第3章投影原理

1、1第3章 投影原理23.1 3.1 投影概念投影概念本课程的研究对象本课程的研究对象3 光源光源S照射空间照射空间物体物体A，在平面，在平面P上得到该物体的影上得到该物体的影子子a，即是常见的，即是常见的投影现象，投影的投影现象，投影的各要素如图所示。各要素如图所示。 投射线通过物投射线通过物体，在投影面上获体，在投影面上获得图形的方法称为得图形的方法称为投影法。投影法。3.1 3.1 投影概念投影概念4 投影的大小取决于投射中心、物投影的大小取决于投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离，体、投影面三者之间的相对距离，有有“近大远小近大远小”的特点。的特点。 如图所示，投射如图所示，投射线均

2、从一点线均从一点S（投（投射中心）发出，称射中心）发出，称为中心投影法，获为中心投影法，获得中心投影。得中心投影。3.1.1 中心投影法5 投影大小与物体和投影面之间的距离无关，投影大小与物体和投影面之间的距离无关， 度度量性好，作图简便，利于图示和图解。因此，工程图量性好，作图简便，利于图示和图解。因此，工程图样多数采用正投影法绘制。样多数采用正投影法绘制。3.1.2 平行投影法（a a）斜投影）斜投影 （b b）正投影）正投影如图所示，投射线互相平行，为平行投影法，获得如图所示，投射线互相平行，为平行投影法，获得平行投影。平行投影。90906投影投影中心投影中心投影平行投影平行投影正投影正

3、投影斜投影斜投影 正投影在工程图样中常用，是本课程学习的重点，正投影在工程图样中常用，是本课程学习的重点，以后就将正投影简称为以后就将正投影简称为“投影投影”。投影分类73.2.1 3.2.1 投影体系投影体系第第分角分角第第分角分角第第分角分角第第分角分角正立投影面（简称正面或正立投影面（简称正面或V面）面）水平投影面（简称水平面或水平投影面（简称水平面或H面）面）VH3.2 3.2 空间要素的投影空间要素的投影8结论：采用多面投影。结论：采用多面投影。 过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。 点的单面投影不能唯一确定点的空间位置。A AP Pa 3.2.2.1 3.2.

4、2.1 点的单面投影点的单面投影 P Pb B B3 3B B2 2B B1 13.2.2 3.2.2 点的投影点的投影93.2.2.2 3.2.2.2 点在各个分角中的投影点在各个分角中的投影空间投影空间投影平面图形平面图形103.2.2.3 3.2.2.3 点在第一分角中的两面投影点在第一分角中的两面投影规定： 空间点用大写字母表示，如A、B点的投影用小写字母表示,如a、ba点A的V投影a a点A的H投影11XO OVHAaa aaOX轴aaX= y =Aa（A到V面的距离）aaX= z =Aa（A到H面的距离）XaaXa O点的投影规律zyaX12根据点的投影，判断各点在空间的位置。13

5、图 3 - 1 9 三 投 影 面 体 系(a)(b)(c)3.2.2.4 3.2.2.4 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影(1)aaOX ，aaOZ(2)Aa= aaY = aaZ = OaX = xA (3)Aa =aaX =aaZ = OaY= yA (4)Aa =a aX =aaY = OaZ= zA 14例：已知点A的两个投影a 、a，求第三投影a。aaXa 15a a a通过作45线使aaZ=aaX解法一aXaZ16用圆规画圆弧，使得aaZ=aaXa aaXaZa 解法二17用圆规直接量取aaZ=aaXa aa 解法三aXaZ183.2.2.5 3.2.2.5 两点

6、的相对位置两点的相对位置 （1）概念和判定方法 两点的相对位置指两点上下、前后、左右的关系，可由两点的坐标值决定：x大者在左，小者在右；y大者在前，小者在后；z大者在上，小者在下。如图，点A在点B的左方（xAxB），下方（zAzB）,后方（yAy1，说明在之前，即线段BK在平面CDEF的前面，所以bk为可见。832.直线为投影面的垂直线 例例3-113-11已知正垂线AB和一般位置平面三角形CDE， 求AB与三角形CDE的交点K，并判别可见性。（1）分析 利用线的积聚投影及点线面的关系求交点。 利用重影点判别可见性。84（2）作图 交点K的V投影k与AB的V投影ab重影。 再过k作三角形CDE

7、面上的直线CF的V投影cf，其H投影cf与ab的相交点，即为点K的H投影k。 利用重影点判别可见性，结果如图所示。853.线、面均是一般位置 例例3-123-12如图，直线AB与三角形DEF均为一般位置，求AB与三角形CDE的交点K，并判别可见性。86（1）分析 如图所示，设交点K已求出，过点K在三角形DEF上任作直线MN，则MN和AB构成辅助平面P。MN是DEF与P的交线，而MN与AB的交点即是K。 过点K在DEF上的作直线是无数的，所以包含AB的辅助平面是无数的。一般应选择与投影面垂直的平面。 综上所述求交点的步骤可归纳如下：（i）包含已知直线作辅助平面P（一般为投影面的垂直面）；（ii）

