第3章 流体动力学

1、江汉大学化环学院米铁制作江汉大学化环学院米铁制作 本章主要介绍与液体运动有关的基本概念及液体运本章主要介绍与液体运动有关的基本概念及液体运动所遵循的普遍规律并建立相应的方程式。动所遵循的普遍规律并建立相应的方程式。主要内容：主要内容：v描述液体运动的两种方法描述液体运动的两种方法v欧拉法的若干基本概念欧拉法的若干基本概念v恒定一元流的连续性方程式恒定一元流的连续性方程式v实际液体恒定总流的能量方程式实际液体恒定总流的能量方程式v能量方程式的应用举例能量方程式的应用举例v实际液体恒定总流的动量方程式实际液体恒定总流的动量方程式v恒定总流动量方程式的应用举例恒定总流动量方程式的应用举例江汉大学化环

2、学院米铁制作3.1 3.1 流体运动的描述方法流体运动的描述方法拉格朗日法 以研究单个液体以研究单个液体质点质点的运动的运动过程作为基础，综合所有质点的运动，构过程作为基础，综合所有质点的运动，构成整个液体的运动。成整个液体的运动。 a，b，c，t 称为拉格朗日变数 ( , , , )xx a b c t( , , , )yy a b c t( , , , )zz a b c t江汉大学化环学院米铁制作xzyO M （a，b，c）（t0）（x，y，z）t( , , , )( , , , )( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t若给定若给定a a，b b，

3、c c，即为某一质点的，即为某一质点的运动轨迹线方程。运动轨迹线方程。( , , , )( , , , )( , , , )xyzxx a b c tuttyy a b c tuttzz a b c tutt液体质点在任意时刻的速度。液体质点在任意时刻的速度。江汉大学化环学院米铁制作速度分量可写为( , , , )( , , , )x a b c tuu a b c tt( , , , )( , , , )y a b c tvv a b c tt( , , , )( , , , )z a b c tww a b c tt江汉大学化环学院米铁制作加速度分量可写为22( , , , )( , ,

4、, )xxux a b c taa a b c ttt22( , , , )( , , , )yyvy a b c taa a b c ttt22( , , , )( , , , )zzwz a b c taa a b c ttt江汉大学化环学院米铁制作欧拉法以考察不同液体质点通过固定以考察不同液体质点通过固定的空间点的运动情况作为基础，综合所的空间点的运动情况作为基础，综合所有空间点上的运动情况，构成整个液体有空间点上的运动情况，构成整个液体的运动。的运动。 速度分量 ( , , , )uu x y z t x，y，z，t 称为欧拉变数 ( , , , )pp x y z t( , , ,

5、)vv x y z t( , , , )ww x y z t江汉大学化环学院米铁制作加速度分量yvvvvauvwtxyzzwwwwauvwtxyzxduuu dxu dyu dzadttx dty dtz dtuuuuuvwtxyz江汉大学化环学院米铁制作xuuuuauvwtxyz江汉大学化环学院米铁制作xzyO M （x，y，z）t时刻( , , , )( , , , )( , , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t若x，y，z为常数，t为变数，若t 为常数， x，y，z为变数，若针对一个具体的质点，x，y ，z ，t均为变数，且有 x（t），y （t）

6、 ，z （t） ，( , , , )( , , , )( , , , )xxyyzzdux y z tadtdux y z tadtdux y z tadt质点通过流场中任意点的加速度江汉大学化环学院米铁制作1.1.恒定流和非恒定流恒定流和非恒定流 流场中液体质点通过空间点时所有的运动要素都流场中液体质点通过空间点时所有的运动要素都不随时间而变化的流动称为恒定流；反之，只要有一不随时间而变化的流动称为恒定流；反之，只要有一个运动要素随时间而变化，就是非恒定流。本课程主个运动要素随时间而变化，就是非恒定流。本课程主要讨论恒定流运动。要讨论恒定流运动。 3.2欧拉法的基本概念欧拉法的基本概念江汉大

7、学化环学院米铁制作迹线与流线迹线与流线迹线迹线是指某液体质点在运动过程中，不同是指某液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点所连成的线。时刻所流经的空间点所连成的线。流线流线是指某一是指某一瞬瞬时，在流场中绘出的一时，在流场中绘出的一条条光滑的矢量曲线光滑的矢量曲线，其上所有各点的，其上所有各点的速度向量速度向量都与该曲线都与该曲线相切相切。 流线能反映瞬时的流动方向流线能反映瞬时的流动方向流线图流线图流线不能相交，不能为折线流线不能相交，不能为折线。 举例举例1 2 3 4流线演示江汉大学化环学院米铁制作流管、元流、总流和过流断面流管、元流、总流和过流断面流管由流线构成的一个封闭的管状曲

8、面dA元流充满以流管为边界的一束液流总流在一定边界内具有一定大小尺寸的实际流动的水流，它是由无数多个元流组成过流断面与元流或总流的流线正交的横断面 过水断面的过水断面的形状形状可以可以是平面也可以是曲面。是平面也可以是曲面。江汉大学化环学院米铁制作流量和断面平均流速流量和断面平均流速流量流量单位时间内通过某一过水断面的液体体积，单位时间内通过某一过水断面的液体体积，常用单位常用单位m m3 3/ /s s，以符号，以符号Q Q表示。表示。udAudAdQQAQdQudA断面平均流速断面平均流速是一个想像的流速，如果过水断是一个想像的流速，如果过水断面上各点的流速都相等并等于面上各点的流速都相等

