高等数学第三节 微分及其在近似计算中的应用ppt课件

1、.,)(考考虑虑用用近近似似方方法法就就要要处处的的值值不不易易计计算算时时在在某某一一点点如如果果当当函函数数xxf的一个近似值的一个近似值这样就得到了这样就得到了容易计算容易计算使使附近找一点附近找一点在在)(,)(,00 xfxfxx),()(0 xfxf ).()( 00 xfxxf 或或写写为为),53( 图图式式误误差差较较大大显显然然),53( 图图式式误误差差较较大大显显然然?式式呢呢那那么么如如何何改改善善oxy53 图图0 xxxx 0P)(xfy oxy63 图图0 xxxx 0P)(xfy MT Qxxf )(0 ).()( 00 xfxxf 或或写写为为., 63PT

2、P作切线作切线过点过点见图见图 ,)(0 xxfPT 的的纵纵坐坐标标的的增增量量式式右右边边加加上上切切线线使使即即近似近似就是说用就是说用),()()(000 xxfxxfxf ).()()()(0000 xxfxxfxfxxf 近似近似.式小式小式的误差比式的误差比.)(0的作用的作用起改善近似公式起改善近似公式xxf .我们把它叫做微分我们把它叫做微分定义一定义一则则处可导处可导在点在点若函数若函数,)( 0 xxfy ,)(0 xxf ,)(0处处的的微微分分在在点点称称为为函函数数xxf即即记作记作,dy.)(d0 xxfy 这这样样就就是是自自变变量量的的微微分分即即规规定定自自

3、变变量量的的增增量量表表示示用用为为了了式式子子对对称称起起见见，xx,d, .d)(d0 xxfy ).(dd0 xfxy 式式也也可可以以写写成成.因此导数也称微商因此导数也称微商即即近近似似就就是是说说用用),()()(000 xxfxxfxf 它可写为它可写为式式我们进一步来讨论我们进一步来讨论,)()()(000 xxfxfxxf .dyy 即即?,d,0差差别别呢呢但但究究竟竟有有多多大大相相差差不不大大与与附附近近在在上上式式表表明明yyx 即即可可导导在在点点如如果果函函数数,)(0 xxf),(lim00 xfxyx 得得限限值值的的关关系系根根据据有有极极限限的的函函数数与

4、与极极,)(0 xfxy,)(0 xxxfy 得得限限值值的的关关系系根根据据有有极极限限的的函函数数与与极极,)(0 xfxy,)(0 xxxfy .0时的无穷小量时的无穷小量是当是当其中其中 x 而而. 0limlim00 xxxx.d 之间的差别程度之间的差别程度与与这个结论描述了这个结论描述了yy 如果有如果有再深入一步再深入一步, xAy,的的高高阶阶无无穷穷小小量量是是无无关关与与其其中中xxA , xAy,xAxy ),(limlim00 xAxyxx ,lim0Axyx ),(0 xfA 即即.)(,0是函数的微分是函数的微分也就是说也就是说xxfxA .作作为为微微分分的的定

5、定义义因因而而有有时时也也把把这这种种性性质质重重要要性性质质上上面面讨讨论论提提示示了了微微分分的的定义二定义二可可以以表表达达为为处处的的增增量量在在点点如如果果函函数数yxxfy 0)( xAy),()(00 xfxxfy ,的高阶无穷小量的高阶无穷小量是是而而无关无关与与其中其中xxA .)(0处处的的微微分分在在为为函函数数则则称称xxfxA .的的易易知知可可微微与与可可导导是是等等价价:,函数的微分公式函数的微分公式立即可以写出基本初等立即可以写出基本初等由微分的定义由微分的定义xxxxxxde)e (d d )(d1 xxxxaaaxxd1)(lnd dln)(d xxxxxx

6、dsin)(cosd dcos)(sind xxxxxxdcsc)(cotd dsec)(tand22 微分的几何意义微分的几何意义处的微分是处的微分是在在函数函数0)(xxfy .)(d0 xxfy 可以看出可以看出由图由图6-3,d,tan)(0PQxxf .d,dQTyQTy 即即就就是是所所以以微微分分.)(,()(00纵坐标的增量纵坐标的增量处切线的处切线的在点在点这就是说微分是曲线这就是说微分是曲线xfxxfy 例例.102的的微微分分处处在在计计算算函函数数用用微微分分定定义义一一和和定定义义二二 xxy解解.用定义一用定义一例例.102的的微微分分处处在在计计算算函函数数用用微

