3绝对值三角不等式

1、 选修选修4 45 5 不等式选讲不等式选讲 第一讲第一讲 不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式 2.1 2.1 绝对值三角不等式绝对值三角不等式1 1. .实数实数a的绝对值的绝对值| |a| |的代数意义是什么的代数意义是什么? ?问题提出问题提出000(0aaaaaa(当时 )(当时 )当时 )2 2. .实数实数a的绝对值的绝对值| |a| |的几何意义是什么的几何意义是什么? ?|a|0 0 x表示数轴上坐标为表示数轴上坐标为a的点的点A A到原点的距离到原点的距离. .A Ao oa3 3. .对于任意两个实数对于任意两个实数a,b.,b.它们的差的绝它们的差的绝对值对值| |

2、ab|b|的几何意义是什么的几何意义是什么? ?|a-b|A AB Babx表示数轴上实数表示数轴上实数a,b,b对应的点对应的点A A，B B之间的之间的距离，即距离，即线段线段ABAB的长度的长度. .4 4. .从从“运算运算”的角度考察绝对值的性质的角度考察绝对值的性质, ,对于任意两个实数对于任意两个实数a, b. , b. 它们的绝对值它们的绝对值| |a| |、|b|b|和他们的和、差、积、商的绝和他们的和、差、积、商的绝对值对值| |, ,| |, ,|a+b|,|+b|,|ab|b|之间有什么之间有什么关系？关系？abab | | | | |a bab (1)|aabb(2)

3、特别地，特别地，22|.aa| | |.aa |aa(3)新课探究：新课探究： 绝对值三角不等式绝对值三角不等式 思考思考1 1：对于非零向量对于非零向量a，b，根据向量加，根据向量加法的几何意义法的几何意义,|,|ab| |，| |a| |，| |b| |三者之三者之间有什么不等关系？间有什么不等关系？ |ab|a|b|，当且仅当，当且仅当a与与b同向时取同向时取等号等号.abab三角形两边之和大于第三边三角形两边之和大于第三边. .思考思考2 2：根据类比推理，对于实数根据类比推理，对于实数a，b，猜想猜想|ab|a|b|，如何判断这个猜想，如何判断这个猜想是否成立？是否成立？ (|a|b

4、|)2 2|ab|2 22 2(|ab|ab)0.思考思考3 3：上述分析表明，对于实数上述分析表明，对于实数a，b，有有|ab|a|b|，当且仅当当且仅当ab00时，等时，等号成立，并称该不等式为号成立，并称该不等式为绝对值绝对值三角三角不不等式等式，如何利用数轴解释这个不等式的，如何利用数轴解释这个不等式的几何意义？几何意义？a0,b0 xO aba+bxOaba+ba0,b0,b0a0|a+b|0时时,(2)当当ab0时，时，(3)当当ab=0时时,有有a=0=0或或b=0=0易得易得:|:|a+b|=|=|a|+|+|b| |综上可得综上可得:|a+b| |a|+|b|当且仅当当且仅当

5、ab 0时时,等号成立等号成立.定理定理1 1：若：若a,bR,R,则则思考思考4 4：在绝对值三角不等式中，将在绝对值三角不等式中，将b用用b代替可得什么结论？代替可得什么结论？ |ab|a|b|，当且仅当，当且仅当ab0时，等号时，等号成立成立.思考思考5 5：显然，显然，|a|(ab)b|， |a|(ab)b|，利用绝对值三角不等式，利用绝对值三角不等式可得什么结论？可得什么结论？ |a|b|ab|，|a|b|ab|. 思考思考6 6：对对a,b,cRR, 则则|ab|, |bc|,|ca|之间有什么关系？在数轴上如何解释？之间有什么关系？在数轴上如何解释？定理定理2 2：若：若a,b,

6、cR,R,则则 |ab|bc|ca|， 当且仅当当且仅当(bc)(ca)0时，等号成立时，等号成立.分析：分析：设在数轴上设在数轴上,a,b,c所所对应的点分别为对应的点分别为A,B,CA,B,C,xa bcA AB BC C(2)当点当点B B在点在点A,CA,C之外之外时时,|a-b|=|b-c|+|c-a|(1)当点当点B B在点在点A,CA,C之间之间时时,|a-b|b-c|+|c-a|xbcaA AB BC CxacbA AB BC C思考思考8 8：如何利用绝对值三角不等式求函如何利用绝对值三角不等式求函数数f(x)|xa|xb|的最小值？的最小值？ f(x)|xa|xb| |(x

7、a)(xb)|ab|思考思考7 7：将绝对值三角不等式推广到一般将绝对值三角不等式推广到一般情形，得情形，得|a1 1a2 2an|a1 1|a2 2|an|，这里取等号的条件是什么？，这里取等号的条件是什么？a1 1，a2 2，an都是非负数或都是非正数都是非负数或都是非正数.典例运用典例运用 例例1 1 已知已知 0, ,|xa| , , | yb| , ,求证：求证： |2x3y2a3b|5 .证明证明: : |2x+3y-2a-3b| =|(2x-2a)+(3y-3b)| |2(x-a)|+|3(y- b)|=2|x-a|+3|y-b| 2 +3 =5 故故 |2x+3y-2a-3b|

8、5 例例2 2 两个施工队分别被安排在公路沿两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第于公路路碑的第10km10km和第和第20km20km处处. . 现要现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次，要使两个施工队每地点之间往返一次，要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？于何处？两个施工点之间两个施工点之间( )2(|10|20|)S xxx2 2、定理、定理1 1：如果：如果a, ba, b是实数，则是实数，则 当且仅当当且仅当 时时, ,等号成立等号成立. .abab0ab1 1、 、 的几何意义；的几何意义；ab|a3 3、定理、定理1 1的完善：的完善：|ababababcabc5 5、定理、