第七章弯曲变形

1、第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page 1上一讲回顾（上一讲回顾（14）梁的合理强度设计依据：梁的合理强度设计依据：,zzMMyWI SzzFSI 措施：增大措施：增大,zzIW降低降低M2zzccIIyA 1.1.合理截面形状合理截面形状ccttyy 2.2.变截面梁与等强度梁变截面梁与等强度梁)()( xWxM,max SzzFSI 3.3.梁的合理受力：约束安排，载荷分配，配重。梁的合理受力：约束安排，载荷分配，配重。弯拉组合应力：弯拉组合应力：zMyFAImaxNM 截面核心截面核心 中性轴位置中性轴位置第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page 2 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page

2、 3 本章主要研究：本章主要研究： 弯曲变形基本方程弯曲变形基本方程 计算梁位移的几种方法计算梁位移的几种方法 简单静不定梁分析简单静不定梁分析 梁的合理刚度设计梁的合理刚度设计第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page 4目的目的: : 1 1、 解决梁的刚度问题解决梁的刚度问题 2 2、 求解静不定梁求解静不定梁3 3、 为研究稳定问题打基础为研究稳定问题打基础拉压杆的变形：伸长或缩短拉压杆的变形：伸长或缩短 (D Dl) )圆轴扭转的变形：相对转动圆轴扭转的变形：相对转动 ( (扭转角扭转角j j ) )弯曲变形：怎样描述？弯曲变形：怎样描述？回顾：回顾：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Pag

3、e 5 挠曲轴是挠曲轴是一条一条连续、光滑曲线连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计 因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交挠曲轴挠曲轴 轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴挠曲轴，弯曲变形的特点弯曲变形的特点第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page 6 梁变形的描述：梁变形的描述：ABlx)(xw)(x)(x F 变弯后的梁轴变弯后的梁轴挠曲轴挠曲轴lxF描述截面上任一点的

4、位移描述截面上任一点的位移:1、形心轴的线位移形心轴的线位移 挠度挠度 w2、截面绕形心轴的角位移截面绕形心轴的角位移 转角转角 F 挠度随坐标变化的方程挠度随坐标变化的方程挠曲轴方程挠曲轴方程 w= w(x)F 忽略剪切变形忽略剪切变形 + 梁的转角一般很小梁的转角一般很小 = dw/dx3、轴向位移可忽略、轴向位移可忽略第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page 7QQ 中性层曲率表示的弯曲变形公式中性层曲率表示的弯曲变形公式QQ 由高等数学知识由高等数学知识 232)(1)()(1xwxwx QQ 挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程 EIxMxwxw 232)(1)( 二阶非线性常微分方程二阶非线

5、性常微分方程EIxMx)()(1 EIM 1（纯弯纯弯）（推广到非纯弯推广到非纯弯）方程推导方程推导第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page 8QQ方程简化方程简化 正负号确定正负号确定: :0w 弯矩弯矩: 坐标系：坐标系：w 向上为正向上为正 EIxMxwxw 232)(1)(小变形时小变形时：12 w22d wM(x)=dxEI 曲线下凹曲线下凹挠曲线下凹挠曲线下凹, ,弯矩弯矩M M为正为正方程取正号方程取正号 22d wM(x)=dxEI正弯矩正弯矩负弯矩负弯矩xwoxwo第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page 9pmax 小变形小变形QQ应用条件：应用条件：22d wM (x)=dx

6、EIQQ挠曲轴的近似微分方程挠曲轴的近似微分方程正弯矩正弯矩xwo 坐标轴坐标轴 w 向上，弯矩下凹为正向上，弯矩下凹为正土木建筑部门，采用土木建筑部门，采用坐标轴坐标轴 w 向下坐标系向下坐标系22d wM (x)=dxEI 小结小结第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page10 DCxdxEIxMw F C、D为积分常数，它们由位移边界与连续条件确定。为积分常数，它们由位移边界与连续条件确定。 EIxMw CdxEIxMdxdw 一、梁的挠曲轴方程一、梁的挠曲轴方程第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page11 DCxdxEIxMw 位移边界条件位移边界条件w = 0w = 0w = 0 = 0二

