蝴蝶定理与燕尾定理

1、蝴蝶定理与燕尾定理燕尾定理燕尾定理：BE， b相交于同一点O,那在三角形ABC 中，AD 9A Ssbu ' Sjmco = BD: DC A梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）：S :S3 =a2 :b2s的对应份数为（"人 等积变形等底等高的两个三角形面积相等;两个三角形高相等,，积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比;如左图S1 :S2 =a:b/一广 人 abCD夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图SL ACD -SABCD ）反之,如果&acd=S. BCD,则可知直线AB平行于CD.等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形 和正方形

2、可以看作特殊的平行四边形）； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形 面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底 之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们 的高之比.二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角 形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补 角）两夹边的乘积之比.如图在MBC中，D,E分别是AB,AC上的点如图（或 D在BA的延长线上，E在AC上），贝U Saabc Sade =（AB AC）： （AD AE）AD如图）&=2）&=4）求梯形的面积.【巩固】（2006年南京智力数学冬令营）如下图， 梯形ABCD的AB平行于C

3、D）对角线AC）BD交于O）已 知MOB与BOC的面积分别为25平方厘米与35平方 厘米，那么梯形ABCD的面积是 :平方厘米.梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O）已知梯形上底 为2,且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的3,求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.A DBC（第十届华杯赛）如下图，四边形ABCD中，对角线AC 和BD交于O点，已知AOM,并且M；CBD;黑:=3那么OC的长是多少?B梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2,问三角形AOD的面积是多少?如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小 块）已知三角形ADG的面积是11,三角形BCH的面 积是2

4、3,求四边形EGFH的面积.如图，正方形 ABCD面积为3平方厘米，M 是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.【巩固】在下图的正方形ABCD中）E是BC边的中点）AE与BD相交于F点）三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形 ABCD 面积是如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 边上的三等分点，平方厘米.AD=2厘米,如图，在长方形ABCD中，AB=6厘米, AE=E昨FB,求阴影部分的面积.（2008年 奥数网杯 八年级试题）已知ABCD是平 行四边形）BC:CE=3:2）三角形ODE的面积为6平方 厘米.则阴影部分的面积是 平方厘米.【巩固】右图中 ABCD是梯形， ABED是平行四

5、边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是【巩固】（2008年三帆中学考题）右图中ABCD是梯 形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所 示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.如图所小,BD、CF将长方形ABCD分成4块,ADEF的 面积是5平方厘米，"ED的面积是10平方厘 米,问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？（2007年“迎春杯”高年级初赛）如图，长方形ABCD 被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为 2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米.A EFB（98迎春杯初赛）如图）长方形ABCD中）AOB是直

6、角 三角形且面积为54, OD的长是16,OB的长是9.那 么四边形 OECD 的面积是.BEC燕尾定理应用【例1】2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1, E是AC的中点， 点D在BC上）且BD:DC=1:2）AD与BE交于点F.贝l 四边形DFEC的面积等于.【巩固】如图）已知BD=DC）EC=2AE） 三角形 ABC 的 面积是叫求阴影部分面积.D【巩固】如图）三角形ABC的面积是200cm2）E 在 AC 上）,点 D 在 BC上）且 AE:EC=3:5, BD:DC=2:3）AD与 BE交于点F .则四边形DFEC的面积等于.【巩固】如图，已知 BD=3D

7、C, EC=2AE,BE与CD相交 于点O,则4ABC被分成的4部分面积各占AABC面积 的几分之几？【巩固】如图，三角形CE =2AE , AD 与 BE 相交于点积各是多少？ABC 的面积是1 , BD = 2DC）F）请写出这4部分的面【巩固】如图,E在AC上）D在BC上）且AE:EC=2:3, BD:DC=1:2） AD 与 BE 交于点 F . 四边形 DFEC 的面积等于22cm2）则三角形ABC的面积A三角形 ABC中，c是直角，已知 AC=2,CD = 2CB=3AM=BM）那么三角形AMN（阴影部分）的面 积为多少？【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米, EC=2D

8、E）F是DG的中点.阴影部分的面积 是多少平方厘米？xFxG如图所示，在四边形 ABCD中） AB=3BE, AD=3AF） 四 边形AEOF的面积是12）那么平行四边形BODC的面积E LO一 /; DBCABCD是边长为12厘米的正方形）E、F分别是AB、BC 边的中点）AF与CE交于G）则四边形AGCD的面积是 平方厘米.如图所不）在 MBC中）BE: EC =3:1）D是AE的中点, 那么 AF: FC = .【巩固】在MBC 中,BD:DC=3:2,AE:EC=3:1,求 OB:OE=?ABD C【巩固】在ABC 中）BD:DC=2:1 , AE:EC=1:3 , 求 OB:OE = ?如右图)三角形ABC中,BD:DC=4:9)CE: EA = 4:3 , 求 AF : FB .如右图）MBC中）G是AC的中点）D、E、F是BC边 上的四等分点）AD与BG交于M）AF