四川宜宾2015届高三第二次诊断测试数学文试题版含解析

1、2015年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（文科）试卷分析报告一级考点二级考点三级考点分值比例代数集合1D:并集及其运算53.33%常用逻辑用语2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断53.33%函数3O:函数的图象53.33%3P:抽象函数及其应用53.33%基本初等函数I4H:对数的运算性质53.33%导数及其应用6B:利用导数研究函数的单调性149.33%不等式7B:二k次不等式（组）与平面区域53.33%数列8E:数列的求和128.00%平向向量9R:平面向量数量积的运算2214.67%数系的扩充与复数A5:复数代数形式的乘除运算53.33%排列组合与概率统计统计与统计案例B8:频率分布直

2、力图1711.33%算法与框图算法初步与框图EF:程序框图53.33%三角函数三角函数HJ：函数y=Asin（cox+6的图象变换53.33%HP：正弦定理53.33%平囿解析几何圆锥曲线与方程K4:椭圆的简单性质138.67%KC:双曲线的简单性质53.33%立体几何空间几何体L!:由三视图求面积、体积53.33%LS:直线与平囿平行的判定128.00%2015年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）已知集合A=0,a,B=-1,1,若ArB=-1,则AUB=（）A.0,1B

3、.-1,0C.-1,1D.-1,0,1【考点】：并集及其运算.【专题】：集合.【分析】：根据集合的基本运算进行求解即可.【解析】：解：=ACB=-1,a=-1,即A=0,-1,则AUB=T,0,1,故选：D【点评】：本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2. （5分）为调查学生身高的情况，随机抽测了高三两个班120名学生的身高（单位：cm）,所得数据均在区间140,190上，其频率分布直方图如图所示（左下），则在抽测的120名学【考点】：频率分布直方图.频数样本容量求出对应的频数即可.【专题】：概率与统计.【分析】：根据频率分布直方图，利用频率【解析】：解：根据频率分布直方图，得；学生的身高位

4、于区间160,180）上的频率为(0.040+0.020)>10=0.6,.，对应的人数为120X0.6=72.故选：C.【点评】：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目.3. （5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-y2=2的渐近线的距离是（）A.mB.也C.4D.222【考点】：双曲线的简单性质.【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】：容易求出抛物线焦点及双曲线的渐近线方程分别为（1,0）,y=我，所以根据点到直线的距离公式即可求得该焦点到渐近线的距离.【解析】：解：抛物线的焦点为（1,0）,双曲线的渐近线方程为y=上；由点

5、到直线的距离公式得抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为：1-V2万2故选A.【点评】：考查抛物线的焦点概念及求法，双曲线渐近线方程的求法，以及点到直线的距离公式.4. （5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）.三扛屋AB.32C.16D.-33【考点】：由三视图求面积、体积.【专题】：空间位置关系与距离.【分析】：根据三视图画出几何体的直观图，代入数据求解即可.【解析】：解：几何体的直观图是：几何体的高为4;底面三角形的高为6.底边长为8.V棱锥=4x1x8X6M=32.32故选：B【点评】：本题考查由三视图求三棱锥的体积.分析出几何体的形状及底面面积和高是解答的关键.5. (5分)

6、设xCR,则艾<1”是logL(2x-1)>0”的()1A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】：简易逻辑.【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可.解：由log1(2x-1)>0得0<2*-1<1,解得工vxv1,则x<1”是10g(2x-1)>0”的必要不充分条件，2故选：B【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键.6. (5分)将函数y=sin(2x-1)的图象向左平移二个单位，再将所得图象上所有

7、点的横坐36标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得函数图象对应的解析式为()A.y=sin(x-)B.y=sin(x)C.y=sin4xD.y=sinx33【考点】：函数y=Asin(wx+4)的图象变换.【专题】：三角函数的图像与性质.【分析】：由条件根据函数y=Asin(cox+j)的图象变换规律，可得结论.【解析】：解：将函数y=sin(2x-)的图象向左平移三个单位，可得函数y=sin2(x+)366-=sin2x的图象;3再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得函数图象对应的解析式为y=sinx,故选：D.【点评】：本题主要考查函数y=Asin(cox+&