7、微分分定定义义一一和和定定义义二二 xxy解解.用定义一用定义一所所以以因因, 2)1(,2 yxy.d2d)1(dxxyy .用定义二用定义二)1()1(fxfy 因因,21)1(222xxx 即即的高阶无穷小量的高阶无穷小量是是其中其中,2xx , 0lim20 xxx.d22d ,xxy 所所以以例例.d1),21ln(0yxxy处的微分处的微分求在求在设设 解解,32)1(,212 yxy所以所以.d32d)1(dxxyy 则则处的微分处的微分如果是求任意一点如果是求任意一点,x.d212ddxxxyy 例例).(d),31cos(即即任任意意一一点点的的微微分分求求设设yxy 解解)

8、,3)(31sin( xy所以所以.d)31sin(3dxxy d(u v) = du dv. (1)d(uv) = udv + vdu. (2)d(cv) = cdu (c是常数是常数). (3)(4) . )0(ddd2 uuuvvuuv则则设设我我们们来来证证明明,).2(uvy xvuvuxuvyd)(d)(d ,dduvvu .dd)(d uvvuuv 即即设函数 y = f (u), u = (x)复合为y = f ( (x).假设 u = (x)可微,且相应点处y = f (u)可微,显然有,d)()(d)(dxxufxxfyx :,d)(d所以得到公式所以得到公式由于由于xxu

9、 .d)(duufy 不论不论 u 是自变量还是函数是自变量还是函数, 函数函数 y = f (u) 的的微分方式不变微分方式不变 .例例4 4.d,ln2yxxy求求设设 解解)ln(dd2xxy xxxxx222lnlnddln xxxxxxx22lnd1dln2 .lnd)1ln2(2xxxx 例例5 5.d,e)3cos(yxyx求求设设 解解e)3cos(ddxxy )3cosd(ede)3cos(xxxx )3(d)3sin(e)d(e)3cos(xxxxxx xxxxxxd3)3sin(e)d1(e)3cos( .d)3sin33(cosexxxx 例例6 6.d,1sinlny

10、xy求求设设 解解xxy1sind1sin1d xxx1d1cos1sin1 .d1cot12xxx .所表示的导数特别方便所表示的导数特别方便用微分法求由参数方程用微分法求由参数方程组组之之间间的的函函数数关关系系由由方方程程与与设设变变量量yx ,)()(tfytx ).)(),(,均均可可微微已已知知求求所所确确定定tftyx 得得由微分形式不变性由微分形式不变性,d)(d,d)(dttfyttx 所以所以).0)()()(d)(d)(dd tttfttttfxyyx 例例7 7.,sin,cos xyRtRytRx求求为为常常数数设设解解利用微分得利用微分得,dcosd,dsindtt

11、RyttRx 所以所以 xy xydd tRttRsintddcos.cott 例例8 8. ,1,1 xyttyttx求求设设解解,d)11(d2ttx ,d)11(d2tty 所以所以 xyttttd)11(d)11(22 .1122 tt个方程个方程之间的函数关系是由一之间的函数关系是由一如果变量如果变量yx,0),( yxF.,为隐函数为隐函数那么这种形式的函数称那么这种形式的函数称所确定所确定.,0),(:yxxyxyyxF 或或而求而求或或解出解出中中不从方程不从方程指指所谓隐函数的微分法是所谓隐函数的微分法是例例9 9).(),(222为为常常数数求求确确定定了了函函数数方方程程

12、RyxyyRyxx 解解得得利利用用微微分分形形式式不不变变性性方方程程两两边边求求微微分分, 0d2d2 yyxx xyyxdd 从而求得从而求得.yx 例例1010).0(,),(0eexxyxyyxyyxy 求求确确定定了了函函数数方方程程解解,方方程程两两边边求求微微分分, 0d)ee(d yxxy, 0dede)(d yxxy, 0dededd yxxyyxyx得得.eeddxyxyyyxx 所所以以得得代代入入原原方方程程当当.0,0 yx. 1ee)0(00 yxyxxxyy例例1111.11)(arcsin 2xx 证证明明解解得得两两边边求求微微分分则则设设,.sin,arc

