八年级数学菱形的性质

1、菱形的性质菱形的性质“法兰西巡逻兵”飞行表演队称得上是世界最著名、同时也是世界最古老的飞行特技小组之一，他们的飞行秉承法国文化中固有的优雅风范，编排巧妙，它的飞行表演也并不在意是否雷霆万钧气势迫人，而是专注于芭蕾般的优美与法国击剑一样的敏捷和灵活。 20002000多年前多年前 一把埋藏在地下的古剑，出土时一把埋藏在地下的古剑，出土时依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，便可将多层白纸划比，稍一用力，便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列着黑色破，剑身上整齐排列着黑色菱形菱形暗暗花纹花纹越王勾践剑越王勾践剑两组对边两组对边分别平行分别平行平行平行四边形四边形矩形

2、矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形，知前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形道了如果平行四边形有一个角是直角有一个角是直角时时,成成为什么图形为什么图形?菱形菱形(矩形矩形,由角变化得到由角变化得到) 如果从边的角度如果从边的角度,将平行四边形特殊化将平行四边形特殊化,让它让它有一组邻边相等有一组邻边相等,这个特殊的四边形叫这个特殊的四边形叫什么呢什么呢?(菱形)四边形四边形情情景景创创设设有一组有一组邻边相等邻边相等的的平行四边形平行四边形叫菱形叫菱形 平行四边形平行四边形 邻边相等邻边相等菱形菱形在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变在平行四边形中，如果内角大小保持不

3、变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系没变？哪些关系变了哪些关系变了？如果改变了边的如果改变了边的长度长度，使，使两邻边相等两邻边相等，那么这个平，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？行四边形成为怎样的四边形？有一组有一组邻边相等邻边相等的的平行四边形平行四边形叫菱形叫菱形 平行四边形平行四边形 邻边相等邻边相等菱形菱形 在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？中，哪些

4、关系没变？哪些关系变了哪些关系变了？ 如果改变了边的如果改变了边的长度长度，使，使两邻边相等两邻边相等，那么，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？这个平行四边形成为怎样的四边形？AB=BCABCD四边形四边形ABCD是菱形是菱形你能从平行四边形中得到菱形吗？试一试。菱形就在我们身边菱形就在我们身边三菱汽车标志欣赏三菱汽车标志欣赏小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可. .你知道你知道其中的道理吗？从这个图形中你有什么发现？其中的道理吗？从这个图形中你有什么发现？ 如何利用折纸、剪切

5、的方法，如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？既快又准确地剪出一个菱形的纸片？你能行 请观察刚才得到的菱形纸片上的折痕，请观察刚才得到的菱形纸片上的折痕，再结合刚才的折纸操作，想一想其中再结合刚才的折纸操作，想一想其中的道理是什么？的道理是什么？对角线互相垂直的平行四边形是菱形。ADOC B矩形是轴对称图形，对称轴有两条。矩形是轴对称图形，对称轴有两条。菱形是轴对称图形，对称轴有两条。菱形是轴对称图形，对称轴有两条。BDAC菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线.(2)从图中你能得到哪些从图中你能得到哪些结论结论?并说明理由并说明理由.提示提示:从边、角、对角线等从

6、边、角、对角线等方面有什么特点。方面有什么特点。 (1) 它是轴对称图形吗它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴如果是，有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系对称轴之间有什么位置关系? 由于平行四边形的由于平行四边形的对边相等对边相等，而菱形的而菱形的邻边相等邻边相等， 故：故：菱形的性质菱形的性质2：菱形的菱形的两条对角线互相垂两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平直，并且每一条对角线平分一组对角。分一组对角。菱形是特殊的平行四边形，具有平行四菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质边形的所有性质.菱形的性质：菱形的性质：BDAC菱形的性质菱形的性质1：菱形的菱形的四条边都相等四条边

7、都相等。又：又：菱形的两条对角线互相垂直，菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角。每一条对角线平分一组对角。四边形四边形ABCD是菱形是菱形 AD=AB,OD=OB ACBD9=10又又 AO = AOAOD AOB AOD AOB1=2 AC平分平分DAB 同理：同理：5=6 ， 7=8 BD平分平分ADC和和ABC 9=10= 90已知已知: :四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形求证求证: :ACBD， ACAC平分平分DABDAB和和DCB DCB BD BD平分平分ADCADC和和ABCABC证明：证明：菱形的性质菱形的性质2： O 6又又 9+10= 180CBDA