9、并等于V V，此时所通过的流量，此时所通过的流量与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等，与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等，则该流速则该流速V V称为断面平均流速。称为断面平均流速。AudAVA江汉大学化环学院米铁制作旋转抛物面AQudA即为旋转抛物体的体积断面平均流速VV AQ即为柱体的体积AudAVAAx端面平均流速V可以将多元流简化为一元流,如:则管道中的流速分布为v=v(x)江汉大学化环学院米铁制作水流的分类水流的分类按按运动要素运动要素是否随时间变化是否随时间变化表征液体运动的物理量，如流速、加速度、动水压强等恒定流恒定流非恒定流非恒定流图示水库水库t0时刻t1时刻按运动

10、要素随空间坐标的变化按运动要素随空间坐标的变化一元流一元流二元流二元流三元流三元流图示按流线是否为彼此按流线是否为彼此平行的直线平行的直线均匀流均匀流非均匀流非均匀流图示渐变流渐变流急变流急变流图示水库hB江汉大学化环学院米铁制作均匀流、渐变流过水断面的重要特性均匀流、渐变流过水断面的重要特性均匀流是流线为彼此平行的直线，应具有以下特性：均匀流是流线为彼此平行的直线，应具有以下特性：过水断面为平面，且过水断面的形状和尺寸沿程不变；过水断面为平面，且过水断面的形状和尺寸沿程不变；同一流线上不同点的流速应相等，从而各过流断面上同一流线上不同点的流速应相等，从而各过流断面上的流速分布相同，断面平均流

11、速相等；的流速分布相同，断面平均流速相等；均匀流（包括渐变流）过水断面上的动水压强分布规律均匀流（包括渐变流）过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分布规律相同，即在与静水压强分布规律相同，即在同一过水断面上各点的同一过水断面上各点的测压管水头为一常数；测压管水头为一常数；推论推论：均匀流过水断面上动水总压力的计算方法与静水总均匀流过水断面上动水总压力的计算方法与静水总压力的计算方法相同。压力的计算方法相同。江汉大学化环学院米铁制作 3.3恒定总流的连续性方程恒定总流的连续性方程在恒定总流中，取一微小流束，在恒定总流中，取一微小流束，依质量守恒定律：依质量守恒定律：u1u2dA1dA21 11

12、222u dAdtu dA dt设设 ，则，则121122u dAu dA即有：即有：12dQdQ微小流束的连续性方程微小流束的连续性方程12QQ积分得：积分得：也可表达为：也可表达为：1122V AV A恒定总流的连续性方程恒定总流的连续性方程适用条件：适用条件：恒定、不可压缩的总流且没有支汇流。恒定、不可压缩的总流且没有支汇流。 若有支流：若有支流：Q1Q2Q3123QQQQ1Q2Q3132QQQ江汉大学化环学院米铁制作流线图流线图均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流非均匀流渐变流急变流急变流急变流江汉大学化环学院米铁制作OO11()pzCg22()pzCgdndApp+dpz

13、 dzz在均匀流，与流线正交的在均匀流，与流线正交的n n方向上无加速度，所以有方向上无加速度，所以有0nF 即：即：()cos0pdApdp dAgdAdn0dpgdz积分得：积分得：gzCp江汉大学化环学院米铁制作设在理想液体恒定流中，取一微小流束设在理想液体恒定流中，取一微小流束 依牛顿第二定律依牛顿第二定律： ssmaF其中其中： dtduas一元流时一元流时 dsduudtdsdsdudtdusuu)(任意两个断面：任意两个断面： 2211221222pupuZZgggg00ZZdZds12pp+dpdG=gdAdsdA()cosdupdApdp dAgdAdsdAds uds2()

14、02pud Zgg22puZcgg沿流线积分得沿流线积分得：不可压缩理想液体恒定元流的能量方程式不可压缩理想液体恒定元流的能量方程式江汉大学化环学院米铁制作动能定理：运动物体在某一时段内动能的增量等于各外力对物体所作的功之和221122oWmVmV3.4 恒定元流能量方程（元流伯努里方程）恒定元流能量方程（元流伯努里方程）3.4.1理想液体恒定元流能量方程江汉大学化环学院米铁制作122 21 112()()KKKKEEEE2 21 1KKEE动能的增量动能的增量121 2KKKEEE江汉大学化环学院米铁制作22211122KEdmUdmU22211()2dQdt UU2221()22UUgdQ

15、dtgg江汉大学化环学院米铁制作 重力作功： 12()GWdmg zz12()gdQdt zz江汉大学化环学院米铁制作压力作功：111222PWp dAdSp dA dS111222pdAUdtpdAU dt12()dQdt pp江汉大学化环学院米铁制作GPKWWE22211212()()()22UUgdQdt zzdQdt ppgdQdtgg2211221222pUpUzzgggg理想液体恒定元流能量方程江汉大学化环学院米铁制作方程式的物理意义方程式的物理意义2211221222pupuZZgggg001Z2Z12位置水头位置水头压强水头压强水头流速水头流速水头测压管水头测压管水头总水头总水