13、sin yxxy ,dcosdyyx ).(cos1ddyyxy ,2,2,sin1cos2 yyy因因即即非负非负故故,cos y221sin1cosxyy .11dd2xxy .11)(arcsin 2xx 即即类似可证类似可证,11)(arccos2xx ,11)(arctan2xx .11)cot(2xxarc 例例1212.),arcsin(2yxy 求求设设解解xxxy)(1124 .124xx 例例1313.),earcsin(2yxyx 求求设设解解)e()e(11222 xxxxy.)e(1e222xxxx 有有误误差差是是不不大大的的所所引引起起的的代代替替用用很很小小时时

14、由由微微分分定定义义知知道道当当,d,|yyx ,dyy ,)()()( 000 xxfxfxxf 即即.)()()( 000 xxfxfxxf 或或例例1414.9 . 8 的的近近似似值值求求解解,)(,xxf 选选函函数数第第一一步步, 9,0 x选选第第二二步步计算计算第三步第三步,61)9(, 3)9(,21)( ffxxf得得代入公式代入公式,.98. 21 . 0613)99 . 8)(9()9(9 . 8 ff例例1515.29sino的近似值的近似值计算计算解解.630,sin)(o0弧弧度度选选函函数数 xxxf,23)6(,21)6(,cos)( ffxxf.180130

15、29ooo0弧弧度度 xx得得代入公式代入公式, o29sin)180)(6()6( ff1802321 009. 0732. 15 . 0 .484. 0016. 05 . 0 例例1616.2111:),|( 1|xxxx 证证明明很很小小指指当当解解,1)(xxf 设函数设函数.2111xxx 处处的的近近似似值值为为在在点点要要证证的的是是函函数数. 0,|0 xx可可选选很很小小因因为为. 1)0(,21)0(,121)( ffxxf又又得得代入公式代入公式,.211)0(2111xxx ?,),(:的的误误差差如如何何估估计计函函数数有有误误差差由由于于设设函函数数问问题题的的一一

16、般般提提法法是是yxxfy .先先介介绍绍几几个个定定义义,aA 它的近似值为它的近似值为如果某个量的精确值为如果某个量的精确值为.,|简简称称误误差差的的绝绝对对误误差差叫叫做做近近似似值值那那么么aaA .|的的相相对对误误差差叫叫做做近近似似值值aaaA .,道道误差与相对误差无法知误差与相对误差无法知的的所以近似值所以近似值无法量得无法量得在实际工作中精确值在实际工作中精确值aA也就是也就是不超过不超过即误差即误差告诉误差的范围告诉误差的范围但使用的测量工具又能但使用的测量工具又能,A ,|AaA .,有有时时也也简简称称误误差差的的绝绝对对误误差差限限或或误误差差限限叫叫做做近近似似

17、值值我我们们把把aA .,|*表示表示用用有时也简称为相对误差有时也简称为相对误差叫做相对误差限叫做相对误差限而而AAa .)()(,00的一个近似值的一个近似值是精确值是精确值那么那么的一个近似值的一个近似值是精确值是精确值设设xfxfxx.|00 xxxxx 记记作作的的绝绝对对误误差差这这时时近近似似值值 .|,| )()(|0yyxfxf 记记作作而而函函数数的的绝绝对对误误差差 .|00 xxxxx 记记作作的的绝绝对对误误差差这这时时近近似似值值 yxxxyx与与函函数数记记作作以以及及相相对对误误差差现现在在来来讨讨论论)(,*0 .)(*0之间的关系之间的关系记作记作的相对误差

18、的相对误差yyy .d)(dyxxfy 代替代替分分讨论的基本思想是用微讨论的基本思想是用微.,05. 0,20 *VVDVcmDcmD 及及相相对对误误差差的的绝绝对对误误差差试试计计算算体体积积的的绝绝对对误误差差已已知知为为测测得得球球的的直直径径 解解例例1717所以所以因为因为,613DV .d21d2DDV |VV * |d| V|21|2dDD ,21|2122DDDD ).cm(3105. 040014. 321 V 即即.d* VV 代替代替号这一步就是用号这一步就是用注意注意相对误差相对误差32*61d21dDDDVVV .33*DDD 所以所以而而,2005. 0* DDD %.75. 02005. 03* V 解解例例1818., 1)sin( 2dxdyxyxy求求已知已知 :,得得求求导导方方程程两两边边对对x,)1( )sin()(2 xxyxyxxyxyx)ln( , 0)( )(cos22 xxyxy)ln(xyxyxy , 0)2( )(cos22 yyxyxy.)(cos2ln)(cos2221xyxyxxxyyyxyyy