8、 10 1 24 3 5 79 86同理：同理：3=4 AC平分平分DCBO已知已知:四边形四边形ABCD是菱形是菱形求证求证:ACBD， AC平分平分DAB和和DCB BD平分平分ADC和和ABC证明证明2：四边形四边形ABCD是菱形是菱形AB=AD,（菱形的定义）（菱形的定义） ACBD ,AC平分平分DAB (为什么为什么?)同理：同理：AC平分平分DCB OD=OB （平行四边形的对角线互相平分）（平行四边形的对角线互相平分） BD平分平分ADC和和ABCDCBOAADCBO四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，说说理由21ADBC，ABCD ( )AB=BC=CD=DA ( )OA=O

9、C，OB=OD ( ) ACBD ( )ADB=CDB=ABD=CBD= ADC= ABC ( )21你 都 掌 握你 都 掌 握了吗？了吗？相等的线段：相等的线段：相等的角：相等的角：等腰三角形有：等腰三角形有：直角三角形有：直角三角形有：全等三角形有：全等三角形有：已知四边形已知四边形ABCD是菱形是菱形AB=CD=AD=BC OA=OC OB=ODDAB=BCD ABC =CDA AOB=DOC=AOD=BOC =90 1=2=3=4 5=6=7=8ABC DBC ACD ABDRtAOB RtBOC RtCOD RtDOARtAOB RtBOC RtCOD RtDOAABD BCD A

10、BC ACDABCDO12345678 如果菱形如果菱形ABCD的两条对角线的两条对角线AC，BD的长的长度已知，那么菱形度已知，那么菱形ABCD的面积的面积S等于多少？等于多少？ 1= .2SAC BD你能说出上述面积公式成立的道理吗？你能说出上述面积公式成立的道理吗？图图3-44 如图如图3-44，菱形，菱形ABCD被它的两条对角线分被它的两条对角线分成四个直角三角形，它们全等吗？成四个直角三角形，它们全等吗？S S菱形菱形= =对角线乘积的一半对角线乘积的一半菱形是菱形是特殊的平行四边形特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗面积公式计算菱形

11、的面积吗?菱形ABCDOES菱形=BCAE思考思考:计算菱形的面积除了上式方法外计算菱形的面积除了上式方法外,利利用对角线能用对角线能 计算菱形的面积公式吗计算菱形的面积公式吗? S菱形菱形=底底高高=对角线乘积的一半对角线乘积的一半为什么为什么?仪一仪：菱形的仪一仪：菱形的面积桥面积桥21ABCD=SABD+SBCD= ACBD S菱形菱形 在任意四边形ABCD中，对角线ACBD ，且AC=18,BD=10。问四边形ABCD的面积是多少？ ABCD=SABD+SBCDS =BDAO+12BDCO =12BD (AO+CO)=12BDAC =121018=90解：解：DA O B C12你有什

12、么你有什么 发现？发现？角角边边线线平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等. .平行四边形的对边平行且相等平行四边形的对边平行且相等平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分对称性对称性中心对称图形中心对称图形角角边边线线对称性对称性中心对称图形中心对称图形, ,轴对称图形轴对称图形性质性质: :菱形菱形性质性质: :平行四边形平行四边形菱形的对边平行菱形的对边平行,四条边相等四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的两组对角分别相等菱形的两条对角线互相菱形的两条对角线互相垂直垂直平分，平分，每一条对角线平分一组对角每一条对角线平分一组对角。二、菱形的性质归纳二、菱形的性质归纳.解解:

13、四边形四边形ABCD是菱形是菱形,AB=AD(菱形的定义菱形的定义)AC平分平分BAD(菱形的每条对角线平分一组对角菱形的每条对角线平分一组对角)BAC=30BAD=60ABD是等边三角形是等边三角形.AB=BD=6又又OB=OD=3(平行四边形的对角平行四边形的对角线互相平分线互相平分)ACBD(菱形的对角线互相垂直菱形的对角线互相垂直)由勾股定理由勾股定理,得得AO=AC=2AO=33362222 BOAB36例例1.在菱形在菱形ABCD中中,对角线对角线AC,BD相交于点相交于点O, BAC=30,BD=6.求菱形求菱形的边长和对角线的边长和对角线AC的长的长.ABCDO 例2：如图四边

