常微分方程5.4.

1、5.5 首次积分法解标准微分方程组定义1 称最常遇到的方程组 为具标准形式的方程组或标准方程组.注 (1)可简写成向量的形式1112211d( ,)dd( ,)(1)dd( ,)dnnnnnygt yytygt yytygt yytd( , )(1)dttygy定义 的范数 .在包含点的区域上考虑(1)的满足初始条件 的解.定理1 在域R上连续且关于 满足Lip-条件,则(1)存在唯一解 定义于 ,并且 .这里y21|niiyy00( )tyy00010200( ;)( ;,)nttyyyy00: |, | y y |Rttab( , )tgyy00( ;,)t tyy0|tth0000( ;

2、,)t tyy( ;y)min ,max |g( ;y)|tRbhaMtM定义2 如果方程组(1)的任意一解代入可微函数时,使得成为与t无关的常数,则称为(1)的一个首次积分. 注1 这个概念是根据解关于初值的对称性而引入:设满足初始条件 的(1)的唯一解为那么 12( ),( ),( )ny ty ty ty12( ; )( ;( ),( ),( )ntt y ty ty ty12( ; )( ;,)ntt yyyy00( )tyy010200( )( ; ,)1,2,iiny tt tyyyin0012( ; ,( ),( ),( )1,2,iinyt t y ty ty tin注2 如果

3、是(1)的个首次积分,则对任何可微函数 也是(1)的首次积分.例11221212( ;,),( ;,),( ;,)nnknt yyyt yyyt yyy12( ,),kz zz12(,)k 121212211212dd()dddd()xxyyyytyyytytyyceyyec首次积分问题: (1)可有多少个首次积分?显然,我们关心的是独立(函数无关)的首次积分.定义3 若函数组 的行列式在域G内恒不为0,则称它们是独立(函数无关)的.12,( ;,)nnt yyy112212( ;,),( ;,),nnt y yyt y yy1211112122221212(,)(,)nnnnnnnnyyyy

4、yyyyyyyy定义3 设函数组 定义与某域G中,若存在一函数 及某 ,使则称该函数组在G内函数相关;反之,称为函数无关.定理2 在满足解的存在唯一性定理的条件下,是(1)的首次积分的充要条件是:在域G中成立恒等式112212( ;,),( ;,),nnt y yyt y yy12,( ;,)nnt yyy1 in 111(,)iiin 12( ;,)nt yyyc110(2)nnggtyy证明: 对任意一点 (1)存在唯一解 满足若 为首次积分,则从而特别地,取 得010200( ;,),ntyyyG( )iiyt00( ),1,2, .iityin12( ;,)nt yyyc12( ;(

5、),( ),( )nttttc12d ( ;( ),( ),( )0dnttttt0tt0102000102000102001 ( ;,)( ;,) ( ;,)0nninniityyytg tyyytyyyy由 的任意性得,(2)在G内恒成立.反之, 如果(2)在G内恒成立,自然对(1)的解的有意义处也成立.所以010200( ;,),ntyyyG121( )112d ( ;( ),( ),( )d|0( ;( ),( ),( )iinnytnntttttggtyyttttc定理3 若已知(1)的k个首次积分,则可将(1)中的未知函数消去个k,得一关于n-k个未知函数的方程组.定义 4 方程组(1)的定义在同一域G内的个独立的首次积分称为(1)的通积分.例1解:已得首次积分代入第一式1221yyyy1221()xxyyecycey111112xxxyyceycec e 所以,原方程的通解是或者,通积分是111221121212xxxxxxxxycec ec ec eycec ec ec e 121122()()xxyyecyyec例2 注:方程组可化为这是无阻尼, 自由振动方程,首次积分表示微小振动中能量守恒.22dddddd0dddddd11.22xxvgxgxvxvttgxlvvgvttxlvgvxtltgxlvc 首次积分2222d