线性代数：5-4 实对称矩阵的对角化_第1页
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1、 实实.当特征值当特征值 为实数时为实数时, 齐次线性方程组齐次线性方程组 (A - - E)x = 0是实系数方程组， 从而必有从而必有实实基础解系。基础解系。实实特征向量是特征向量是正交正交的。的。 思考：思考：0110的特征值？121nQ AQTQ AQ12,n 其中是的全部特征值。A（证明略）（证明略）AQ矩矩在在正正交交矩矩,存,存设 为阵 则对称阵实,使得n1 + n2 + + ns = n. 求出矩阵求出矩阵 A 的所有的所有特征值特征值。设设 A有有 s 个不同的特征值个不同的特征值 1 , 2 , , s ，它们的重，它们的重数分别为数分别为 n1 , n2 , , ns ,

2、有有 对对A的每个特征值的每个特征值i , 求求(A - - i E)x = 021111212122212(,),snsssnn,Qeeeeeeeee121122diag( ,),snssnn 的的基础解系基础解系(设为设为 )， 12,1, 2,iniii,isppp并把它们并把它们正交化、单位化正交化、单位化. 记为记为12.iniii,eee令令则则 Q为为正交矩阵正交矩阵，且，且 Q- -1AQ = . 设设011101,110A 设设21,12A求求 An .求正交矩阵求正交矩阵 Q 及对角矩阵及对角矩阵 1Q,QA.使使 求一个三阶求一个三阶实对称实对称矩阵矩阵 A, 它的特征它

3、的特征且特征值且特征值 6 对应的一个特征向量为对应的一个特征向量为1(1 1 1)T, ,.p值为值为 6 , 3 , 3, 设设 A 为为 n 阶阶对称对称的的正交正交矩阵矩阵, 且且 1为为 A 的的 r 重特征值重特征值. 求求 A 的相似对角矩阵的相似对角矩阵; 求求 | A - - 3E |.（题21比较）121,nAPPA 是可对角化矩阵12,nPA 其中 是可逆矩阵，是的全部特征值。A 是实对称矩阵121,nAQQ12,nQA 其中 是正交矩阵，是的全部特征值。2,.AnAOAO设是阶矩阵且则实对称12112,nnQQ AQA 存在正交矩阵使得 其中是的特征值。An是 阶实对称矩阵22112221122nnAQQQQ21200nA（因为）AO1代入( ）1211nAQQ（）,A BnABT1TATB 设都是阶实对称矩阵且，证明：存在正交矩阵，使得。AB12,nAB 与 有相同的特征值121nBQQ BQ实对称存在正交矩阵 ，使得 121nAPP AP实对称存在正交矩阵 ，使得1

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