16、头单位位能单位位能单位压能单位压能单位动能单位动能单位势能单位势能单位总机械能单位总机械能表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，元流内不同过水断面上，表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，元流内不同过水断面上，单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。江汉大学化环学院米铁制作 该方程的适用范围是：理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动，并沿同一流线（或微元流束）在特殊情况下，绝对静止流体V=0，由式(3-34)可以得到静力学基本方程 2. 方程的物理意义和几何意义方程的物理意义和几何意义 为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来叙述该方

17、程的物理意义和几何意义。常数gpz江汉大学化环学院米铁制作 1 1）物理意义）物理意义 前两项的物理意义，在静力学中已有阐述，即 第一项z表示单位重量流体所具有的位势能； 第二项p/(g)p/(g)表示单位重量流体的压强势能； 第三项u2/(2g)u2/(2g)理解如下：由物理学可知，质量为m的物体以速度V运动时，所具有的动能为Mu2/2，则单位重量流体所具有的动能为u2/(2g)即(mu2/2)/(mg)= u2/(2g) 。所以该项的物理意义为单位重量流体具有的动能。位势能、压强势能和动能之和称为机械能。 因此，伯努利方程可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线（或微

18、元流束）上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但位势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换，所以伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。江汉大学化环学院米铁制作 2 2）几何意义图）几何意义图 理想流体微元流束的伯努利方程式中，左端前两项的几何意义，同样在静力学中已有阐述，即第一项z表示单位重量流体的位置水头，第二项p/(g)表示单位重量流体的压强水头，第三项u2/(2g)与前两项一样也具有长度的量纲。它表示所研究流体由于具有速度V，在无阻力的情况下，单位重量流体所能垂直上升的最大高度，称之为速度水头。位置水头、压强水头和速度水头

19、之和称为总水头。由于它们都表示某一高度，所以可用几何图形表示它们之间的关系，如图所示。 因此伯努利方程也可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线(或微元流束)上各点的单位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水头之和保持不变，即总水头是一常数。江汉大学化环学院米铁制作皮托管测速仪皮托管测速仪 在工程实际中，常常需要来测量某管道中流体流速的大小，然后求出管道的平均流速，从而得到管道中的流量，要测量管道中流体的速度，可采用皮托管来进行，其测量原理如图所示。 在液体管道的某一截面处装有一个测压管和一根两端理想流体恒定元流能量方程的应用理想流体恒定元流能量方程的应用江汉大学化环

20、学院米铁制作VBAZZ 皮托管测速原理图江汉大学化环学院米铁制作 开口弯成直角的玻璃管（称为测速管）。将测速管（又称皮托管）的一端正对着来流方向，另一端垂直向上，这时测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高h。这是由于当液流流到测速管入口前的A点处，液流受到阻挡，流速变为零，则在测速管入口形成一个驻点A。驻点A的压强PA称为全压，在入口前同一水平流线未受扰动处（例如B点）的液体压强为 PB，速度为V。应用伯努利方程于同一流线上的、两点，则有 则 022gpzgVgpzABgVgpgphBA22ghppvBA22江汉大学化环学院米铁制作 上式表明，只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h，就可以确

21、定流体的流动速度。由于流体的特性，以及皮托管本身对流动的干扰，实际流速比用该式计算出的要小，因此，实际流速为 式中 流速修正系数，一般由实验确定， =0.97。 如果测定气体的流速，则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来，必须把两根管子连接到一个形差压计上，从差压计上的液面差来求得流速，如图所示，则 则得 ghV2)(液液ghppBA122液液液液ghhgV江汉大学化环学院米铁制作图 3-17 用皮托管和静压管测量气体流速江汉大学化环学院米铁制作 考虑到实际情况， 在工程应用中多将静压管和皮托管组合成一件，称为皮托静压管，又称动压管，习惯上常简称它为皮托管，其示意图如图所示。图中1点为总压测

22、点，2点为静压测点，将总静压孔的通路分别连接于差压计的两端，则差压计的指示为总压和静压的差值，从而可由上式求得测点的流速。皮托-静压管的构造及使用方法。12液液ghV江汉大学化环学院米铁制作图 3-18 皮托-静压管江汉大学化环学院米铁制作 实际液体恒定元流的能量方程式实际液体恒定元流的能量方程式2211221222pupuZZggggwhwh单位重量液体从断面单位重量液体从断面1-11-1流至断面流至断面2-22-2所损失所损失的能量，称为水头损失。的能量，称为水头损失。001Z2Z12wh江汉大学化环学院米铁制作 将构成总流的所有微小流束的能量方程式叠加起来，将构成总流的所有微小流束的能量