8、#187;的图象变换规律，属于基础题.7.（5分）函数f(x)=1+ln|x|的图象大致为(A.C.【考点】：函数的图象.【专题】：函数的性质及应用.【分析】：当x<0时，函数f(x)31n(-x),由函数的单调性，排除CD；x当x<0时，函数f(x)=+ln(工)，此时，代入特殊值验证，排除A,只有B正确，【解析】：解：当x<0时，函数f(x)=-i+ln(-k),由函数y=>y=ln(x)递减知xy函数f(x)=+1口(-递减，排除CD;X当x<0时，函数f(x)=-i+ln(x),此时，f(1)=工1门1=0,而选项A的最小值为2,x1故可排除A,只有B正确

9、，故选：B.【点评】：题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力.8. （5分）如图是用计算机随机模拟的方法估计概率的程序框图，P表示估计结果，则输出的近似值为（）A.BB.CC.2D.工4248【考点】：程序框图.【专题】：算法和程序框图.【分析】：由题意以及框图的作用，直接计算出结果.【解析】：解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计几何概型概率的程序框图,如图，M是点落在六边形OCDEFG内的次数，由当i>2015时，退出循环，六边形OCDEFG内的点的次数为M,总试验次数为2015,所以要求的概率满足_J_=1_$六边/gcdefJi，

10、_222=j2015S正方形4X44故m=：X2015,所以空白框内应填入的表达式是P=tW=2.20154【点评】：本题考查程序框图的作用，考查计算、分析能力，属基础题.229. (5分)直线y=kx与椭圆C：T+J=1(a>b>0)交于A、B两点,Jb2且下?而=0,若/ABF6(0,则椭圆C的离心率的取值范围是(12【考点】：椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算.【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】：设F2是椭圆的右焦点.由AF?BF=0,可得BFXAF,再由OF=OF2.可得四边形AFBF2是矩形.设/ABF=0,可得BF=2ccos0,椭圆的定义可得BF+BF2

11、=2a,可得e=口1，口,即可得出.cos日+sint1【解析】：解：设F2是椭圆的右焦点. AF?BF=0,F为椭圆C的左焦点,)O点为AB的中点，BF2=AF=2csin0,禾1J用 BFXAF, .O点为AB的中点，OF=OF2. 四边形AFBF2是平行四边形， 四边形AFBF2是矩形.如图所示，设/ABF=0,BF=2ccos&BF2=AF=2csin依BF+BF2=2a,2ccos02csin0=2a,ecos+sin°Jfsin卅cos9=物in(8长(0,三,12【点评】：本题考查了椭圆的定义及其标准方程性质、矩形的定义、三角函数的单调性、两角和差的正弦，考查了

12、推理能力与计算能力，属于中档题.10. (5分)已知集合A=xR|x4+mx-2=0,满足aS的所有点M(a,)均在直线y=x的同侧，则实数m的取值范围是()A.(-°°,-V2)U(/2，+°°)B.(-1)U11,y12)C.(-5,-花)u(花，6)D.(OO)一6)U(6,+8)【考点】：二元一次不等式(组)与平面区域；直线的斜率.【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用.【分析】：原方程等价于x3+m=",原方程的实根是曲线y=x3+m与曲线y的交点的横坐标，分别作出左右两边函数的图象：分m>0与m<0讨论，可得答案

13、【解析】:解：=集合A=xCR|x4+mx-2=0,方程的根显然x加，原方程等价于x3+m=-,原方程的实根是曲线y=x+m与曲线y=2的交点的横坐标，而曲线y=x3+m是由曲线y=x3向上或向下平移|m|个单位而得到的，2.右父点(xi,)(1=1,2,，k)均在直线y=x的同侧，町因直线y=x与y=2交点为：(-V2,-V2),(班，&)；nrO(n>0所以结合图象可得，（a/2）J2或，（J5）,Z>V2lx<-V2解得m>巫或m-屈.答案为：m>%/mv-1.故选：A.【点评】：本题综合考查了反比例函数，反比例函数与一次函数图象的交点问题，数形结合

14、是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡对应的题中横线上.11. （5分）已知i为虚数单位，则复数2=靠的实部为_，【考点】：复数代数形式的乘除运算.【专题】：数系的扩充和复数.【分析】：利用复数的运算法则、实部的定义即可得出.【解析】：解：复数z='=八=1±也的实部为2+i（2+i）（2-i）55故答案为：.5【点评】：本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题.12. (5分)在正项等比数列an中,若ai?a9=4,则10g2ai+log2a2+log2a3+