7、、位移边界条件与连续条件二、位移边界条件与连续条件自由端：无位移边界条件。自由端：无位移边界条件。位移连续与光滑条件位移连续与光滑条件ACDMFB$挠曲轴在挠曲轴在B、C点连续且光滑点连续且光滑连续：连续：wB左左= wB右右光滑：光滑： B B左左 = B B右右 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page12写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件ABCDFE 例：例：思考：思考： 1. 该梁可分几段积分？各边界和内部分界点有该梁可分几段积分？各边界和内部分界点有多少位移边界与连续条件？多少位移边界与连续条件？(2). 分分3段。段。ED段不受力，保持直线，

8、仅作刚性转动。段不受力，保持直线，仅作刚性转动。 请自行考虑。请自行考虑。(1). 分分4段。位移边界条件：段。位移边界条件：A端：两个；端：两个； D端：无。端：无。 位移连续条件：位移连续条件：E：2个；个；B：1个；个；C：3个个 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page130,0AAw 自由端：自由端：无位移边界条件无位移边界条件00CCCCww 左左右右左左右右BBww 左左右右固定端：固定端： 连续条件：连续条件：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件边界条件：边界条件：例：例：中间支撑中间支撑C C：,EEEEww 左左右右左左右右E E点：点

9、：中间铰中间铰B B：ABCDFE 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page14第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page15已知已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程建立该梁的挠曲轴方程 0MwxEI ABx0M 0Mw xx CEI 202Mw xxCxDEI 解解:2、挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程 0MxM 1、弯矩方程弯矩方程: :例：例：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page16ABx0M3、积分常数的确定积分常数的确定 0202MwxxCEIMw xxCxDEI w(0) = 0D = 0w(0) = 0C = 0 200,2MMw xxxxEIEI 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形P

10、age17绘制挠曲轴的大致形状：绘制挠曲轴的大致形状：F 弯矩图过零点处为挠曲轴拐点弯矩图过零点处为挠曲轴拐点F 支座性质定该处线和或支座性质定该处线和或 角位移角位移1. 绘制弯矩图。绘制弯矩图。2. 绘制挠曲轴的大致形状绘制挠曲轴的大致形状F 弯矩图符号定挠曲轴凹凸性弯矩图符号定挠曲轴凹凸性 凹凹凸凸凹凹直线直线挠曲轴大挠曲轴大致形状致形状43qa+_4qaFsa2qaADaaqBC43qa4qa42qa+322qaM234qa+-第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page1801MxwEI l 已知已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程建立该梁的挠曲轴方程 021MxwEIl 30116MxwC

11、 xDEI l 3202262MxxwC xDEIl 2/ l2/ l0MABlM /0lM /0解解: 计算约束反力，建立坐标系。计算约束反力，建立坐标系。AB段段BC段段xlMxM0)( 00)(MxlMxM 例例:x第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page19边界和连续条件边界和连续条件: : 1222llww 1222llww 2201424M xwxxllEI 0224MxlwxEIl 100w 20wl 四个方程定四个方程定4 4个常数个常数30116MxwC xDEI l 3202262MxxwC xDEIl 2/ l2/ l0MABlM /0lM /0 x第七章第七章 弯曲变形弯

12、曲变形Page20 载荷载荷叠加法叠加法 逐段变形效应叠加法逐段变形效应叠加法 两类叠加法比较两类叠加法比较 例题例题第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page21一、一、 载荷叠加法载荷叠加法M(x)为载荷为载荷(P, q, Me)的线性齐次函数的线性齐次函数2 2、梁的变形很小；梁的变形很小；( (不影响其它载荷的作用效果不影响其它载荷的作用效果) )1 1、应力不超过比例极限；应力不超过比例极限；( (线弹性线弹性) )梁的变形与载荷成线性关系梁的变形与载荷成线性关系 ,M xwEI 积分后，积分后，w和和w仍然是载荷仍然是载荷( (P, q, Me) )的的线性齐次函数线性齐次函数第七章第

