25概率统计第七章第二节ppt课件

1、7.2 估计量的评选标准1、问题的提出、问题的提出2、无偏性、无偏性3、有效性、有效性4、相合性、相合性5、小结、小结1.问题的提出 从前一节可以看到从前一节可以看到, 对于同一个参数对于同一个参数, 用不用不同的估计方法求出的估计量可能不相同同的估计方法求出的估计量可能不相同, 如第一如第一节的例节的例1和例和例8. 而且而且, 很明显很明显, 原则上任何统计量原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量都可以作为未知参数的估计量.问题问题(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么评价估计量的标准是什么?下面介绍几个常用标准下面

2、介绍几个常用标准.2.无偏性的一个样本，的一个样本，为总体为总体若若XXXXn,21 ,的分布中的待估参数的分布中的待估参数是包含在总体是包含在总体 X )(的的取取值值范范围围是是 . ,)( ,)(),(21的无偏估计量的无偏估计量是是则称则称有有且对于任意且对于任意存在存在的数学期望的数学期望若估计量若估计量 EEXXXn无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义: 无系统误差无系统误差.1例估计有作为总体均值的样本是来自总体设,21XXXXn,111niiXnXT,12XT niiiXaT13且其中),2 , 1(0niainiia11都是无偏估计试证321,TTT证 XEXEini, 2

3、, 1 niiXEXEnTE111 XEXETE12由数学期望的性质知 niiXEXEnTE111 XEXETE12 XEaXEXEaTEniniiii1132例0, (0),XU 设总体 服从均匀分布即密度函数 其他,0, 0,1xxfx试问为一样本,21nXXX 1212max,nnTXTXXX和的无偏估计？是否为解 由 2XE知 niiniiXEnXnETE11122的无偏估计是可见1T 的分布先求为计算22TTE xXXPxXPxFnnnX,max1xXxXxXPn,21xXPxXPn1 nXxF的分布密度为故2T其他,00,1xnxxfnn 1dd,002nnxnxxxxfTEnn的

4、无偏估计不是可见2T3.有效性. , ,212121有效有效较较则认为则认为更密集更密集的附近较的附近较的观察值在真值的观察值在真值相同的情况下相同的情况下在样本容量在样本容量如果如果和和的两个无偏估计量的两个无偏估计量比较参数比较参数 n 由于方差是随机变量取值与其数学期望的由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好.),()( ,),(),(212121222111有有效效较较则则称称若若有有的的无无偏偏估估计计量量都都是是与与设设 DDXXXXXXnn 3例估计有作为总体均值的样本是来自总体设,21XXXXnniiXnXT

5、11112XT niiiXaT13且其中),2 , 1(0niainiia11?,)(321哪个更有效试问存在的方差设总体TTTXDX解 XDnTD11 XDTD2 niiaXDTD123nanii112注意的估计量是三个估计量中最有效所以XT 14.相合性3定义时当若对任意的一个估计量是参数设n,依概率收敛于则 是 的相合估计量。都满足：若对于任意即 ,有对于任意, 0lim1nP则称 是 的相合估计量。7.3 参数的区间估计1、区间估计的基本概念、区间估计的基本概念2、典型例题、典型例题3、小结、小结1.区间估计的基本概念(1) 置信区间的定义置信区间的定义,1),(),( ),(),(,

6、 1),(0 ,);(2121212121 nnnnnXXXXXXPXXXXXXXXXxFX满足满足和和确定的两个统计量确定的两个统计量若由样本若由样本对于给定值对于给定值数数含有一个未知参含有一个未知参的分布函数的分布函数设总体设总体.1 ,1 ,1) ,(为为置置信信度度的的置置信信下下限限和和置置信信上上限限的的双双侧侧置置信信区区间间分分别别称称为为置置信信度度为为和和间间的的置置信信区区的的置置信信度度为为是是则则称称随随机机区区间间 关于定义的说明关于定义的说明.) ,( , , , 是是随随机机的的而而区区间间没没有有随随机机性性但但它它是是一一个个常常数数虽虽然然未未知知被被估

7、估计计的的参参数数 : 1),(),(2121的的本本质质是是因因此此定定义义中中下下表表达达式式 nnXXXXXXP). ,(1 ,1 ) ,( 的的概概率率落落入入随随机机区区间间以以而而不不能能说说参参数数的的真真值值的的概概率率包包含含着着参参数数以以随随机机区区间间 : 1),(),(2121还可以描述为还可以描述为另外定义中的表达式另外定义中的表达式 nnXXXXXXP若反复抽样多次若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等各次得到的样本容量相等,都是都是n) ), ,( 间间每个样本值确定一个区每个样本值确定一个区按伯努利大数定理按伯努利大数定理, 在这样多的区间中在这样多的区间中,

