB同理可证：11 nnnnXBXB11*由以上四条可得：由以上四条可得： 15 X 1XR 1XR 16 nnBX1nnXB1n

7、nXB1nnXB1nnXB1nnXB 17 BXA1BXA 11AXBX 11AXBX 11AXBX12*13定理定理设设(,F, P)是概率空间，是概率空间，X()是定义在是定义在上的上的单值实函数，则集合簇：单值实函数，则集合簇： 1,R XBBMBF-R是 上的代数 1MR证明： 先证 1,FXRMR 2,MBMB再证：若则 11XXBB 1XBMFB若 11BXXBFMB则 3,nnnBBMM最 后 证 明 ： 若则11 nnnnBXBX利用等式可证*14随机变量随机变量X建立了建立了的子集的子集与与R的子集的子集之间的对应关系。之间的对应关系。R的子集：的子集：(, ,x,x ,x,

8、x ,),x ,(, ,a bba ,ab( , ,a b , ),a b, 以及，由上述区间的任意并、交、差、逆所构成的集合。以及，由上述区间的任意并、交、差、逆所构成的集合。引入随机变量后，第一章中对随机事件的描述引入随机变量后，第一章中对随机事件的描述转化为对转化为对波莱尔域波莱尔域的描述。的描述。以上集合构成的集簇称为以上集合构成的集簇称为波莱尔域波莱尔域。记为。记为B B , ,显然显然 BB .1,(, XXxFx若 为随机变量，则M *而表示随机变量所取的值时而表示随机变量所取的值时, 一般采用小写字母一般采用小写字母x, y, z等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字

9、母X, Y, Z或希腊字母或希腊字母 , , 等表示等表示15* 投掷两枚硬币试验投掷两枚硬币试验, =正正正正,正反正反,反正反正,反反反反( ， F ）F=， 正正正正，正反正反，反正反正，反反反反， 正正，正反正正，正反，正正，反正正正，反正，正正，反反正正，反反，正反，正反，反正反正，正反，反反正反，反反，反正，反反反正，反反，正正，正反，反正正正，正反，反正，正正，正反，反反正正，正反，反反，正正，反正正，反正，反反正，反反，正反，反正，反反正反，反正，反反，为可测空间。为可测空间。 P正正正正=P正正反反= P反反正正=P反反反反= 1/4( , F, ,P)为概率空间。为概率空间

10、。古典概型古典概型X令“ 硬 币 正 面 朝 上 的 次 数 ” ， 则0 1 2X ， ，16为为 -代数代数*映射映射X： R，X(反反反反)=0, X(正反正反)= X(反正反正)= 1，X(正正正正)=2，（1） x0，: X() x= F（2） 0 x 1， : X() x= 反反反反 F（3） 1 x m+n | X m ) = P ( X n ) 。证明证明 随机变量随机变量 X 服从参数为服从参数为 p 的几何分布：的几何分布： P(X=k) = pqk 1 ，k=1，2， （ 0 p xX x定义定义 设设X是一个随机变量是一个随机变量, 称称( )()F xP Xx)( x

11、为为X的的分布函数分布函数. 记作记作XF(x)或或 FX(x). 如果将如果将X看作数轴上随机点的坐标看作数轴上随机点的坐标, 那么分布函数那么分布函数F(x)的值就表示的值就表示X落在区间落在区间,(x的概率的概率.55* 问问: 在上式中在上式中, X, x皆为变量皆为变量. 二者有什二者有什么区别么区别? F(x)是不是概率是不是概率?X是随机变量是随机变量, x是参变量是参变量.F(x)是随机变量是随机变量X取值不大于取值不大于x的概率的概率.xxXPxF),()(56分布函数是一个普通的函数分布函数是一个普通的函数, 正是正是通过它通过它, 我们可以用微积分的工具来我们可以用微积分