13、七章 弯曲变形弯曲变形Page22例例：EI EI = =常数，常数， 求求Aw，A载荷由集中力载荷由集中力F F，均布力，均布力q q和力偶和力偶M M0 0构成，分别查构成，分别查表表（请熟记（请熟记2 2版版P351P351或或3 3版版P376P376附录附录E E中中 1 1，3 3，4 4，6 6，8 8，9 9各梁的挠度和转角）各梁的挠度和转角），然后将各个载荷，然后将各个载荷在在A A端引起的位移叠加。端引起的位移叠加。Al0MFqQ 分析方法：分析方法：9图中点挠度图中点挠度 2016CM lwEI 2/ l0MAB2/ lC第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page23查表查表

14、, ,p 3513512340( )238AM lFlqlwEIEIEI Al0MAlFAlqAl0MFq223026AM lFlqlEIEIEI ( )AwM lEI0M lEI022qlEI36qlEI480MFqAEIFl22EIFl33叠加：叠加：第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page24例：例：载荷集度载荷集度为为 lxqxq2cos0 ，求自由端挠度求自由端挠度Bwddq)(0 xq0BlFaB alEIFawFB 362分析方法：分析方法：将任意分布载荷看作无将任意分布载荷看作无穷微集中力的叠加。穷微集中力的叠加。注意注意(1)a 取为变量取为变量 22载荷向上为正载荷向上为正

15、22036cos362BdFdwlEIqldEIl 查表查表P 351(2):第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page25例：例：载荷集度载荷集度为为 lxqxq2cos0 ，求自由端挠度求自由端挠度Bw 20004304cos3622243llBBqwdwldEIlq lEI ddq)(0 xq0BlFaB 20cos362BqdwldEIl第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page26例：例：EIEI= =常值，求常值，求acw40152768acccwwq lEI ACB2l2lq0(a)+q0(b)BAC2l2lq0(c)分析：分析：abccww abccccwww45384ccwqlEI

16、故：故：为什么？为什么？第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page27lAaqBC例例: : 求图示外伸梁求图示外伸梁C点点的挠度和转角的挠度和转角4311( )( )86CCqaqawEIEI 232222( )( )66CBCBqa lqa lwaEIEI lAaqBClAaBCqa/2qa2/2仅考虑仅考虑BC段变形段变形( (刚化刚化AB, ,可可视视BC为悬臂梁为悬臂梁) )仅考虑仅考虑AB段变形段变形( (刚化刚化BC) )二、逐段变形效应叠加法二、逐段变形效应叠加法总挠度和转角总挠度和转角312(34 )( )24CCCqawwwalEI 212()( )6CCCqaalEI 第七章

17、第七章 弯曲变形弯曲变形Page28312(34 )( )24CCCqawwwalEI 212()( )6CCCqaalEI 逐段变形效应叠加法：逐段变形效应叠加法：静定梁或刚架的任一横静定梁或刚架的任一横截面的总位移，等于各截面的总位移，等于各梁段单独变形梁段单独变形 (其余梁其余梁段刚化段刚化)在该截面引起在该截面引起的位移的代数和或矢量的位移的代数和或矢量和。和。进一步讨论进一步讨论lAaqBClAaqBClAaBCqaqa2/2第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page29lAaqBClAaqBClAaBCqaqa2/2三、两类叠加法比较三、两类叠加法比较1. 两类叠加法的联系两类叠加法的

18、联系思考：思考：右图的逐右图的逐段变形效应叠加段变形效应叠加法所对应的载荷法所对应的载荷叠加法是什么？叠加法是什么？（求（求wC， C）第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page30lAaqBClAaqBClAaBCqaqa2/22. 两类叠加法对应关系实例两类叠加法对应关系实例AlaqBCqa2/2laBCqa2/2A逐段变形效应叠加逐段变形效应叠加法有何优点？法有何优点？第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page313. 逐段变形效应叠加法与载荷叠加法适用范围不同逐段变形效应叠加法与载荷叠加法适用范围不同1F2F1F2FFFF右图的叠加法为什么不成立？右图的叠加法为什么不成立？第七章第七章 弯曲变

19、形弯曲变形Page324. 4. 两类叠加法适用范围比较两类叠加法适用范围比较线弹性、非线弹性与非线弹性、非线弹性与非弹性弹性线弹性线弹性小变形小变形小变形小变形静定杆系与刚架静定杆系与刚架静定与静不定结构，包静定与静不定结构，包括杆、板、壳及一般三括杆、板、壳及一般三维体维体逐段变形效应叠加法逐段变形效应叠加法载荷叠加法载荷叠加法第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page33例：例：EI EI = =常数，求常数，求AwlaABCFABC1wABCBC刚化刚化FBCABjFFaABAB刚化刚化 加加 a.BCa.BC弯曲刚度刚化弯曲刚度刚化b.BCb.BC扭转刚度刚化扭转刚度刚化w3 ppBAG