8、 .%100 ,)%1(100 不不包包含含的的约约占占真真值值的的约约占占包包含含 , 的的真真值值的的真真值值或或不不包包含含每每个个这这样样的的区区间间或或包包含含 例如例如 , 1000 0.01, 次次反反复复抽抽样样若若 .10 1000 个个真真值值的的约约为为个个区区间间中中不不包包含含则则得得到到的的 (2) 求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤(共共3步步). )(,);,(:, )12121 包包括括未未知知参参数数任任何何的的分分布布已已知知且且不不依依赖赖于于并并且且其其中中仅仅包包含含待待估估参参数数的的函函数数寻寻求求一一个个样样本本ZXXXZZXXXnn .

9、1);,( ,1 )221 bXXXZaPban使使出出两两个个常常数数定定对对于于给给定定的的置置信信度度. 1 ),( ,),(, ),( , );,( )3212121的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为就是就是那么那么都是统计量都是统计量其中其中得到等价的不等式得到等价的不等式若能从若能从 nnnXXXXXXbXXXZa枢轴量枢轴量 解解.1 , , , ),(,2221的的置置信信区区间间为为的的置置信信水水平平求求为为未未知知为为已已知知其其中中的的样样本本是是来来自自正正态态总总体体设设 NXXXn , 的无偏估计的无偏估计是是因为因为 X),1 , 0(/ NnXU

10、 且且 ,)1 , 0(/数数的的是是不不依依赖赖于于任任何何未未知知参参NnX 例例1 12.典型例题 ,1/2/ znXP,1 2/2/ znXznXP即即 分分位位点点的的定定义义知知由由标标准准正正态态分分布布的的上上 ., 1 2/2/ znXznX的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为于是得于是得常写成常写成.2/ znX其置信区间的长度为其置信区间的长度为. 22/ znL ,05. 0 , 1 ,16 2 n中取中取在例在例,96. 1 025. 02/ zz 查查表表有有.1.961610.95 X的置信区间的置信区间得一个置信水平为得一个置信水平为由一个样本值

11、算得样本均值的观察值由一个样本值算得样本均值的观察值,20. 5 x则置信区间为则置信区间为),49. 020. 5( ).69. 5,71. 4(即即 .1 :的的置置信信区区间间是是不不唯唯一一的的置置信信水水平平为为注注意意 ,05. 0 对给定的对给定的 ,95. 0/ 01. 004. 0 znXzP 又又有有,95. 0 04. 001. 0 znXznXP 即即 .0.95, 04. 001. 0的置信区间的置信区间为为的置信水平的置信水平也是也是故故 znXznX其置信区间的长度为其置信区间的长度为. )(01. 004. 0zzn 比较两个置信区间的长度比较两个置信区间的长度

12、, 4.08)(01. 004. 02nzznL ,3.922025. 01nznL . 21LL 显然显然置信区间短表示估计的精度高置信区间短表示估计的精度高. .阐明阐明: 对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标轴对称的情况轴对称的情况, 易证取易证取a和和b关于原点对称时关于原点对称时,能使能使置信区间长度最小置信区间长度最小.,1,区区间间估估计计精精度度降降低低可可信信程程度度增增大大间间长长度度增增大大置置信信区区增增大大置置信信水水平平固固定定样样本本容容量量 n.,1区区间间估估计计精精度度提提高高可可信信程程度度不不变变间间长长度度减减小小置

13、置信信区区增增大大样样本本容容量量固固定定置置信信水水平平n 22/ znL 阐明阐明 评价一个置信区间的好坏有两个因素：评价一个置信区间的好坏有两个因素：一是精度，这可用区间长度一是精度，这可用区间长度 来刻画；来刻画；二是置信水平二是置信水平 . 1今抽今抽9件测量其长度件测量其长度, 得数据如下得数据如下(单位单位:mm): 142, , 150, 165, 156, 148, 132, , 160. 解解, 1 22/2/ znXznX的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为得得根据例根据例,333.147,96. 1,05. 0, 4, 9025. 0知知由由 xzn 149.946). (144.720, 0.95的的置置信信区区间间为为的的置置信信度度为为 ),16,( NX 服服从从正正态态分分布布设设某某工工件件的的长长度度. 9