23、方程式叠加起来，即为总流的能量方程式。即为总流的能量方程式。22112212()()22wQQpupuZgdQZhgdQgggg22112212()()22wQQQQQpupuZgdQgdQZgdQgdQhgdQgggg()QpZgdQg均匀流或渐变流过水断面上()pZCg()QpZg dQg()pZgQg22QugdQgdQudA32Agu dAg33Au dAV A动能修正系数,1.051.132gV Ag22VgQgwQhgdQ取平均的hwwQhgdQwhgQ11()pZgQg2112VgQg22()pZgQg2222VgQgwhgQVu，2211 12221222wpVpVZZhggg

24、g3.5实际液体恒定总流的能量方程实际液体恒定总流的能量方程江汉大学化环学院米铁制作221112221222wpVpVZZhgggg2001Z2Z1wh12 实际液体恒定总流的能量方程式表明：水流总是从水头大处流向水头实际液体恒定总流的能量方程式表明：水流总是从水头大处流向水头小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。 12wHHh12wEEh总水头线测压管水头线22Vg 实际液体总流的总水头线必定是一条实际液体总流的总水头线必定是一条逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是下降的线也可能是上升的线甚

25、至可能是一下降的线也可能是上升的线甚至可能是一条水平线。条水平线。水力坡度水力坡度J J单位长度流程上的水头损失，单位长度流程上的水头损失，wdhdHJdLdL测管坡度测管坡度()ppd ZgJdL方程式的物理意义：江汉大学化环学院米铁制作应用能量方程式的条件：应用能量方程式的条件：221112221222wpVpVZZhgggg（1）恒定流；（2）质量力只有重力； (3) 不可压缩流体；（4）在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条件，但所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流；（5）在所取的两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加入或分出。若有分支，则应对第一支水流建立能量方程式

26、，例如图示有支流的情况下,能量方程为：（6）流程中途没有能量H输入或输出。若有，则能量方程式应为：Q1Q2Q311223322333111131 322wpVpVZZhgggg22333222232 322wpVpVZZhgggg221112221222twpVpVZHZhgggg江汉大学化环学院米铁制作2211 12221222wpVpVZZhgggg应用能量方程式的注意点：应用能量方程式的注意点：（1 1）选取高程基准面；）选取高程基准面；（2 2）选取两过流断面；）选取两过流断面； 所选断面上水流应符合渐变流的条件，但所选断面上水流应符合渐变流的条件，但两个断面之间，水流可以不是渐变流。

27、两个断面之间，水流可以不是渐变流。（3 3）选取计算代表点；）选取计算代表点；（4 4）选取压强的计算基准；）选取压强的计算基准；（5 5）方程中各项单位的统一。）方程中各项单位的统一。能量方程式的应用能量方程式的应用江汉大学化环学院米铁制作 例例1.1.如图所示，一等直径的输如图所示，一等直径的输水管，管径为水管，管径为d=100mmd=100mm，水箱水位，水箱水位恒定，水箱水面至管道出口形心点恒定，水箱水面至管道出口形心点的高度为的高度为H=2mH=2m，若不水流运动的水，若不水流运动的水头损失，求管道中的输水流量。头损失，求管道中的输水流量。H分析：分析：Q=VAQ=VA；A=dA=d

28、2 2/4/4所以需要用能量方程式求出所以需要用能量方程式求出V V；221100解：对解：对1-11-1、2-22-2断面列能量方程式：断面列能量方程式：22122000022VVgg其中：其中：2102Vg所以有：所以有：2222Vg可解得：可解得：246.26/Vgms则：则：22360.049/44dQVms答：该输水管中的输水流量为答：该输水管中的输水流量为0.049m0.049m3 3/s/s。江汉大学化环学院米铁制作文丘里流量计（文丘里量水槽）文丘里流量计（文丘里量水槽）1 12 2收缩段喉管扩散段hh1h2h1h2B1B2111222h以管轴线为高程基准面

29、，暂不计水头损失，以管轴线为高程基准面，暂不计水头损失，对对1-11-1、2-22-2断面列能量方程式：断面列能量方程式：221212022VVhhgg整理得：整理得：2221122VVhhhg由连续性方程式可得：由连续性方程式可得：21222211VAdVAd或或21212()dVVd代入能量方程式，整理得：代入能量方程式，整理得：14122()1ghVdd则则211 141224()1dghQ AVK hdd当水管直径及喉管直径确定后，当水管直径及喉管直径确定后，K为为一定值，可以预先算出来。一定值，可以预先算出来。若考虑水头损失，实际流量会减小，则若考虑水头损失，实际流量会减小，则QKh

30、称为文丘里管的流量系数，称为文丘里管的流量系数，一般约为一般约为0.950.98江汉大学化环学院米铁制作 伯努利方程应用时特别注意的几个伯努利方程应用时特别注意的几个问题问题 伯努利方程是流体力学的基本方程之一，与连续性方程和流体静力学方程联立，可以全面地解决一维流动的流速(或流量)和压强的计算问题，用这些方程求解一维流动问题时，应注意下面几点：文丘里流量计实验文丘里流量计实验江汉大学化环学院米铁制作 (1) 弄清题意，看清已知什么，求解什么，是简单的流 动问题，还是既有流动问题又有流体静力学问题。 (2) 选好有效截面，选择合适的有效截面，应包括问题中所求的参数，同时使已知参数尽可能多。通常