8、求平面P与已知平面的交线MN；（iii）MN与已知直线AB的交点K即为所求；（iiii）判别各投影的可见性，完成投影。87（2）作图 如图所示，包含已知直线作铅垂面P，即过ab的投影PH 。 再求平面P与已知DEF的交线MN（mn、mn）；而MN与已知直线AB的交点K（k、k ）即为所求。 判别各投影的可见性，完成投影。884.一般位置直线AB和迹线平面Q的交点如图所示，作图过程与前述完全一样。893.3.2.3 3.3.2.3 直线与平面垂直直线与平面垂直 概述 直线垂直（包括交错垂直）于平面上的两条相交直线，则该直线垂直于平面。 如图，直线AB垂直于平面P上的相交直线L1、L2 （或交错垂

9、直于直线l1、l2）,则AB垂直于P。 反之，若直线垂直于平面，则直线必垂直于该平面上的所有直线。90基本作图1 过点K作直线KD垂直于平面。其中：（a）为三角形ABC；（b）为迹线平面P。91 基本作图2 作直线AB的中垂面。其中：（a）由相交两直线确定；（b）作迹线平面P。923.3.3 平面与平面的相对位置平面与平面的相对位置有 平行、相交和垂直。933.3.3.1 3.3.3.1 平面与平面平行平面与平面平行 概述 一平面上的相交两直线对应平行于另一平面上的相交两直线，则两平面平行。 如图，平面P和Q上各有相交直线p1、p2和q1、q2，若p1 / q1、p2 / q2，则P / Q。

10、94基本作图1 过点作平面平行于已知平面。 例例3-133-13如图，过点K作一迹线平面Q平行于已知平面P。（1）分析 根据两平行的迹线平面，其各同面迹线应相互平行和点在面上，点必在面的直线上。 因此作图应使所作平面包含已知点K且其迹线平行于已知平面P的相应迹线。95（2）作图 如图所示，首先过点K作一辅助线与已知平面P的一迹线平行，如图中作正平线KM / PV 并求得其水平迹点M。 再过迹点M作QH / PH、QV/PV ，平面Q即为所求。96基本作图2 补全平面形的投影。 例例3-143-14已知相交两直线DE、FG所确定的平面平行于三角形ABC，补全三角形ABC的投影。（1）分析 根据两

11、平面平行的性质和线面的从属关系，应使所作平面包含与已知平面上对应的相交直线平行的直线，以此完成ABC投影。97（2）作图如图所示，首先可过已知点C（c、c）作直线CI、CII分别与相交两直线DE、FG平行且点I、II取在直线AB上。V投影为c1、c2，并求得H投影为c1、c2。再连1、2与过a、b的投影连线相交即得到ab。最后连接a、c，b、c 完成三角形ABC的投影。98 平面与平面相交于一直线，它是两平面的公有线。 面面相交问题是如何作图求交线和判别二面投影之间的遮蔽（即可见性）。 面面相交的基本作图与平面和投影面的相对位置有关。可按如下两方面进行讨论： 1.平面之一为投影面垂直面时。 2

12、.两平面均是一般位置时。 3.3.3.2 3.3.3.2 平面与平面相交平面与平面相交 概述991.平面之一为投影面垂直面 例例3-153-15已知正垂面ABC和一般位置平面三角形DEF，求它们的交线MN，并判别可见性。（1）分析 根据平面的积聚性和线面关系求交线，并由重影点判别可见性。100（2）作图 正垂面ABC和三角形DEF交线MN的V投影应与abc重影，为mn。 由此作出其H投影mn。利用重影点判别可见性，结果如图所示。1012.两平面均是一般位置（1）分析 求它们的交线可转化成用一个平面上的直线与另一平面相交求交点的方法解决。 用重影点判别可见性。 例例3-163-16已知三角形AB

13、C和DEF均为一般位置平面，求它们的交线MN，并判别可见性。102（2）作图 如图所示，可选择三角形ABC中的直线AB、AC，分别包含它们作辅助面P、Q（图中为铅垂面），求出AB、AC与三角形DEF的交点M（m、m）、N（n、n），连接MN（ mn、mn）即是所求交线。 判别可见性的作图，其方法与判别直线和平面相交时的可见性相同，见下图。103判别可见性104 两平面形相交，从形式上看，有如下图（a）（b）所示的两种情况。（a）图是三角形ABC穿过三角形DEF，交线MN。（ b）图是将三角形ABC扩大成三角形AGC，则两三角形互相有一部分相交，交线为NK。但不管是哪种形式，其实质是相同的。对交