20、IlFaaGIFalaw22j j2. BC扭转扭转(AB(AB刚化，刚化，BCBC弯曲弯曲 刚度刚化刚度刚化) )3. BC弯曲弯曲(AB(AB刚化，刚化，BCBC扭转刚度刚化扭转刚度刚化) ) EIFlwwBA33312323333AAAApwwwwFa lFlFaGIEIEI)(331 EIFawA1. AB弯曲弯曲(BC(BC刚化）刚化）第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page34作业作业版：版： 7-1，7-5 ，7-8b，7-10版：版：7-1c,d, 7-7, 7-10b, 7-11第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page35上一讲回顾（上一讲回顾（15）梁的挠曲轴近似微分方程：梁的

21、挠曲轴近似微分方程：22d wM (x)=dxEI梁的挠曲轴近似微分方程的位移边界与连续条件梁的挠曲轴近似微分方程的位移边界与连续条件 根据位移边界与连续条件、弯矩图画梁的挠曲轴大致形状根据位移边界与连续条件、弯矩图画梁的挠曲轴大致形状载荷叠加法载荷叠加法逐段变形效应叠加法：静定梁或刚架的任一横截面的总位逐段变形效应叠加法：静定梁或刚架的任一横截面的总位移，等于各梁段单独变形移，等于各梁段单独变形 ( (其余梁段刚化其余梁段刚化) )在该截面引起的在该截面引起的位移的代数和或矢量和。位移的代数和或矢量和。第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page36例：例：E 常数常数,求求212II Cw，C1

22、.1.BC段变形效应段变形效应（刚化（刚化ABAB段）段）2.2.AB段变形效应段变形效应（刚化（刚化BCBC段）段）2,CB FB MBwwwa 2,CBB FB M BFaM FABCABCF2I1IFABC1.阶梯悬臂梁问题阶梯悬臂梁问题3113CFawEI 2112CFaEI 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page37例：例：E 常数常数,求求212II Cw，C1.1.BC段变形效应段变形效应2.AB2.AB段变形效应段变形效应2,33332211373246CB FB MBwwwaFaFaFaFaEIEIEIEI 2,222113224CBB FB MFaFa aFaEIEIEI

23、BFaM FABCABCF3113CFawEI 2112CFaEI 2I1IFABC第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page38例：例：E 常数常数,求求212II Cw，C刚化刚化ABAB段：段：32176CFawEI 22134CFaEI BBCBC段刚化：段刚化：FaM FABCABCF3113CFawEI 2112CFaEI 3.3.总转角和挠度总转角和挠度312132CCCFawwwEI 212154CCCFaEI 2I1IFABC第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page39,求求例：例：E E 常数常数, ,212II Cw，B 2I1IFABC1IEFABCEFABCEFBwF/22

24、I1ICFB2I1IABC1IEFF/2F/2CBww2.对称性质的应用对称性质的应用第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page40AaCBaqBAaCaq/2AaCaq/2反对称：反对称：中点挠度为中点挠度为0 0，弯矩，弯矩0 0铰支铰支对称：对称：4(1)(1)5 (2 )0,768CCqawEI 思路：思路：载荷分解载荷分解aCq/2例：例：利用对称性求利用对称性求 ,CCw (2)3(2)0224CCwqaEI 31248CCCqaEI ( ) 412548CCCqlwwwEI ()第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page41212CBww 问题分析：采用逐段变形效应叠加法问题分析：采用逐