14、形ABCD是边长为13cm的菱形，对角线长BD为10cm，求 （1）对角线AC的长 （2）菱形ABCD的面积ABCDO1.菱形具有而矩形不一定有的性质是菱形具有而矩形不一定有的性质是 ( )(A) 对角线互相平分对角线互相平分 (B) 四条边都相等四条边都相等 (C) 对角相等对角相等 (D) 邻角互补邻角互补牛刀小试牛刀小试122.已知已知:如图如图,在菱形在菱形ABCD中中,直线直线AE交边交边BC于点于点E ，直线，直线 AF交交CD于点于点F,且且BE=DF 求证：求证：21B3.已知已知:在菱形在菱形ABCD中中,E,F分分别是别是CB,CD上的点上的点,且且BE=DF.求证求证:(

15、1) ABE ADF;(2) AEF=AFEDABCEFABCDE4.在菱形在菱形ABCD中中,CEAB于于E,已知已知BCE=30,CE=3cm.求菱形求菱形ABCD的周长和面积的周长和面积. 如图，菱形花坛如图，菱形花坛ABCDABCD的边长为的边长为10m10m，BO=8m,BO=8m,沿着菱形沿着菱形的对角线修建了两条小路的对角线修建了两条小路ACAC和和BDBD，求两条小路的长和，求两条小路的长和花坛的面积。花坛的面积。ABCDOO解解:例例DOACB菱形菱形ABCDABCD的周长为的周长为1616，相邻两角的度数，相邻两角的度数比为比为1 1：2 2求菱形求菱形ABCDABCD的对

16、角线的长；的对角线的长；求菱形求菱形ABCDABCD的面积的面积1.1.已知菱形的周长是已知菱形的周长是12cm12cm，那，那么它的边长是么它的边长是_._.2.2.菱形菱形ABCDABCD中中ABCABC6060度，度，则则BACBAC_。ODCBA3cm3cm6060度度3 3、菱形的两条对角线长分别为、菱形的两条对角线长分别为6cm6cm和和8cm8cm，则菱形的边长是（则菱形的边长是（ ） CA.10cm B.7cm C. 5cm D.4cmABCDO344、已知如图，菱形已知如图，菱形ABCD中，中，E是是AB的中点，且的中点，且DEAB，AE=2。求求（1）ABC的度数；的度数；

17、 （2）对角线）对角线AC、BD的长；的长； （3）菱形）菱形ABCD的面积。的面积。ABCDEOABCDEO2四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， AD=AB解解：AD=AB=BD E是是AB的中点，且的中点，且DEABDA=DB（DE为为AB 的中垂线）的中垂线） DAB= 60 ， ABC=120 （2）AE=2， AB=4 BD=AB=4四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， ACDB DB=4 0B=2 在在RtAOB中中,由勾股定理得由勾股定理得 242222BOAB23AO= AC=43（3）在在RtDAE中中,由勾股定理得由勾股定理得 DE=242222AEAD=23 S菱形菱形

18、ABCD=4233=8（1）5.如图，菱形如图，菱形ABCD的边长为的边长为4cm，BAD1200。对角线。对角线AC、BD相交于点相交于点O，求这个菱，求这个菱形的对角线长和面积。形的对角线长和面积。ODCBA解：解：菱形菱形ABCD 中中, BAD1200BAC600又又 AB B C BAC是等边三角形是等边三角形 AC 4cm38213432BDACSBDBO6 已知：如图，已知：如图，AD平分平分BAC，DEAC交交AB于于E，DFAB交交AC于于F 求证：求证：EFAD； 321ABCDEF8、如图，、如图，E为菱形为菱形ABCD边边BC上一点，上一点，且且AB=AE，AE交交BD

19、于于O，且，且DAE=2BAE，求证：求证：EB=OA；ABCDOE7、已知，菱形对角线长分别为、已知，菱形对角线长分别为12cm和和16cm，求菱形的高。，求菱形的高。思考题 近几年，一些大城市里流行一种近几年，一些大城市里流行一种新式的衣帽架，它是用木条构成的几个连续的菱形新式的衣帽架，它是用木条构成的几个连续的菱形（如图），每个顶点处都有一个挂钩，不仅美观而且（如图），每个顶点处都有一个挂钩，不仅美观而且实用，你能根据形状，说出它的好处和固定方法吗？实用，你能根据形状，说出它的好处和固定方法吗？答：答：好处好处（1）利用四边形的不稳定性，可）利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离（以根据需要改变挂钩间的距离（2）利用平行）利用平行四边形对边平行的原理，最后可以使平行木四边形对边平行的原理，最后可以使平行木条完全靠拢，收起来不占地方条完全靠拢，收起