14、线情况的分析105（1）分析 如图所示，根据“三面共点”原理，作辅助平面和已知两相交平面分别相交得到交线，此两交线的交点即为相交平面的交线上的点。 应当注意的是，为使作图简便，所作的辅助面应选择特殊位置平面（一般为投影面平行面）。 用“三面共点” 原理求作两平面交线106（2）作图1073.3.3.3 3.3.3.3 平面与平面垂直平面与平面垂直 概述 如图所示，若直线AB垂直于平面P，则包含直线AB的平面Q、R等必都垂直于平面P。 或者，若平面R垂直平面P，则在平面R上任取一点C，作CD垂直于平面P，则直线CD必在平面R上。108 例例3-173-17过直线EF作平面垂直于三角形ABC（直线

15、EF不垂直于三角形ABC）基本作图1 过直线作平面与已知平面垂直（1）分析 根据面面垂直的性质，作已知平面的垂线与已知直线即组成所求平面。109 如图所示，首先在三角形ABC上作水平线BI（b1、b1）和正平线CII（c2、c2）。 然后过直线EF上任意一点（如E点），作直线ED（ed、ed）垂直于三角形ABC，即有 edb1、edc2。由相交直线EF和ED所确定的平面即为所求。（2）作图110 例例3-183-18判别三角形ABC和DE/FG确定的平面是否垂直基本作图2 判别两平面是否垂直（1）分析 根据面面垂直的性质，可先作一已知平面的垂线，再判别该垂线是否在另一平面上而得出结论。111（

16、2）作图 如图所示，在DE/FG确定的平面上过点F作三角形ABC的垂线FK。再检查直线FK是否在F点所在的平面上。 图中由于点K不在DE/FG确定的平面上，故两平面不垂直。1123.3.4 综合几何问题113 常见综合几何问题有距离、角度的度量和轨迹作图等。 距离的度量有一般位置直线的实长（两点之距）、点线、线线、两平行平面之间的距离等。 角度的度量有直线、平面对投影面的倾角，两直线（相交或交错）的夹角，线面、面面夹角等。 轨迹作图可使许多几何问题迎刃而解。部分常见轨迹有： 与一定点等距离点的轨迹是以此点为中心的球； 与两已知点等距离点的轨迹是两点连线的中垂面； 与一已知直线等距离点的轨迹是一

17、直圆柱面； 过一定点而与投影面成一定倾角直线的轨迹是一正圆锥面； 与两相交平面等距离点的轨迹是两平面的等分角面； 与不在一直线上的三点等距离点的轨迹是一直线，该直线过三点所确定的圆的圆心且垂直于该圆面。 综合几何问题的作图往往是由一些基本作图综合组成，因此对已学过的基本作图方法必须很好理解和掌握。概述114综合举例115 例例3-193-19已知ABC平面外同侧两点D、E，求作ABC上一点G，使点G到点D、E的距离之和（DG+EG）为最短。116空间分析 如图所示，点D、E在三角形ABC同侧，若三角形ABC上所求点G已作出，而欲使（DG+EG）为最短，则只有点D、E、G在一直线上时成立。但已知

18、点D、E在三角形ABC平面的同侧，因此只有转换（DG+EG）=（FG+EG）=EF，这时点D、F就应是三角形ABC的垂直线且有DM=FM（点M是DF与三角形ABC的交点）。117拟定作图方法 根据以上分析，作图方法可拟定为： （1）过点D作三角形ABC的垂线，垂足M。 （2）延长DM到F，并取DM=FM。（3）连接EF，作出EF与三角形ABC的交点即所求点G。118具体作图 如图所示，采用一次辅投影将三角形ABC转化为投影面的垂直面，在一次辅投影中完成上述作图步骤，求作出点G的一次辅投影g1。返回求作g、g，应注意利用点G在EF上且df/X1。如果不用辅投影，采用直接作垂线、求垂足，再求EF与

19、三角形ABC的交点G，则作图较繁。 119 例例3-203-20求作直线MN，其既与平面P垂直，又分别与直线CD、EF相交于点M、N。120空间分析 如图所示，与平面P垂直的直线，不一定能与CD、EF都相交；而与CD、EF都相交的直线又不一定垂直于平面P。 运用轨迹概念，可知分别与直线CD、EF相交且垂直于平面P的直线的轨迹各是一包含CD、EF的平面，此两平面的交线即是满足条件的直线。图中所作的平面CDdc和EFfe即是垂直于已知平面P且各自包含CD、EF的平面，交线MN即所求。121拟定作图方法 若按上述分析作图，则（1）首先作出已知平面P的垂线；（2）将作出的垂线各自与已知直线CD、EF组