31、对于从大容器流出，流入大气或者从一个大容器流入另一个大容器，有效截面通常选在大容器的自由液面或者大气出口截面，因为该有效截面的压强为大气压强，对于大容器自由液面，速度可以视为零来处理。 (3) 选好基准面，基准面原则上可以选在任何位置，但选择得当，可使解题大大简化，通常选在管轴线的水平面或自由液面，要注意的是，基准面必须选为水平面。 (4) 求解流量时，一般要结合一维流动的连续性方程求解。伯努利方程的p1和p2应为同一度量单位，同为绝对压强或者同为相对压强，p1和p2的问题与静力学中的处理完全相同。 (5) 有效截面上的参数，如速度、位置高度和压强应为同一点的，绝对不许在式中取有效截面上点的压

32、强，又取同一有效截面上另一点的速度。江汉大学化环学院米铁制作【例题例题】 有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。 【解解】 当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程 当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本gVgppgpHaaa26 . 00022江汉大学化环学院米铁制作 方程求出值 则 代入到上式 （m/s） 所以管内流量 （m3/s）aaappgHp8 . 2O)(mH289806980608 . 28 .

33、22gpHa78.209806980606 . 08 . 2806. 926 . 022gpHgVa235. 078.2012. 0785. 04222VdqV江汉大学化环学院米铁制作例题图江汉大学化环学院米铁制作 【例题例题】 水流通过如图所示管路流入大气，已知：形测压管中水银柱高差h=0.2m，h1=0.72m H2O，管径d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管中流量qv。 【解解】 首先计算1-1断面管路中心的压强。因为A-B为等压面，列等压面方程得： 则 (mH2O) 列1-1和2-2断面的伯努利方程11Hgghphg1Hg1ghhgp272. 02 .

34、 06 .131Hg1hhgpgVgpzgVgpz2222222111江汉大学化环学院米铁制作 由连续性方程： 将已知数据代入上式，得 （m/s） 管中流量 （m3/s）21221ddVVgVgV2015216122022221 .12151676 .192V024. 01 .1205. 0442222VdqV江汉大学化环学院米铁制作例题图 江汉大学化环学院米铁制作 例题例题一救火水龙带，喷嘴和泵的相对位置如图所示。泵出口压力（A点压力）为2个大气压（表压），泵排出管断面直径为50mm；喷嘴出口C 的直径20mm；水龙带的水头损失设为0.5m；喷嘴水头损失为0.1m。试求喷嘴出口流速、泵的排量

35、及B点压力。泵ABCm2 . 0m3 例题示意图江汉大学化环学院米铁制作解解 取A、C两断面写能量方程：CACCCAAAhggpzggpz2222 通过A点的水平面为基准面，则 ； （在大气中）；水的重度 重力加速度 ； 水柱，即m2 . 3, 0CAzz0,Pa1096. 128cApatp,98003mg2m/s8.9gm6 . 01 . 05 . 0CAhCCCACCAdAdcAA16. 0502022 将各量代入能量方程后，得6 . 08 . 9202 . 38 . 9216. 09800108 . 920224CC江汉大学化环学院米铁制作解得喷嘴出口流速为 。 smC06.18而泵的

36、排量为slsmAQCC68. 500568. 0402. 006.1832为计算B点压力，取B、C两断面计算，即CBCCCBBBhggpzggpz2222 通过B点作水平面基准面，则 ;1 . 0;89. 206.1816. 016. 0;2 . 0, 0mhsmmzzCCABCB代入方程得1 . 08 . 9206.1802 . 08 . 9289. 29800022Bp解得压力atpB65.1江汉大学化环学院米铁制作【例题】 风管直径 D=100 mm ,空气重度 ，在直径 d50 mm 的喉部装一细管与水池相连，高差 H=150 mm ,当汞测压计中读数 时，开始从水池中将水吸入管中，问

37、此时空气流量为多大？2N/m 12mm25h代入上式，解得由连续方程两处能量方程，求速度，列喉部压力）测压管处风压）（解：水气汞 22 21 (3) N/m 5 .1471 (2) N/m 7 .3331( 1 22122222112221dDVVVpVpHphphHgDdH空气水 题 32 附 图江汉大学化环学院米铁制作s/m 18. 041 . 014. 387.224 (4)m/s 22.87 1)50100(128 . 92)5 .14717 .3331( 1)(2)( 3221222222211DVQdDgppV流量江汉大学化环学院米铁制作3.6 总水头线与测压管水头线总水头线与测压

38、管水头线江汉大学化环学院米铁制作 为了形象地反映总流中各种能量的变化规律，为了形象地反映总流中各种能量的变化规律，可将能量方程用图形表示。可将能量方程用图形表示。 纵坐标纵坐标 长度（方程各项都具有长度因次），铅垂方向长度（方程各项都具有长度因次），铅垂方向 横坐标横坐标 流程坐标，管道：轴线；明渠：渠道底，并流程坐标，管道：轴线；明渠：渠道底，并都将建筑物（管道、明渠）轮廓一并画出。都将建筑物（管道、明渠）轮廓一并画出。代表点代表点 过水断面上，各点位置水头、压强水头不同，过水断面上，各点位置水头、压强水头不同，所以，要在过水断面选取代表点。所以，要在过水断面选取代表点。管道：管中心管道：管