25、段变形效应叠加法例：例：组合梁组合梁/刚架各处刚架各处EI, EA, B处梁间活动铰，求处梁间活动铰，求 CwABCF1Cw刚化刚架刚化刚架BDH, AB为简支梁，为简支梁，刚化梁刚化梁AB，12CCCwww 3148CFawEI 下面求刚架的位移下面求刚架的位移Bw2CwBw3. 静定组合梁静定组合梁/刚架刚架拉压变形影响拉压变形影响2aaABHD2aCFa第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page42解：解： 1. 1. 求求Bw（1 1）刚化）刚化DH的拉压与弯曲刚度，的拉压与弯曲刚度， BD相当于悬臂梁相当于悬臂梁（2 2）刚化）刚化BD和和DH的拉压刚度的拉压刚度（3 3）刚化）刚化BD

26、和和DH的弯曲刚度的弯曲刚度331236BFaFawEIEI 23222BDFaFawaaEIEI 32BDHFawlEI D D 3123232BBBBFaFawwwwEIEI ABC F1Cw 2. 2. 求求1Cw3148CFawEI aBHDF/22w1w3wa第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page433. 3. 求求Cw3148CFawEI 设设b bh h矩形截面矩形截面321234CBFaFawwEIEA 31217484CCCFaFawwwEIEA 4. 4. 比较弯曲与拉压位移比较弯曲与拉压位移323,121717484Abh IbhaFaFaEIEAh 结论结论: : (

27、(如果题意没有要求如果题意没有要求) )，拉压与弯曲共同，拉压与弯曲共同 作用时，拉压引起的位移可以忽略。作用时，拉压引起的位移可以忽略。2CwBw1Cw2aaABHDCF2aa第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page44C 左左/ /右右AqlCBl316q lE I AB12C2Cwl 梁挠曲轴如图梁挠曲轴如图CBCB保持直线保持直线48CqlwEI 312724CqlE I 左左 / / 右右ACAC悬臂梁悬臂梁第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page45 静不定度与静不定度与多余约束多余约束 多于维持平衡所必须的约束多于维持平衡所必须的约束 与多余约束相应的支反力或支力偶矩与多余约束相应的

28、支反力或支力偶矩 支反力（力偶）数有效平衡方程数支反力（力偶）数有效平衡方程数静不定度多余约束数静不定度多余约束数5-3=2 5-3=2 度静不定度静不定6-36-3 = = 3 3 度静不定度静不定( )q xM( )q xF第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page46相当系统：受力与原静不相当系统：受力与原静不定梁相同的静定梁定梁相同的静定梁相当系统的选择不是唯一相当系统的选择不是唯一的的相当系统相当系统1 1相当系统相当系统2 2 相当系统相当系统qABABRBqABq第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page47AB静定基静定基:一个静不定系统解除多余一个静不定系统解除多余约束后所得的静定系

29、统约束后所得的静定系统(左下左下)相当系统：相当系统：作用有原静不定梁载荷作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统与多余约束反力的基本系统(右下右下) AB静定基与相当系统静定基与相当系统qABABRBqABq第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page48 静不定问题分析例：静不定问题分析例：ABCFqFAFBFCF 平面问题有三个平衡方程；平面问题有三个平衡方程；F 水平方向不受力，两个水平方向不受力，两个 有效平衡方程；有效平衡方程；F 有三个未知力，一度静不定。有三个未知力，一度静不定。ABCFqFBwB = 0问题问题分析：分析：可以以支座可以以支座A A、B B、C C任意一个任意一

30、个的铅垂约束作为多余约束。的铅垂约束作为多余约束。求解：求解：解除多余约束，代以约束反力，利用相应变形协解除多余约束，代以约束反力，利用相应变形协调条件求解。例如解除约束调条件求解。例如解除约束B B，变形协调条件为，变形协调条件为思考：多余约束反力是否能与变形协调条件一一对应？思考：多余约束反力是否能与变形协调条件一一对应？第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page49小结：分析方法与分析步骤小结：分析方法与分析步骤 步骤步骤： 1 1、 判断静不定度（确定多余约束数）；判断静不定度（确定多余约束数）； 2 2 、选取与解除多余约束，建立相当系统；、选取与解除多余约束，建立相当系统； 3 3 、

31、列出多余约束处的变形协调条件；、列出多余约束处的变形协调条件； 4 4、结合平衡方程，求多余支反力。、结合平衡方程，求多余支反力。 方法：方法：选取与解除多余约束，代之以支反力；选取与解除多余约束，代之以支反力； 分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界或连续条件分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界或连续条件F 相当系统选取不唯一，一般选择求解最简单的一种相当系统选取不唯一，一般选择求解最简单的一种第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page50例：例：求支反力求支反力1.1. 静不定度：静不定度：6-3=32. 2. 选取相当系统：右中、选取相当系统：右中、下图都合适。选右中图。下图都合适。选