20、成平面；（3）求作两平面的交线即所求直线MN。可将上述作图过程简化如下：（1）过直线CD（或EF）作一平面垂直于平面P；（2）求出直线EF与该平面的交点N； （3）过点N作直线垂直于平面P，则必与直线CD交于点M。122具体作图 如图所示，过直线CD上点C作平面P的垂线CG（cg、cg ），求直线EF与CG和CD组成平面的交点即N，过点N作CG的平行线与CD交于M，则MN即所求。123 垂直于平面P的直线有无数条，它们的方向是相同的。因此，可由已知平面P求出它的垂直方向S，而所求直线MN必与S平行，如图所示。 有了所求直线MN的方向，则将方向为S的垂线变换成某一辅投影面的垂直线，已知直线CD、

21、EF在该辅投影面上的投影如果相交，则该交点即为所求直线MN在该辅投影面上的积聚投影，即确定了所求直线MN的位置。 同时，根据已知直线在该辅投影面上的投影是否相交的情况可判断解的有无。按此分析用辅投影法解题，见下图所示。另一种分析124辅投影法125 例例3-213-21求作直线EF与ABC的夹角。 126空间分析直线EF与直线在平面P上的投影ef之间所夹的锐角称为直线对平面的夹角，如图所示。因此，求直线EF与ABC的夹角，应先由点E（或F）作ABC的垂线，并求出垂足，再求作直线EF与ABC的交点，最后求作夹角的真形。但若采用余角法，则可省去求垂足和求直线与平面的交点。127拟定作图方法 采用余

22、角法 欲求夹角，可先求其余角，因此，如图，可过直线上点E作平面的垂线，该垂线与已知直线所夹之角即所求夹角的余角。然后求作角的实形，则所求夹角=90-。128具体作图 （1）作ABC面上的水平线BI（b1、b1）和正平行CII（c2、c2）。 （2）过已知直线上点E作EGABC（egc2、egb1）。 （3）在所作垂线上任取一点M（m、m）组成平面形EMF。 （4）经过二次辅投影求得EMF的实形，m2e2f2即余角，角=90-即为所求。129 例例3-223-22在H面上找一点S，使其到ABC的三个顶点A、B、C的距离相等。130空间分析 如图所示，由“与两点等距离的点的轨迹是两点连线的中垂面”

23、推理可知，与A、B、C三点等距离的点的轨迹应是该三点两两连线的中垂面的交线（即是一直线）。此交线与H面的交点即为所求点S。131拟定作图方法 由上述分析可分别作出AC、BC连线的中垂面，中垂面有两种作法：（1）几何元素表示。以过AC、BC的中点且分别垂直于AC、BC的正平线、水平线表示（2）迹线表示。作出过AC、BC的中点且分别垂直于AC、BC的正平线的水平迹点M、N，由此作出分别垂直于AC、BC的中垂面Q、P。中垂面作出后，它们的交线求作在（1）的几何元素表示时，作图过程复杂。而在（2）以迹线表示时，作图过程比较简便，且两迹线平面的H迹线的交点即是所求点S的H投影s。132具体作图 用迹线表

24、示中垂面，先过AC、BC中点E、F分别作与AC、BC垂直的正平线EN、FM，它们的水平迹点是N（n、n）、M(m、m)。过n作ac的垂线即是AC中垂面的H迹线QH ，过m作bc的垂线即是BC中垂面的H迹线PH 。它们的交点即所求点S的H投影s，作出其V投影s(在轴X上)，而中垂面的V迹线可以不必作出。133 例例3-233-23求作平面Q垂直于已知平面P。平面Q过点S，又与点A相距20mm。134空间分析 如图所示，由“与一定点等距离的点的轨迹是以此点为中心的球”可知距点A为20mm的点的轨迹是以点A为中心，半径为20mm的球。而所求平面Q应是该球的切平面，且Q平面应包含已知平面P的垂线。13

25、5拟定作图方法 由上述分析可按如下步骤作图：（1）作出已知平面P的垂线SG；（2）将垂线SG经两次辅投影后投影积聚成一点，已知点A随着变换；（3）在两次辅投影面上完成以点A为球、半径为20mm的球投影及过点S与该球面的切平面Q的作图；（4）返回求出平面Q的V、H投影，本题有两解。所求平面均采用迹线平面，使作图简便。136具体作图（1）作出过S垂直于P的垂线SG（sgPV，sgPH）。（2）将垂线SG作两次辅投影成为点s2（g2），同时点A亦变换成点a2。（3）以a2为中心、20mm为半径画圆，并过点s2（g2）作该圆的切线即是所求切平面Q的二次辅投影，有两解。（4）平面Q在二次辅投影中是投影面

26、垂直面，其一次辅投影应与轴X2垂直，以此特性逐一返回，最后求出平面Q的V、H投影，得到解答。137小结小结 1.一些综合问题采用辅投影法解题比较简便，如 例例3-19 3-19 。 2.综合问题的解题思路往往不只一种。同时空间分析与具体作图之间并不完全是一一对应、按部就班，而是在空间分析找到解题思路后还应考虑尽量简化作图过程，如 例例3-20 3-20 、 例例3-21 3-21 。 3.应用迹线平面在某些问题的解答中作图比较简便，如 例例3-22 3-22 。1383.4 直线、平面、立体的相交1393.4.1 立体的投影140 1. 棱柱例：正六棱柱的直观图和三面投影如下： 3.4.1.1