12、的工具来研究随机变量研究随机变量.* 在这个意义上可以说在这个意义上可以说, 分布函数完整地分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性描述了随机变量的统计规律性, 或者说或者说, 分布分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况函数完整地表示了随机变量的概率分布情况. 因此因此, 只要知道了随机变量只要知道了随机变量X的分布函的分布函数数, 它的统计特性就可以得到全面的描述它的统计特性就可以得到全面的描述. 有了分布函数定义有了分布函数定义, 任意任意x1, x2R, , 随机变量随机变量X落在落在(x1, x2里的概率可用分布函数里的概率可用分布函数来计算来计算:12xx122121()( )(

13、 )P xXxP XxP XxF xF x 2211,XXxxxXx21 ,xXxX且57*(3) F(x) 右连续右连续, 即即 00lim( )( )xxF xF x 如果一个函数具有上述性质如果一个函数具有上述性质, 则一定是则一定是某个随机变量某个随机变量X 的分布函数的分布函数. 也就是说也就是说, 性质性质(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某个随机变量是鉴别一个函数是否是某个随机变量的分布函数的的分布函数的充分必要条件充分必要条件.(2)()lim( )0 xFF x ()lim( )1xFF x (1) F(x)非降非降, 即若即若 , 则则 ;12xx12( )( )F xF

14、x0F x 58*分布函数性质的证明：分布函数性质的证明：2121,.1.xxRxx且21 ()( )FFxx则21PXxx0 ，21()( )xFF x( )2,.F xP Xx0()F P X P1()F P X P13 .nF x1,nXxP11nXXnxx11+1XXxnnx且 ，由概率的从上连续性lim1nFnx1limnxnP X11nnxPXxPX xF F x右连续59*试说明试说明F(x)能否是某个随机变量能否是某个随机变量 的分布函数的分布函数.例例1 设有函数设有函数F(x)sin0( )0 xxF x其它解解： 注意到函数注意到函数 F(x)在在 上下降上下降, 不满足

15、性质不满足性质(1), 故故F(x)不能是分布函数不能是分布函数.,2不满足性质不满足性质(2), 可见可见F(x)也不能是随机变量的也不能是随机变量的分布函数分布函数.或者或者()lim ( ) 0 xFF x 60*61用分布函数计算随机事件用分布函数计算随机事件（1）P ( X x ) = F( x 0 )左极限左极限记忆：记忆：X右边有右边有“”号时取左极限号时取左极限证明：证明：P Xx11nPxnX1limnxnP X1limnxnF0F x（2）P ( X = x ) = F ( x ) F ( x 0 ) X = x = X x X x ) = 1 F ( x )（4）P (

16、X x ) = 1 F ( x 0 )记忆：记忆：X左边有左边有“”号时取左极限号时取左极限*62更进一步，对任意实数更进一步，对任意实数 a b，复合事件，复合事件 a X b 、 a X b 、 a X b 、 a X b 的概率，都可的概率，都可以用分布函数来计算：以用分布函数来计算：（6）P ( a X b ) = F ( b 0 ) F ( a ) （5）P ( a X b )= F ( b ) F ( a )（7） P ( a X b ) = F( b 0 ) F( a 0 )（8）P ( a X b ) = F ( b ) F ( a 0 )左极限规律：左左极限规律：左“ ”号，

17、右号，右“”号号*例例2X设 的分布律为, 求求 F(x).解解:( )()F xP Xx当当 时时, , 故故Xx 0 x( )0F x 当当 时时, 01x 1( )()(0)3F xPxP XX当当 时时, 12x 111( )()()36201F xXP XPXP012111362当当 时时, 2x ( )()(01)() 12XF xPP XXP不是左不是左连续连续右连续右连续63*故故注意右连续注意右连续0,131,0,01( )12,212xxF xxx此分段函数有三个分段点此分段函数有三个分段点0,1,2，故有，故有0P X 000FF10301P X 11 0FF1112362P X 220FF11122 64XP012111362*01/ 31/,0,01( )122,21xxF xxx 分布函数图分布函数图（阶梯形递增右连续）（阶梯形递增右连续）1 312120 x1 6OOO1)(xFXP01