39、中心 明渠：自由表面。明渠：自由表面。江汉大学化环学院米铁制作0012z1hw12z2zp1p21v122g2v222g测压管水头线测压管水头线总水头线总水头线p v 22g江汉大学化环学院米铁制作0012z1hw12z2zp1p21v122g2v222g测压管水头线测压管水头线总水头线总水头线p v 22g江汉大学化环学院米铁制作0012z1hw12z2zp1p21v122g2v222g测压管水头线测压管水头线总水头线总水头线p v 22g江汉大学化环学院米铁制作v21212水面测压管水头线水面测压管水头线v11v122g2v222gz1z2hw总水头线总水头线江汉大学化环学院米铁制作v21

40、212水面测压管水头线水面测压管水头线v11v122g2v222gz1z2hw总水头线总水头线江汉大学化环学院米铁制作v21212水面测压管水头线水面测压管水头线v11v122g2v222gz1z2hw总水头线总水头线江汉大学化环学院米铁制作11s22334455ipi/v0hwiH0 总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线v022gH江汉大学化环学院米铁制作11s22334455ipi/v0hwiH0 总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线v022gH江汉大学化环学院米铁制作11s22334455ipi/v0hwiH0 总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线v022gH江汉大学化环学院

41、米铁制作3.8 恒定总流动量方程恒定总流动量方程 .1动量方程推倒动量方程推倒 动量方程是动量守恒定律在流体力学中的具体表达。动量方程是动量守恒定律在流体力学中的具体表达。本节讨论流体作定常流动时的动量变化和作用在流体上的本节讨论流体作定常流动时的动量变化和作用在流体上的外力之间的关系。一般力学中动量定理表述为：物体动量外力之间的关系。一般力学中动量定理表述为：物体动量的时间变化率等于作用在该物体上的所有外力的矢量和。的时间变化率等于作用在该物体上的所有外力的矢量和。 在此先建立控制体的概念：所谓控制体是空间的一个在此先建立控制体的概念：所谓控制体是空间的一个固定不变的区域，它

42、的边界面称为控制面。固定不变的区域，它的边界面称为控制面。umkdtkdF江汉大学化环学院米铁制作 如图，现以总流的一段管段为例。取断面如图，现以总流的一段管段为例。取断面1 1和和2 2以及其以及其间管壁表面所组成的封闭曲面为控制面，内部的空间为控制间管壁表面所组成的封闭曲面为控制面，内部的空间为控制体。流体从控制面体。流体从控制面1 1流入控制体，从控制面流入控制体，从控制面2 2流出，管壁可看流出，管壁可看成流管，无流体进出。成流管，无流体进出。 在在t t时刻流段所具有的动量为时刻流段所具有的动量为 经过经过dtdt时段后，流段移动到时段后，流段移动到 ，这时流段所具有的动，这时流段所

43、具有的动 量为量为 对定常流有对定常流有 0211121tkkk222121kkktttkk2121021江汉大学化环学院米铁制作 所以所以 在此流段的总流中任取一元流，设进、出口断面在此流段的总流中任取一元流，设进、出口断面1-11-1和和2-22-2上的过水面积为上的过水面积为dAdA1 1、dAdA2 2，则，则 令动量修正系数令动量修正系数 ，则上式可进一步写成，则上式可进一步写成 其中其中 。将这些关系代入动量定。将这些关系代入动量定理的表达式中，可得理的表达式中，可得11222121kkkkkddtudAukA1111111dtudAukA2222222AVdAuA22dtuAuk

44、2222222dtuAuk1111111QQQAVAV2211222111江汉大学化环学院米铁制作 上式为恒定流总流动量方程。它是矢量方程，实际上常用上式为恒定流总流动量方程。它是矢量方程，实际上常用三个坐标轴上的投影式表示，即三个坐标轴上的投影式表示，即 应用动量方程解题时要注意以下几点：应用动量方程解题时要注意以下几点：动量方程是一个矢量方程，经常使用投影式。注意外力、速动量方程是一个矢量方程，经常使用投影式。注意外力、速度和方向问题，它们与坐标方向一致时为正，反之为负。度和方向问题，它们与坐标方向一致时为正，反之为负。在考虑外力时注意控制体外的流体通过进口断面和出口断在考虑外力时注意控制

45、体外的流体通过进口断面和出口断1122VVQFzzzyyyxxxVVQFVVQFVVQF112211221122江汉大学化环学院米铁制作 面对控制体内流体的作用力。面对控制体内流体的作用力。 外力中包含了壁面对流体作用力外力中包含了壁面对流体作用力 ，而求解问题中，而求解问题中往往需要确定流体作用在壁面上的力往往需要确定流体作用在壁面上的力 ，这两个力，这两个力按牛顿第三定理按牛顿第三定理 。动量修正系数在计算要求精度不高时，常取动量修正系数在计算要求精度不高时，常取1。RRRR江汉大学化环学院米铁制作适用条件：适用条件：不可压缩液体、恒定流、过水断面为均匀流或不可压缩液体、恒定流、过水断面为

