浙江科技学院线性代数向量组的线性相关性与两个向量组之间的关系

1、13.2向量组的线性相关性与两向量组的线性相关性与两个向量组之间的关系个向量组之间的关系定义定义1 1对于对于n维向量维向量12,m 12,mk kk如果存在一组数如果存在一组数 使使1122mmkkk称称 是向量组是向量组 的一个的一个线性组合线性组合， 12,m 或者或者 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示。 12,m 一、向量组的线性相关性一、向量组的线性相关性mmxxx1122即线性方程组即线性方程组有解。有解。3给定向量组给定向量组12 :,mA 如果存在不全为零的数如果存在不全为零的数12,mk kk使使11220mmkkk则称向量组则称向量组A是是线性相关线性相关的；的；否则

2、称向量组否则称向量组A是是线性无关线性无关的。的。定义定义2 2即当且仅当即当且仅当120mkkk时，时，11220mmkkk才成立才成立. .4线性相关线性相关向量组中至少有一个向量能由其余向量组中至少有一个向量能由其余m-1-1个向量线性表示个向量线性表示. .12,m 定理定理1 15若若11220mmkkk其中其中,1,2,ik im 不全为不全为0 0。不妨设不妨设 10k ，则，则 32123111,mmkkkkkk 即即1 是向量组是向量组 23,m的线性组合，的线性组合，也即也即中必有一个向量能由其余中必有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。个向量线性表示。 12,m 能由其

3、余能由其余m-1个向量线性表示，个向量线性表示， 不妨设不妨设 m则则 112211,mmm 中若有一向量，中若有一向量， 12,m 即即112211( 1)0,mmm 所以所以12,m 线性相关。线性相关。6注注:1.1.单个向量单个向量0, （1 1）0,k 只有只有k取取0 0时才成立时才成立线性无关线性无关. . 所以，单个向量所以，单个向量（2 2）0, k取任何值都成立取任何值都成立线性相关线性相关. . 所以，单个向量所以，单个向量0,k 62.2. n维单位坐标向量组维单位坐标向量组12(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)n 线性无关线性无关. .任一任一n维向量维向量

4、可以由可以由 线性表示，线性表示， 12(,)na aa 12,n 事实上，事实上，1122.nnaaa3.3.231224574xyzxyzxyz 通过方程组的初等变换，第三个方程的所有系数和常数项全通过方程组的初等变换，第三个方程的所有系数和常数项全化为化为0 0，所以这个方程在方程组中是，所以这个方程在方程组中是多余多余的，在解方程时，的，在解方程时，可以去掉它。可以去掉它。线性方程组有无多余方程相当于方程组对应的向量组中线性方程组有无多余方程相当于方程组对应的向量组中有无向量能由其余向量线性表示。有无向量能由其余向量线性表示。12 :,mA 线性相关线性相关4.4.11220mmxxx

5、 即即0Ax 有非零解有非零解812,m 线性无关线性无关, ,，12,m 线性相关线性相关. .定理定理2 2 能由能由线性表示线性表示，且表示法唯一，且表示法唯一.12,m 定理定理3 3若一个向量组中有一部分向量组线性相关若一个向量组中有一部分向量组线性相关整个向量组线性相关。整个向量组线性相关。如果一个向量组线性无关如果一个向量组线性无关它的任何一个部分向量组必线性无关。它的任何一个部分向量组必线性无关。推论推论1 1任意一个包含零向量的向量组必线性相关。任意一个包含零向量的向量组必线性相关。推论推论2 2例例1 1123(0,1,2,3) ,(2,2,3,1) ,( 1,2,1,2)

6、 ,(2,1, 1, 2)TTTT 问问 是否可由是否可由 线性表示？线性表示？ 123, 无解。无解。11, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx证明：证明： 123,xxx设有设有1 122330,x bx bx b 使使 10111020,011 所以方程组只有零解所以方程组只有零解 1230,xxx 即即 123,b b b线性无关。线性无关。已知向量组已知向量组 线性无关，线性无关，例例2 2123, 112223331,bb

7、b 试证：试证： 线性无关。线性无关。123,b b b12P86 P86 定理定理2 2 ( )( , )AxbR AR A b有解1212(,)(, ) ，mmRRb向量向量 b 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示12 :, mA13定义定义3 3设有两个向量组设有两个向量组12 ( ):,mI 12():,sII 若组（若组（I I ) ) 中的每个向量都能由组（中的每个向量都能由组（II II ) ) 线性表示，线性表示，则称则称向量组（向量组（I I ) )可由向量组（可由向量组（II II ) )线性表示线性表示; ;若两个向量组可以若两个向量组可以互相互相线性表示，则称这

8、两个向线性表示，则称这两个向量组量组等价等价。二、两个向量组间的关系二、两个向量组间的关系（1）反身性）反身性（2）对称性）对称性（3）传递性）传递性等价关系的性质：等价关系的性质：14若记若记12 (,),sA 12(,)tB B能由能由A线性表示，线性表示，即对每个向量即对每个向量(1,2, ),jjt 12,jjsjkkk存在数存在数使得使得1122jjjsjskkk1212,),jjssjkkk （12,)t （则则11121212221212,)ttsssstkkkkkkkkk （这一线性表示的这一线性表示的系数矩阵系数矩阵15P88 P88 定理定理4 4()( ,)R AR A

9、B AXB 有解有解定理定理4 4向量组向量组B 能由向量组能由向量组A 线性表示线性表示12 :,sA 12:,tB( )( ,)R AR A B ()( )( ,)R AR BR A B推论推论与与等价等价12 :,sA 12:,tB16. 线性组合与线性表示的概念；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；. 线性相关与线性无关的判定方法线性相关与线性无关的判定方法.小结小结4.两个向量组的等价关系两个向量组的等价关系 17P1081（1）(2)，3（1）(2)，4, 6作业作业人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能