32、右中图。小变形，轴向变形可忽略小变形，轴向变形可忽略 HA= HB=0。两多余未知力两多余未知力qABHAHBRBRAMBMAABMAMBqABRBMB3. 3. 建立变形协调条件建立变形协调条件00BBw 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page514. 4. 联立求解联立求解0,0BBw 3240(1)328RMqBBBBBBR lM lqlwwwwEIEIEI 230(2)26RMqBBBBBBR lM lqlEIEIEI qABRBMB2224BBqlRqlM 对称性的应用对称性的应用利用对称性直接求出利用对称性直接求出RA= RB= ql/2，它可取代方程它可取代方程（1）、（）、（2

33、）之一。）之一。第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page52,0BBw D D 00,BBw ADBAB00存在装配误差的静不定问题分析存在装配误差的静不定问题分析第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page53例例: : 直径为直径为d 的圆截面梁的圆截面梁, ,支座支座 B 下沉下沉 ， max=?解解：,B0 EIlFEIlMByBB2-2 236 12lEIM,lEIFBBy - BwIdlEI/262max 23ldE EIlFEIlMwByBB3-232 0 ABABBFBMMx26EIl 26EIl 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page54例：例：求求A A点的垂直方向的位移，点的垂直

34、方向的位移，A处梁间活动铰。处梁间活动铰。aADRAAwAAww 33033AAAMR a aR aR aaEIEIEI aaaABCDM0方法：将铰链拆开，建立铰方法：将铰链拆开，建立铰 链处的变形协调条件链处的变形协调条件aBCAwM0aRA组合梁组合梁/刚架分析刚架分析静不定问题静不定问题思考：思考：利用刚架利用刚架ABCABC点，还是利用梁点，还是利用梁ADAD计算计算A A点位移？点位移？第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page55例：例：求支反力求支反力 BDwwl D D变形协调条件：变形协调条件：RRB B点位移按右图计算点位移按右图计算 ABRqaqa2/2ABqCDlaaEC

35、ABqRDRE静不定度等于多少？静不定度等于多少？第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page56一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 maxmaxw 许用挠度，许用挠度， 许用转角许用转角一般用途轴：一般用途轴： = (5/100003/10000)l重要轴：重要轴： = (2/100001/10000)l起重机大梁：起重机大梁： = (1/7001/1000)l土建工程中的梁：土建工程中的梁： = (2/100001/10000)l安装齿轮或滑动轴承处：安装齿轮或滑动轴承处： =0.001rad第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page57二、梁的合理刚度设计二、梁的合理刚度设计1. 1. 与梁的合理强

36、度设计相似点与梁的合理强度设计相似点让材料远离截面中性轴，例如例如工字形与盒形薄壁截面让材料远离截面中性轴，例如例如工字形与盒形薄壁截面合理安排约束与加载方式（分散载荷等）合理安排约束与加载方式（分散载荷等） 与与 的相似点的相似点IW同样依赖于同样依赖于MM yI MW 对比强度问题对比强度问题 或或依据依据 ( )M xwdxEI ( )M xdxEI 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page58合理安排约束与合理安排约束与加载方式加载方式% 758max1max2., max1, max2, max1, max2, % 521max1max2., 增加约束，制作成静不定梁增加约束，制作成静

37、不定梁lq2lq4l4l2lF2llqF l 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page59（1 1）强度是局部量，刚度是整体量（积分）强度是局部量，刚度是整体量（积分）2. 2. 与梁的合理强度设计的不同点与梁的合理强度设计的不同点辅梁、等强度梁是合理强度设辅梁、等强度梁是合理强度设计的有效手段，提高梁的刚度计的有效手段，提高梁的刚度须整体加强须整体加强F小孔显著影响强度，但对刚小孔显著影响强度，但对刚度影响甚微度影响甚微F()MxwdxEI M yI MW 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page60(2)(2)强度与材料强度与材料 和和 相关相关, ,刚度与刚度与E 相关相关sb maxmax