46、均匀流或渐变流过水断面、无支流的汇入与分出。渐变流过水断面、无支流的汇入与分出。22233 31 1 1FQVQVQ V 如图所示的一分叉管路，动量如图所示的一分叉管路，动量方程式应为：方程式应为：v3112233Q3Q1Q2v1v2江汉大学化环学院米铁制作应用动量方程式解决问题的步骤：应用动量方程式解决问题的步骤：取控制体；取控制体； 正确分析受力，未知力设定方向；正确分析受力，未知力设定方向； 建立坐标系建立坐标系 右侧为右侧为( (下游断面的动量下游断面的动量)-()-(上游断面的动量上游断面的动量) ) 1122FP1FP2FRFGxzy江汉大学化环学院米铁制作动量方程式在工程中的应用

47、动量方程式在工程中的应用弯管内水流对管壁的作用力弯管内水流对管壁的作用力水流对建筑物的作用力水流对建筑物的作用力射流对平面壁的冲击力射流对平面壁的冲击力江汉大学化环学院米铁制作弯管内水流对管壁的作用力弯管内水流对管壁的作用力管轴水平放置管轴水平放置管轴竖直放置管轴竖直放置1122P1=p1A1P2=p2A2RGxzyV1V2RzRx沿沿x x方向列动量方程为：方向列动量方程为：沿沿z方向列动量方程为：方向列动量方程为：沿沿x x方向列动量方程为：方向列动量方程为：沿沿y方向列动量方程为：方向列动量方程为：P1=p1A1P2=p2A2RV1V2RyRxxy111111110QVApRVQRApx

48、x222222220QVGApRVQRGApzz111111110QVApRVQRApxx222222220QVApRVQApRyy江汉大学化环学院米铁制作例题例题 一变径弯管，轴线位于同一水平面，转角 ，直径由 dA200 mm 变为 dB150 mm ，在流量 时，压强 ，求流对 AB 段 弯管的作用力。不计弯管段的水头损失。o60sQ/m1 . 032KN/m 18Ap解：解：求解流体与边界的作用力问题，一般需要联合使用连续性方程，能量方程和动量方程。22222KN/m 03. 7)22( 2m/s 66. 54 m/s 18. 34 1gVgVpppdQVdQVVVBAABBBBAAB

49、A用能量方程计算）（和用连续性方程计算）（AyxoQxRyRB例题 附图江汉大学化环学院米铁制作xyyxyxByBBABxBBAAAyByyAxBxxyxRRRRRRRVQRdpVVQRdpdpVVQFVVQFyxRRAB122222tan , KN 598. 0 , KN 538. 0 )0sin(sin4 )cos(cos44 )( )( 3代入已知数据可求得性，注意力和流速的正负代入题中的外力和流速程：两个坐标方向的动量方和的方向，写和反力坐标正方向，假定弯管作为隔离体取出，规定将流段）（江汉大学化环学院米铁制作。相反，即方向弯管的反力大小相等，流体对弯管的作用力与结论：）（ 4RR江汉

50、大学化环学院米铁制作水流对建筑物的作用力水流对建筑物的作用力FP1122xFP1=gbh12/2FP2= gbh22/2FR沿沿x x方向列动量方程为：方向列动量方程为：12221 1()PPRFFFQVV12221 12212212221221()11()221111()22RPPFFFQVVQQgbhgbhQAAQgbhgbhbhh江汉大学化环学院米铁制作射流对平面壁的冲击力射流对平面壁的冲击力FPV000VV1122FRV0VVx沿沿x方向列动量方程为：方向列动量方程为：00(0)RFQV00RFQV 整理得：整理得：江汉大学化环学院米铁制作例：设有一股自喷嘴以速度例：设有一股自喷嘴以速

51、度v v0 0喷射出来的水流，冲击在一喷射出来的水流，冲击在一个与水流方向成个与水流方向成角的固定平面壁上，当水流冲击到平面角的固定平面壁上，当水流冲击到平面壁后，分成两面股水流流出冲击区，若不计重量（流动在壁后，分成两面股水流流出冲击区，若不计重量（流动在一个水平面上），并忽略水流沿平面壁流动时的摩擦阻力，一个水平面上），并忽略水流沿平面壁流动时的摩擦阻力，试推求射流施加于平面壁上的压力试推求射流施加于平面壁上的压力F FP P，并求出，并求出Q Q1 1和和Q Q2 2各为各为多少？多少？FP001122V0V2Q2V1Q1Q001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿沿y方向列动量方程为

52、：方向列动量方程为：0000(sin)sinRFQVQV 江汉大学化环学院米铁制作对对0-0、1-1断面列能量方程为：断面列能量方程为：22010000022VVgg可得：可得：01VV同理有：同理有：02VV依据连续性方程有：依据连续性方程有：12QQQFP001122V0V2Q2V1Q1Q001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿沿x方向列动量方程为：方向列动量方程为：1 12200cosQVQ VQV整理得：整理得：12cosQQQ所以：所以：11 cos2QQ21 cos2QQ江汉大学化环学院米铁制作FP1=p1A1FP2=p2A2FRV1V2FryFRx江汉大学化环学院米铁制作3.