27、 3.4.1.1 平面立体的投影平面立体的投影141顶、底面是水平面，H投影反映实形，V、W投影各积聚；前后侧面是正平面，V投影反映实形，H、W投影积聚；左右侧面都是铅垂面。各棱线是：铅垂的棱线有六条，侧垂的棱线有四条，水平的棱线有八条。分析各棱线的投影特性。（1）投影分析142已知点M的V投影、点N的W投影，求两点的其他投影。图中示出了作图过程。显然，求作各点未知投影的过程利用了立体表面的积聚性投影。（2）表面取点143 2.棱锥例:正三棱锥的直观图和三面投影如下： 144（1）投影分析 其底面ABC是水平面，侧面SAC是侧垂面（AC是侧垂线），另两个侧面SAB、SBC是一般位置平面。 各棱

28、线是：SB是侧平线，SA、SC是一般位置直线，AB、BC是水平线，AC是侧垂线。145（2）表面取点 已知三棱锥表面上点M、N的V投影，求其他投影。图中示出了作图过程。 由于点M所在平面无积聚性，所以求作过程用了“两点法”或“一点一方向法”，通过在表面上作直线来确定其未知投影。1463.4.1.2 3.4.1.2 曲面立体的投影曲面立体的投影 1.圆柱（1）形成 一矩形平面绕一条边为轴旋转一周形成圆柱体。平行于转轴的边，其轨迹形成圆柱面，该边称为母线，它的任意位置称为素线。147（2）投影分析 该圆柱H投影积聚为圆。V、W投影为矩形，其上、下边是顶、底圆面的积聚投影。素线AA、BB为前、后半圆

29、柱面的分界线，称为转向轮廓线，V投影为aa、bb，W投影与回转轴重影不画出；素线CC、DD是左右投影的转向轮廓线，W投影为cc、dd，V投影与回转轴重影亦不画出。148（3）表面取点 已知圆柱面上的点M、N的V投影m、n，则利用H投影的积聚性求出其他投影，注意可见性的判别。作图过程如图所示。1492.圆锥（1）形成 一三角形平面绕一条边为轴旋转一周形成。相交于转轴的边，其轨迹形成圆锥面，该边称为母线，它的任意位置称为素线。 圆锥面上可作经过锥顶的直线和垂直于轴的不同直径的圆。150（2）投影分析 圆锥轴线H面，其底面H投影为圆，圆锥面与底面重影。V、W为三角形，素线SA、SB是前、后半圆锥面的

30、转向轮廓线，其V投影为sa、sb。H投影在sa、sb，W投影在s“a”、sb的位置（不画出）；素线SC、SD是左、右转向轮廓线，W投影为sc、sd。H投影在sc、sd，V投影在sc、sd的位置（不画出）。151（3）表面取点 已知圆锥面上点M的V投影，利用过锥顶的直线（辅助素线法）或利用垂直于轴的圆周（辅助圆法）来求出其他投影，作图过程如下图。1523.球（1）形成 由一圆面的直径为轴线回转形成，如图所示。153（2）投影分析 球的投影分别是球面上三条不同方向的转向轮廓线（等于球直径的圆）的投影，分析如图所示。154（3）表面取点已知球面上点M、N的H投影m、n，利用球面上过已知点且平行于投影

31、面的圆周求出其他投影。作图过程如图所示。 应注意球面上可作出任意方向的圆但不能作直线。1554.圆环（1）形成 由一圆面绕与其共面但不通过该圆圆心的轴线回转而形成，如图所示。156（2）投影分析H投影画出内、外环面上转向轮廓线（两个实线圆）和母线圆的回转轨迹（点画线圆）。V投影画出内、外环面在V方向投影的转向轮廓线（虚与实的半圆）和内、外环面分界圆的投影（上、下两直线）。157（3）表面取点 环面上取点应采用垂直于轴线的辅助圆，作图过程如图所示。158圆弧回转体的投影及表面取点 如图为局部的圆环面（亦称为圆弧回转体），其投影和表面取点如下图所示。1593.4.2 3.4.2 直线与立体相交直线

32、与立体相交 直线与立体表面相交，其交点是直线与立体表面的共有点。 求交点的方法一般可利用投影的积聚性、辅助平面法、辅投影法等。（该内容可视教学时间和需要情况取舍）现举例如下：160 例例3-243-24求直线与圆柱面的交点。 如图（a）所示，直线AB是一般位置，而圆柱面垂直于H面。 利用圆柱的积聚性，直线的H投影ab与圆柱的H投影圆交点m、n即是直线AB与圆柱交点的H投影，再求出V投影。 由于点M在前半圆柱面上，其V投影m可见，而N点在后半圆柱面上，其V投影n不可见，如图（b）所示。161 例例3-253-25求直线与圆锥面的交点。 如图（a）所示，AB为一般位置直线，圆锥轴线垂直于H。现包含