15、log2a9=9.【考点】：等比数列的性质；对数的运算性质；数列的求和.【专题】：等差数列与等比数列.【分析】：直接利用等比数列的性质以及对数的运算法则化简所求表达式，求解即可.【解析】：解：-ai?a9=4,1.ai?a9=a2?a8=a3?a7=a4?a6=4J1og2ai+1og2a2+log2a3+，+1og2a9=1og2(ai?a2?a3，a9)=1og2(ai?a)=1og229=9故答案为：9.【点评】：本题考查数列求和对数的运算法则等比数列的性质，考查计算能力.13. (5分)在4ABC中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c,若bsinA=3csinB,a=3,cosg=-

16、±,1-1则b的值为_V6_.【考点】：余弦定理；正弦定理.【专题】：解三角形.【分析】：利用正弦定理化简已知等式，根据b不为0得到a=3c,把a的值代入求出c的值，利用余弦定理表示出cosB,将各自的值代入即可求出b的值.【解析】：解：利用正弦定理化简bsinA=3csinB,得：ab=3bc,b4，a=3c,把a=3代入得：c=1,a_皂，u?-b?9+1-b"9由余弦te理得：cosB=：=2ac63解得：b=V6故答案为：二【点评】：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键.14. (5分)已知M(0,-1),N(0,1),点P满足FM?FN=

17、3,则|PM+PE|=4.【考点】：平面向量数量积的运算.【专题】：空间向量及应用.【分析】：设P(x,y),则由PM?PN=3得x2+y2=4,所以|PM+Pt|=j(-2/)2+2=4,【解析】：解：设P(x,y),根据题意有而二(-x*-,PN=(一七1-y),PM+PN=(2x,2y),Pi?PN=3,Pi?PN=x2+y2-1=3,1-X2+y2=4,故|F+C|=,=4，故答案为：4.【点评】：本题考查向量数量积的计算，设出点p的坐标建立起百i?而=3与而+可5|间的联系是解决本题的关键，属中档题.15. (5分)如果y=f(x)的定义域为R,对于定义域内的任意x,存在实数a使彳导

18、f(x+a)=f(-x)成立，则称此函数具有P(a)性质”.给出下列命题：酬数y=sinx具有P(a)性质”；朗奇函数y=f(x)具有P(2)性质”，且f(1)=1,则f(2015)=1;G若函数y=f(x)具有P(4)性质”，图象关于点(1,0)成中心对称，且在(-1,0)上单调递减，则y=f(x)在(-2,-1)上单调递减，在(1,2)上单调递增；财不恒为零的函数y=f(x)同时具有P(0)性质”和P(3)性质”，且函数y=g(x)对？x1,x2R,都有|f(x1)-f(x2)|矍(x1)-g(x2)|成立，则函数y=g(x)是周期函数.其中正确的是go(写出所有正确命题的编号).【考点】

19、：函数的周期性；抽象函数及其应用.【专题】：函数的性质及应用.【分析】：险!用诱导公式证明sin(x+兀)=-sin(x)=sin(-x);艮据奇函数，周期性定义得出f(x+2)=f(-x)=-f(x),f(x+4)=f(x);艮据解析式得出f(x+4)=f(x),f(x)关于x=2对称，即f(2x)=f(2+x),f(x)为偶函数，根题意得出图象也关于点(-1,0)成中心对称，且在(-2,-1)上单调递减，利用偶函数的对称得出：在(1,2)上单调递增；11用定义式对称f(x)=f(-x),f(x+3)=f(-x)=f(x),推论得出f(x)为偶函数，且周期为3;【解析】：解：:sin(x+兀

20、)=-sin(x)=sin(x),函数y=sinx具有P(a)性质”;.(EE确.,若奇函数y=f(x)具有P(2)性质”，1. fxx+2)=f(-x)=-f(x),1- f(x+4)=f(x),周期为4,.f(1)=1,f(2015)=f(3)=-f(1)=-1,，不正确，.若函数y=f(x)具有P(4)性质”，1-f(x+4)=f(x),.f(x)关于x=2对称，即f(2x)=f(2+x),图象关于点(1,0)成中心对称，1. f(2-x)=-f(x),即f(2+x)=-f(-x),，得出：f(x)=f(-x),f(x)为偶函数，图象关于点(1,0)成中心对称，且在(-1,0)上单调递减