53、9 3.9 恒定总流的动量矩方程恒定总流的动量矩方程 动量方程确定流体与边界之间作用力大小；动量矩方程确定流体与边界之间作用力位置； 设 为某参考点至流体速度矢量 的作用点的矢径，则用此矢量 对动量方程两端进行矢性积运算，可得定常流动的动量矩方程为rru1111222212)(dAuurdAuurAduurFrAAA 等式左断是控制体上合外力对于坐标原点的合力矩 。等式右端项是通过控制面流出与流入的流体动量矩之差，或通过控制面的净动量矩。M江汉大学化环学院米铁制作 现以定转速的离心式水泵或风机为例来推导叶轮机中的定常流动的动量矩方程。 121r2r1u11w2w2u2图:叶轮的速度三角形1入口

54、；2出口； 牵连速度； 流体在叶轮内的相对速度； 流体的绝对速度。uw 如图所示，取叶轮出、入口的圆柱面与叶轮侧壁之间的整个叶轮流动区域为控制体。江汉大学化环学院米铁制作 假定叶轮叶片数目无限多，每个叶片的厚度均为无限薄，则流体在叶片间的相对速度 必沿叶片型线的切线方向。于是将动量矩方程式用于叶轮机时，需用绝对速度代替上式中的质点速度。由于定常运动，故得叶轮机中的定常流动的动量矩方程dArdArdArMAAA12由图332所示的速度三角形可以看出cos,sinrrrr因而上式可以写成111222coscosrrQM江汉大学化环学院米铁制作 因为叶轮机的角速度为2211rururu故叶轮机的功率

55、121222coscosuuQMP或HuuggQP111222coscos1 这是泵与风机的基本方程。它首先由欧拉在1754年得到，故又称欧拉方程。 对于涡轮类机械（如水轮机等），流体从叶轮外缘2流入内缘1，基本方程为222111coscos1uugH江汉大学化环学院米铁制作例题例题 求射流对弯曲对称叶片的冲击力计算公式。解解: （1）对于喷嘴和叶片均为固定的情况： 射流的压强等于周围气体的压强，根据能量方程式，如果不计水头损失，各断面流速值应保持不变。)cos1 ( )cos( QRFQRQA故射流的推力为：的反力为根据动量方程式，叶片，叶片转角为，流量为，流速为设射流断面为ud 例题 附图

56、江汉大学化环学院米铁制作依此原理进行设计的。汽轮机的叶片形状就是以提高射流的推力，如片的转角都大于因此在工程中有许多叶倍。时射流推力的时射流产生的推力是为影响很大，对推力片的转角推力公式可以看出，叶结论：由推导出的射流）（功率为：这时，叶片运动输出的流量和流速计算：对于叶片的向后退的情况，可用相度对喷嘴固定，叶片以速, 90 2 90 180 3)cos1 ()( )cos1 ()( )cos1)( )2(0oo22uuAFuNuAuQFu江汉大学化环学院米铁制作310 连续性微分方程连续性微分方程 连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。我们认为流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流

57、场。在这个前提下，当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以断定：若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学分析表达成微分方程，称为连续性方程。江汉大学化环学院米铁制作 一、直角坐标系下连续性微分方程式一、直角坐标系下连续性微分方程式 设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx、dy和dz，如图所示。 假设微元平行六面体形心的坐标为x、y、z，在某一瞬时t经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为u、v、

58、w，流体的密度为。现讨论流体经六面体各面的流动情况。 先分析x轴方向，u和都是坐标和时间的连续函数，即u=u (x，y，z，t)和 = (x，y，z，t)。根据泰勒级数展开式，略去高于一阶的无穷小量，得在d时间内，沿轴方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为江汉大学化环学院米铁制作图 流场中的微元平行六面体江汉大学化环学院米铁制作 同理可得在dt时间内从右边微元面积dydz流出的流体质量为上述两者之差为在dt时间内沿x轴方向流体质量的变化，即 tzytzyxxutzyxxddd,2d,2dtzyxtuuxttzyxtutzyxuxttzyxddd2d2dddd2d),(2d),(tzyxtu

59、uxtddd2d2dtzyxuxtzyxxuxxudddd)(ddddd江汉大学化环学院米铁制作 同理可得，在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别为： 因此，在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为 （a) 由于流体是作为连续介质来研究的，所以上式所表示的六面体内流体质量的总变化，唯一的可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。因此应和由于流体密度的变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。 设开始瞬时流体的密度为，经过dt时间后的密度为tzyxvydddd)(tzyxwzdddd)(tzyxzwyvxuddddttttzyxd)d,(江汉大学化环学院米铁制作 则可求出在dt时间内，

60、六面体内因密度的变化而引起的质量变化为 (b) 根据连续性条件，式(a)和式(b)应相等，经简化得到 (c)式（c）为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。 若流体是定常流动，则 ，上式成为 (d) 式（d）为可压缩流体定常三维流动的连续性方程。 若流体是不可压缩的，不论是定常或非定常流动均tzyxtzyxzyxttddddddddddd0zwyvxut0t0zwyvxu江汉大学化环学院米铁制作 为常数，故上式成为 (e) 式（e）为不可压缩流体三维流动的连续性的方程。它的物理意义是：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。