38、33maxmax1 ,4,48MFlMlFlWWlEI FC/ 2l/ 2l2maxmax34maxmax1,85,384MFlMlFlWWlEI ql高强度钢一般不提高高强度钢一般不提高E钢与合金钢钢与合金钢: :E = =200 220GPa铝合金铝合金: :E = =70 72GPa(3)(3)刚度对梁的跨度更敏感刚度对梁的跨度更敏感第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page61跨度微小改变，将导致挠度显著改变跨度微小改变，将导致挠度显著改变3max l lM max 例如例如 l 缩短缩短 20， max 将减少将减少 48.8%梁跨度的合理选取梁跨度的合理选取EIFl33max FlM

39、maxFl第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page62例：例：矩形截面梁斜弯曲问题矩形截面梁斜弯曲问题求挠曲轴方程与端点求挠曲轴方程与端点C位移位移yCzl F分析思路：分析思路：1. 载荷沿两对称轴分解：载荷沿两对称轴分解： 分解为对称弯曲问题分解为对称弯曲问题2. 求解各分载荷作用下的求解各分载荷作用下的挠曲轴方程与挠曲轴方程与C点位移点位移3. 合成为总的挠曲轴方程与合成为总的挠曲轴方程与总的总的C点位移点位移解解：(1) 载荷分解载荷分解cosyFF sinzFF 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page63方位角方位角zzyywIarctgarctgtgwI F 一般一般 ，弯曲变形不发

40、生在外力作用面内。，弯曲变形不发生在外力作用面内。2cos(3 )6yzFxxlwEI 32222cossin3zCTCyCzzyIFlwwwEII cosyFF sinzFF (2) 分力挠曲轴方程与端点位移分力挠曲轴方程与端点位移33yCyzF lwEI 33zCzyF lwEI 2sin(3 )6zyFxxlwEI 端点端点C：yCzlF 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page64qAlBxMO_29128ql28ql+xsFO_58ql+38ql等强原则的应用等强原则的应用p235, 7-27: 已知已知q、W、l、 ，（，（1 1）求求q；（；（2）D D的的最佳值及相应最佳值及相应

41、qmax 。解解：(1) 支座未抬高情形支座未抬高情形解静不定问题解静不定问题BR38BRql画剪力、弯矩图画剪力、弯矩图危险截面为危险截面为A截面截面 218q lMWW 28Wl 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page65qAlBD DxMO_29128ql28ql+xsFO_58ql+38ql等强原则的应用等强原则的应用解解：(2) 抬高支座提高抬高支座提高q可可行性分析行性分析BR等强原则应用等强原则应用解决方案：解决方案：解题难点：解题难点：M+位置变化位置变化设定设定M+位置参数位置参数a a，由等强原则求由等强原则求RB，la a第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page66qAlB

42、D DxMO_2212qla a212qla a+等强原则应用（续）等强原则应用（续）BRxsFO_()1qla a+qla ala a(2) 设最大正弯矩距设最大正弯矩距B端端la a()2221122qlqla aa a21a a()21BRql344388 21124AR qlqlEIEIqlEIa aD D 221 2 q lWa a 2 (1.52)Wql 45.7% qqq 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page67力学模型讨论力学模型讨论刚性平台刚性平台abABC例：例：弹性梁单位长度重弹性梁单位长度重q, 置于光滑刚性平台上，外置于光滑刚性平台上，外伸段长伸段长a，试确定梁拱起

43、，试确定梁拱起部分长度部分长度(p235,7-24)。力学模型力学模型1求解：求解：BqabCAB点：活动铰链；点：活动铰链；C端：固支端；端：固支端；力学模型力学模型2B点：活动铰链；点：活动铰链；C端：固支端；端：固支端；AqabCB第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page68刚性平台刚性平台abABC力学模型力学模型1求解求解BqabCABqabCABR解除约束解除约束B，代以支反力，代以支反力RB未知量：未知量：支反力支反力RB，拱起段长度拱起段长度b求解条件：求解条件：0BDD（活动铰）（活动铰）0CM 110,0CCCMEI第七章第七章 弯曲变形弯曲变形Page69刚性平台刚性平台abABC力学模型力学模型1求解（续）求解（续）Bqa