21、，图象也关于点(-1,0)成中心对称，且在(-2,-1)上单调递减，根据偶函数的对称得出：在(1,2)上单调递增；故E确.,P(0)性质”和P(3)性质”，f(x)=f(-x),f(x+3)=f(-x)=f(x),，f(x)为偶函数，且周期为3,故E确.故答案为：邕【点评】：本题考查了新概念的题目，函数的对称周期性，主要运用抽象函数性质判断，难度较大，特别是第3个选项，仔细推证.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内.16. (12分)2015年央视3.15晚会中关注了4s店的小型汽车维修保养，公共wifi的安全性

22、,网络购物等问题，某网站对上述三个问题进行了满意度的问卷调查，结果如下：璃店的小型汽车维修保养点公共演的安全性网络购物中200人c400人C800人中不满意口400人小100人/400人中(I)在所有参与该问卷调查的人员中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有8人不满意4S店的小型汽车维修保养，求n的值；(n)在对参与网络购物满意度调查的人员中，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中任意选取2人，求恰有1人对网络购物满意的概率.【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图.【专题】：概率与统计.【分析】：(I)先求出调查总人数，再根据分层抽样方法原理求出n的值；(n)先求出用分层

23、抽样方法抽取的6人中，满意的有4人，不满意的有2人,编号，用列举法求出基本事件数，再计算对应的概率【解析】：解：(I)由题意知，调查总人数为：200+400+400+100+800+400=2300,用分层抽样的方法抽取n人时，8人,6人中,从不满意4S店的小型汽车维修保养”的人中抽取了=,解得n=46;4002300(n)从网络购物”的人中，用分层抽样的方法抽取其中满意的有4人，分别记为1、2、3、4,不满意的有2人，记为a、b;再从这6人中任意选取2人，有（1、2）,（1、3）,（1、4）,（1、a）,（1、b）,（2、3）,（2、4）,（2、a）,（2、b）,（3、4）,（3、a）,（3

24、、b）,（4、a）,（4、b）,（a、b）共15种不同的情况；其中恰有1人不满意的有（1、a）,（1、b）,（2、a）,（2、b）,（3、a）,（3、b）,（4、a）,（4、b）共8种不同的情况；，恰有1人对网络购物满意的概率P=-.15【点评】：不同考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的基本事件与概率问题，是基础题目.17. （12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角”以x轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交于点P,过点P作x轴的垂线与射线y=T3x（x%）交于点Q,其中“C（-三，）.22（I）若sinof-,求cos/POQ;3（n）求而?诙的最大值.【考点】：平面向

25、量数量积的运算；两角和与差的余弦函数.【专题】：平面向量及应用.【分析】：（I）易得ZP0Q-一Q，由三角函数的和差公式即可计算；3（n）用坐标表示出点p、Q,利用辅助角公式将式子进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求出数量积的最大值.1ITIT【解析】：解：（I）sina=-,QE（_,/moq=,且工，331I-'cos/POQ=11.:=一.7T一一：.仃五+正.3336(n)P(cosa,sina),Q(cosa,正8S篁)°P?0Q=c口$2q+去6inu口£s二,匕白多2口+6in2Q+=sin(2"+)«，二：二二，666所以，当

26、2aJL-2L,即时，加质取最大值之.6262【点评】：本题主要考查三角函数的定义以及两角和差公式的应用，以及向量数量积的计算，根据三角函数的定义求出点P、Q的坐标是解决本题的关键.18. （12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD，平面ABCD,9BD是边长为3的正三角形，BC=CD=V3,PD=4.（I）求证：平面PAD,平面PCD;（n）在线段PA上是否存在点M,使得DM/平面PBC.若存在，求三棱锥P-BDM的体积；若不存在，请说明理由.（锥体体积公式：V=Sh,其中S为底面面积，h为高）【考点】：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.【专题】：空间位置关系与距离.【分析】：（I