33、直线AB和锥顶S作辅助截平面：过S任作两直线S、S，与AB交于、，则S即是辅助截平面。该截平面与圆锥的交线为S、S，它们的水平投影s3、s4分别与ab交于k1、k2即为交点的H投影。再作出V投影并判别可见性完成作图，如图（b）、（c）所示。 162 例例3-263-26求直线与球面的交点。 如图（b）所示，包含直线AB作铅垂面P，截球得到圆。P面上直线AB与该圆的交点即是直线与球的交点。 作一次辅投影，使AB成为投影面平行线，P面截球得到的圆反映真形从而得到交点的一次辅投影k1（两解）。 返回作其他投影，判别可见性完成作图。 如图（a）所示，一般位置直线与球相交，求它们的交点。1633.4.3

34、 平面与立体相交截交线164概述平面与立体相交在立体表面上的交线称为截交线，如图。该平面称为截平面。截交线围成的平面图形称为截面形。立体被截后，剩余部分称为截余部分。截交线的形状取决于立体表面形状和截平面与立体的相对位置，它可以是直线或曲线。截交线具有如下性质：（1）是截平面与立体表面的公有线。（2）一般是封闭的。1653.4.3.1 3.4.3.1 平面截平面立体平面截平面立体 平面立体各表面都是平面。因此，平面截平面立体的截交线是一平面多边形，多边形的各顶点是截平面与立体的棱线的交点，或两截平面交线的顶点，且多边形的边数等于顶点数。166 例例3-273-27求正三棱锥被平面截后的H、W投

35、影。（1）分析 正三棱锥被一水平面和一正垂面所截。其中水平面与正三棱锥有四个交点，其截面形应是四边形；正垂面与三棱锥有三个交点，其截面形应是三角形。167（2）作图 截交点、三点在三棱锥的棱线上，、两点在表面上。具体作图如右所示。168 例例3-283-28求正四棱柱开孔后的W投影。 （1）分析 该正四棱柱被两个水平面（上下对称）和左右侧平面所截。其中每个水平面与正四棱柱各自有六个截交点，因此其截面形应是六边形；而每个侧平面与正四棱柱各自有四个交点，其截面形应是矩形。各截交点的V、H投影均已知，如图所示。169（2）作图 如图所示，由已知二投影求出W投影，注意可见性的判别和前后棱线在、和、之间

36、部分已被截除，其W投影33和66之间无线。170截交线的形状取决于立体表面的形状和截平面与立体轴线的相对位置。截交线为曲线时，其截交点分为特殊点和一般（中间）点。特殊点是指：（1）确定曲线基本性质的点，如椭圆长、短轴的端点。（2）确定极限位置的点，如最高、最低，最左、最右，最前、最后点。（3）确定某投射方向上可见与不可见的分界点即虚实分界点等。下面分别讨论平面截圆柱、圆锥、圆球和圆环的截交线及其求作方法。3.4.3.2 3.4.3.2 平面截回转曲面立体平面截回转曲面立体1711.平面截圆柱截平面与圆柱轴线的相对位置有平行、垂直、倾斜三种情况，分别产生的截交线为矩形、圆、椭圆，如图（a）、（b

37、）、（c）所示。172（1）截平面平行和垂直于圆柱轴线截圆柱 图（a）、（b）为截平面（侧平面和水平面）平行和垂直于圆柱轴线截圆柱时的截交线的求作。其中、为矩形；、为圆弧加直线。注意（a）、（b）的不同之处，分析其原因。173（2）截平面倾斜于圆柱轴线截圆柱 图（a）、（b）为截平面（V）倾斜于圆柱轴线截圆柱。其中I、II、III、IV为椭圆长短轴的端点；是最高（最左）、最低（最右）、最前、最后点；III、IV亦为W投射方向的转向轮廓线上的点，是虚实分界点。V、VI、VII、VIII是中间点。注意（a）、（b）的不同之处。174（3）截平面倾斜于圆柱轴线截圆柱的特殊情况 截平面对W投影面的倾角

38、大于45或小于45时，空间椭圆的长轴投影到W面上成了椭圆的短轴或长轴，而空间椭圆的短轴始终是正垂线，其W投影保持不变。因此，当截平面与W面成45时，则空间椭圆的长轴投射到W面上与短轴相等，即椭圆投影成了圆。这时的投影如图（c）所示。175 2.平面截圆锥 由截平面与圆锥的不同位置，可得到不同的截交线：（a）等腰三角形；（b）圆；（c）椭圆；（d）抛物线加直线；（e）双曲线加直线。176例:正垂面截圆锥，截交线是椭圆投影的求作。 （1）分析 右图为正垂面截圆锥，截交线是椭圆。 其中I、II、III、IV为椭圆长、短轴的端点，是最高（最左）、最低（最右）、最前、最后点；V、VI在W投射方向的转向轮

39、廓线上，是虚实分界点，这些点都是特殊点。V177（2）作图特殊点的求作如图，图中未求中间点。1783.平面截圆球 平面与圆球的截交线总是圆。投影则取决于截面形对投影面的位置，其投影可能是积聚的直线、圆和椭圆。179 （1）分析 如图所示，水平面截出的截交线分别在V、W投影中积聚，而H投影反映实形；正垂面截出的截交线在V投影中积聚，而H、W投影均为椭圆加直线。例:水平面和正垂面截球的求作。V180（2）作图椭圆的求作可按图示进行分析。1814. 平面截圆弧回转体（环面） （1）分析 圆弧绕和其共面的轴回转形成圆弧回转体。 如图所示，其被铅垂面所截，求作中应利用回转体面上与轴线垂直的素线是圆的特性

40、，并由积聚的投影进行求作。例:铅垂面截圆弧回转体的求作。182（2）作图 如图所示，在V投影的求作中利用了回转体面上与轴线垂直的素线是圆的特性，并由积聚的H投影分别求出曲线上若干点的V投影，然后光滑连接得到曲线的V投影。其中I、II是最低点（分别为最左、最右），而III是最高点（是曲线上与圆弧回转体轴线距离最短的点）。1833.4.4 立体与立体相交相贯线1843.4.4.1 3.4.4.1 概述概述两立体相交称为相贯，其表面交线称为相贯线。相贯线一般是封闭的空间曲线，如图（a）（f）所示。特殊时可蜕化成平面曲线、直线等，如图（g）、（h）所示。确定相贯线的三大因素是：两立体的形状、大小和它们

41、的相互位置。185相贯线是两立体表面的公有线，相贯线上的点称为相贯点，是两立体表面的公有点。相贯线的求作过程是先求出两立体表面的一系列公有点，然后依次光滑连接成曲线。相贯点有特殊点和一般（中间）点。如曲面立体的转向轮廓线与另一曲面立体的交点（称为转向点）；相贯线上的最高、最低、最左、最右、最前、最后点以及相贯线与曲面上素线的切点（称为极限位置点）等是特殊点。作图时，应求出特殊点，这有助于确定相贯线的投影范围和变化趋势，使相贯线的投影更准确。一般点则按需要求出。具体求作方法：（1）表面取点法。条件是必须至少已知相贯线的一个投影。（2）辅助截面法。没有投影条件限制，但辅助截面的选择应使所截得的截交

42、线是直线或平行于投影面的圆。辅助截面法在相贯线的求作中应用较多。3.4.4.2 3.4.4.2 相贯线的求作方法相贯线的求作方法186辅助截面法 如图（a）所示，圆柱与圆锥相贯，过锥顶并平行于圆柱轴线作辅助截面P，截圆锥面为两相交直线；截圆柱面为两平行直线。交点、，即为相贯线上的点。 如图（b）所示，圆柱与圆锥相贯，辅助截面Q垂直于圆锥轴线并平行于圆柱轴线，截圆锥为平行于H投影面的圆，截圆柱为两平行直线。交点、即为相贯线上的点。选择一系列的辅助面，求得一系列公有点，依次光滑连接相邻的点完成相贯线的投影。187举例188 例例3-293-29求不等直径圆柱正交相贯线的投影。 （1）分析 如图所示

43、，两圆柱轴线互相垂直相交。小圆柱垂直于H面、大圆柱垂直于W面，相贯线是一封闭的空间曲线，其前后、左右对称。相贯线的H、W投影分别有积聚性，V投影需要求作。 189（2）辅助截平面的选择 分析可知，投影面的平行面均能截出直线或平行于投影面的圆，因此可作为辅助平面。如图所示，本例选正平面P为辅助截平面。190（3）求特殊点 如图所示，I、II是最高点、又是最左、最右点，也是V投影方向上的虚实分界点，III、IV是最低点，又是最前、最后点。各点的V投影1、2、3、4由已知的H、W投影求得。191（4）求一般点如图所示，V、VI两点选择辅助平面P求得。192（5）连线并判别可见性 相贯线前后对称，其V

44、投影虚实重叠。193（6）不同表面相交情况的分析 上述两圆柱外表面相交的相贯线，同样可出现在圆柱上开圆柱孔的情况下，即圆柱与圆柱孔（外和内表面）、圆柱孔与圆柱孔（内和内表面）正交时。它们的求作方法是相同的，如图所示。194（7）两等直径圆柱正交 其相贯线由空间曲线蜕化成两个椭圆。如图所示，各椭圆所在平面均与V面垂直，因此它们的V投影都积聚成直线，由两立体在V面上的转向轮廓线的交点所连成。195 例例3-303-30求不等直径圆柱斜交相贯线的投影。（1）分析 两圆柱轴线倾斜相交，且平行于V面，因此相贯线是一封闭的空间曲线，其前后对称。由于水平大圆柱垂直于W面，所以相贯线的W投影有积聚性，H、V投