27、）欲证明平面PAD，平面PCD,只需推知CD,平面PAD即可；（n）存在AP的中点M,使得DM/平面PBC,通过证明MNfDN=N,MN/平面PBC,ND/平面PBC”推知DM/平面PBC.然后将三棱锥P-BDM的体积转化为求三棱锥B-DMP的体积来计算.【解析】：（1）证明：:PDL平面ABCD,PD±DC.ABD是边长为3的正三角形，BC=CD=V3,在ABCD中，由余弦定理得到：cosZBDC=BD-BC=,2BD-CD2BDC=30°,/ADC=ZADB+/BDC=60+30=90°,DCLAD,又ADOPD=D, .CD,平面PAD.又CD?平面CDP,

28、 平面PAD，平面PCD;(n)存在AP的中点M,使得DM/平面PBC.理由如下:取AB的中点N,连接MN,DN.M是AP的中点，MN/PB.ABC是等边三角形，DN±AB,由(1)知，/CBD=/BDC=30°, .ZABC=60+30=90°,即BCXAB.ND/BC.又MNCDN=N, 平面MND/平面PBC.DM/平面PBC.过点B作BQXAD于Q, 由已知知,PDXBQ, .BQ,平面PAD, BQ是三棱锥B-DMP的高，'1'BQ=,Sadmp=AD?PD=3,24CVPBDM=VBDMP-BQ?SzoMP=0士【点评】：本题考查了直线

29、与平面垂直、平行的判，.解答（n）中三棱锥P-BDM的体积时,也可以这样【解析】：Vpbdm=Jvpabd=、PD?Saabd=工I26Z【考点】：数列的求和；数列递推式.【专题】：等差数列与等比数列.【分析】：(I)公差为d的等差数列an满足：an+an+i=2n,nCN.令n=1,2,可得ai+a2=2,a2+a3=4,解得d,即可得出ai,利用通项公式即可得出.*(II)由an+an+i=2n,nCN.变形Lf_1n+1n1(-Xn+lan+an+l1(一1)(11)利b-=1J=(1)=7；卜)，利anPan+l2anan+l'%+lan用裂项求和”即可得出.【斛析】：斛：(I

30、),公差为d的等差数列an满足：an+an+i=2n,nCN.令n=i,2,可得ai+a2=2,a2+a3=4,.-2d=2,解得d=i,1-2ai+d=2,解得ai=±,%*(ni)X1=ni*(II).an+an+i=2n,nCN.二'''J：二一一J一.JH?1：an*an+l2anan+l2、+l3rl,1(-1)n+1(-1)1(-1)n+1，数歹Ubn的前n项和Sn=bi+b2+,+bn=-=i=.2%+a12n+l【点评】：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式、裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.20. (I3分)已知椭圆

31、C:鼻邑=i(a>b>0)经过A(-I,裳)、B(0,夷)两点.屋b22(I)求椭圆C的方程；(n)过点B且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于另一点M,交x轴于点P,点M关于x轴的对称点为N,直线BN交x轴于点Q.求|OP|+|OQ|的最小值.【考点】：椭圆的简单性质.【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】：(I)将A、B两点代入椭圆方程，求出a、b,从而可得椭圆C的方程;（n）设直线1的方程为y=kx+V3（k为），M（x。，y。），N（x。，-y。），联立直线1与椭圆方程，由韦达定理可得，从而m(色回，曲"5k3+4k23+4k2-),N(一里当,3+4k23+4

32、k2）从而直线BN的方程为：得M，则Q（.4百k,。），又因为p（0）,结合不等式可得|OP|+|OQ|二【解析】：解：（I）将A（T,32)、B2Ik|N.（。，相）两点代入椭圆方程,得a=22.2所以椭圆C的方程为工+2一二1;431（n）由于直线1的斜率存在，故可设直线一y。），1的方程为y=kx+V3（k为），M（x。，y。）,N（x。,化简得(3+4k2)J+g倔广o,所以3+4k23+4k2从而M(-应3+4k23+4k23+4k22一),所以V3+-kBN=3V3-4V5k23+4k2W5k3+4k2从而直线BN的方程为:yz>4x+V3,则Q(-0),qK0华日”也正即lki=3F即凶一又因为P（一晅，。），所以|OP|+|OQ|=Mp/N,k31kl当且仅当所以|OP|+|OQ|的最小值为4.【点评】：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，