45、影需要求作。196（2）辅助截平面的选择 正平面截两圆柱面的截交线均为直线，而其他平面截两圆柱面会出现椭圆。所以选正平面P为辅助平面，如图所示。197（3）求特殊点 如图所示，、是最高点、又是最左、最右点，也是V投射方向上的虚实分界点，、是最低点,又是最前、最后点。各点的V、H投影由已知的W投影求得。198（4）求一般点 如图所示，V、VI选择正平面P为辅助平面求得两点、。其中，平面P截倾斜小圆柱面的两平行素线通过一次辅投影求出其准确位置。199（5）连线并判别可见性 因为相贯线前后对称，所以V投影虚实重叠。而H投影以III、IV为虚实分界点，其左边部分不可见，投影是虚线。倾斜小圆柱的上、下转

46、向轮廓线的H投影应补画到点3、4。200 例例3-313-31求圆柱与圆锥偏交相贯线的投影（1）分析 如图所示，圆柱与圆锥轴线垂直但不相交。相贯线是一封闭的空间曲线，其左、右对称。由于水平圆柱垂直于W面，所以相贯线的W投影有积聚性，H、V投影需要求作。201（2）辅助截平面的选择 选择水平面或过锥顶的侧垂面为辅助平面（分析为什么？）202（3）求特殊点 如图所示，是最高点，、是最低点、是最前点，是最后点。各点的V、H投影由已知的W投影和通过作水平辅助平面方法求得。而两点、，是相贯线与圆锥素线的切点。203（4）求一般点 选择水平面或过锥顶的侧垂面为辅助平面可求得，本例图中未作。204（5）连线

47、并判别可见性 两立体公共可见部分的交线可见，由已知的W投影分析知：V投射方向，以点、和、为分界，相贯线的前面部分为可见；H投射方向，以点、为分界，相贯线的上面部分为可见。因此得到如图中所示的投影结果。圆柱前后转向轮廓线的V投影和上下转向轮廓线的H投影补画情况亦如图所示。205 例例3-323-32求圆柱与圆球偏交相贯线的投影。（1）分析 如图所示，圆柱与球轴线平行但不相交，其相贯线是一封闭的空间曲线。由于直立圆柱垂直于H面，所以相贯线的H投影有积聚性，现仅求作V投影。206（2）辅助截平面的选择 选择投影面平行面为辅助平面，其与圆柱面的交线是直线或平行于投影面的圆，而与球面的交线是平行于投影面

48、的圆。207（3）求特殊点 如图所示，I、II是最左、最右点，III、IV是最前、最后点，而最高、最低点E、F的H投影应是在H投影中圆柱和球中心连线与圆周相交的点e、f。以上各点的V投影由它们已知的H投影和通过作正平面P为辅助平面的方法求得。208（4）求一般点 可同样选择正平面为辅助平面求得，本例图中未作。209（5）连线并判别可见性 两立体公共可见部分的交线可见，由已知的H投影分析知：V投影中，以点I、II为虚实分界点，相贯线的前面部分为可见。圆柱和球的前后转向轮廓线在V投影中补画情况亦如图所示。2103.4.4.3 3.4.4.3 相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况 1.两立体相交，它们公

49、切于一个球面时 相贯线由空间曲线蜕化成两个椭圆。如图，各椭圆所在平面均与V面垂直，它们的V投影积聚成直线，由两立体在V面上的转向轮廓线的交点所连成。2112.回转体与球相交，且回转体轴线过球心时, 其相贯线为一垂直于回转体轴线的圆2123.球面法 利用回转体与球共轴相交，其相贯线为一垂直于回转体轴线的圆的原理。当圆柱和圆锥同时与球相交且轴线均过球心时，它们分别与球产生的交线都是垂直于相应轴线的圆。如果两圆相交，则交点是圆柱和圆锥的公有点，即是它们相贯线上的点，如图中的III、IV、VII、VIII点。因此，当不能采用辅助平面时，则可考虑选择辅助球面法 213例：圆柱和圆锥轴线斜交 （1）分析 如图，由于除过锥顶且平行于V面的对称平面，或过锥顶的垂直面为辅助平面，截交线都会出现曲线，不宜作图。 现选择辅助球面，以圆柱和圆锥轴线交点为球心，以适当长度为半径作球，球与圆柱、圆锥的交线为圆，两圆交点即是相贯点。214 以圆柱和圆锥轴线交点为球心，以适当长度为半径作球，球与圆柱、圆锥的交线为圆，两圆交点即是相贯线点II