微积分练习册下册答案日

1、第七章习题P8-习题7-1A-7、求满足下列条件的动点轨迹的方程：(1)到点-4,3,4的距离等于到 xoy面的距离。1 2 2 2解：设动点坐标为(x,y,z )，则p(x+4 ) +(y 3 ) +(z 4 ) =|z，整理可得动点的轨迹方程为：2 2x y8x -6y -8z 4仁 0。2丄2丄 2.x + y + z =1A-9、求下列曲线在 xoy平面上的投影曲线方程：(1)丿X + z= 122解：由xz=1得z =1 -x代入第一个方程得2xy -2x二0，曲线在xoy平面上的投影曲线方程A-10、分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线2x2x2 2 2-y2 3z =162 2

2、y - z =4的柱面方程。解：两式消去 x得母线平行于 x轴的柱面方程：3y2-5z28 = 0。两式消去y得母线平行于y轴的柱面方程：3x2 2z 20 oP20习题 7-2A-5、已知 A1,2,-4 , AB -3,2,1，求点 B 的坐标。解：令 B 的坐标为 x, y,z，由 AB 二3,2,仁得：- 1,2,z 4 = - 3,2,1 ，从而x-1=-3,y-2=2,z4=1 ,得 B 点坐标为 - 2,4,-3。 2 12A-10、已知有向线段P1P2的长度为6,方向余弦分别为，一，一，点R的坐标为-3,，求点P2。33 3解：由P1P2 的方向余弦组成的向量 e =, cos

3、卩,cosP1P2同方向的单位向量，I 3 3故 Pi P2 = P P2 cosa, cos P,cos" = 6$ - 2 , ,2 ! =4,2,。令 p?的坐标为(x, y, z),1 3 3 3,则 x 3, y - 2, z - 5* =4,2,4，可得 P2 的坐标为-7,4,9。A-11、已知两点 M1 4,、.2,1 , M2 3,0,2，试计算M1M2的模、方向余弦和方向角。解：MM =1,-庞,1的模为 MM = Y(-1 f +(-Q +12 =2。0,二1,所以_ 1_2i方向余弦分别为Cos-T,cos'，cosj。由于方向角的范围为，注，-O34

4、3A-12、已知点P的向径0P为单位向量，且与 z轴的夹角为TT'，另外两个方向角相等，求点6P的坐标。*"JT解：设0P两个相等的方向角为：，则cos22cos2 :6二 3 2COS2 ： = 1，解得 cos：4OP = icosa,cos P,cos?=丿士 ，空，点P的坐标为",I 44 2 丿<2 <3、或42<2 込、442,B-3、试确定m与n的值，使向量a二-2,3,n与b =如,-6,2?平行。解：a b二 =-，得 m =4， n =-1。 m -62P26习题 7-3A-1、已知 a3,-2,-5'，'6,0

5、,2?。求:(1) a b(2) a a(3) 4a - b a 2b解：(1)ab=3 6：i2 0伫-5 2=8(2) a a =3 3-2 一2 訓 1-5-5 =38(3) 4a -b a 216,-8,-22"5,-2,-1； = 6 15-8-2訓-221=128。A-4、设 a =3i - j - 2k，b 二 i 2j-k，求(1 )向量的模a，b ；(2) coSa, b)解：(1)a = J32 +(_1 2 +(_2f =，b = Ji2 +22 +(_1=v'6 ；3 1 ；12-2-121<14 <614rI afr-l*A-6、设 a

6、= 3，忡=4，并且 a 丄 b，试求(a + b A (a b)。解：a b a-b=a a-a b b a-b b = 2b a,G +bkG b )=2qasin(b,a )=2x4x3>d = 24。8、已知 A1,-1,2,B 5,-6,2,C 1,3,-1，求(1)同时与AB及AC垂直的单位向量；(2 ) ABC的面积；(3)从顶点B到边AC的高的长度。_ i j k_ _解：(1)AbxAC = 4 -5 0 =15i+12j+16k，AB><AC= Jl52 +122 +162 = 250 4-3所以同时垂直于 AB，AC的单位向量为:(2)ABx ACS A

7、BC3 12 1652525AB AC251 25(3)从顶点B到边AC的高为h，则S abc h = 5 h =，所以 h = 5。2 2P34习题 7-4A-3、求满足下列条件的平面的方程：(1) 平行于平面2x -8y *2-2=0且经过点3,0,-5。解：待求平面方程可设为2x -8y z D =0 ,代入点3,0,-5得D=-1 ,所以平面方程为2x - 8y z -1 = 0。(2) 过点1,1,1与点0,1,-1且与平面x y z=0垂直。解：设P 1,1,1，Q 0,1,-1 ， PQ二"1,0,2，平面x y 0的法向量为m1,1,1，待求平面的法向量n同时垂直于向

8、量 PQ, n1，故，法向量n可取为向量PQ，口的向量积，即n 二 PQ 1,0,2，1,1,1 - -2,1,*，所以，平面方程为：-2x-1 y-1 z-1 =0，即2x - y -z =0。(3)过点1, -5,1与点3,2,-2且平行于y轴。向量；-：0,1,0?同时垂直，故n可取为PQ与的向量积，即n=PQ ：=3。,2?，待求平面方程为：3 x -1 0 y 5 2 z-1=0,即卩3x 2z 5=0(4)过点A2,9,-6且与向径0A垂直 解：向径0A - 2,9,- 6.可取为待求平面的法向量，故待求平面方程为:2 x -29 y - 9 -6 z 6 =0，即 卩 2x 9y

9、 - 6z - 121= 0。A-5、设平面过点 5,-7,4且在三个坐标轴上截距相等，求这平面的方程。解：设平面方程为 =1，将点5,-7,4代入方程得：a二5-7 4 = 2，所以平面方程为:a a aA-9、求平面x y z 0与平面x -2y - z 3二0的夹角，并判别坐标原点到哪个平面的距离更近。解：两个平面的法向量分别为:1,-2,-1。则两平面的夹角余弦为:coS = coSn1 , n2111 -21 -1n1 n212 12 12 12 一2 2 一1 22T，所以两平面的夹角为V2 arcco。3到第一个平面的距离为：*= 00011T12+12+12到第二个平面的距离为

10、d20 +0 +0 +3右2 +(-+(-1 f。显然，原点到第一个平面的距离更近。2P40习题 7-5A-2-(1 )求过点0,2,4且同时平行于平面 x 21与y - 3z 2的直线方程。解：该直线的方向向量S =1,0,2? 0,1,-3： -2,3,1，则直线的对称式方程为:x_y_ z4-2O31"2x -3y +z-6=0（2）求过点（2,0,1 ）且与直线丿平行的直线的方程。4x2 y+3z+ 9 = 0解：直线的方向向量 s2,一31 <4,一2,3： -一7,一2,8，所以直线方程为:x-2y z-1-7 -2 8A-3、写出下列直线的对称式方程及参数方程：（

11、2）丿3x4y + 5z + 6 = °2x _5y + z_1 = 0解：令y = 0代入方程组得11-15直线的方向向量s3,-4,5? 12,-5,11；21,7,-773,1,-1，所以对称式方程为:1115xz _ y =731-1参数方程为:11x3t7z=*t7B-2、求下列投影点的坐标：1 ）点-1,2,0在平面x 2y-z 1 = 0上的投影。解:过点-1,2,0与平面x 2y - z 1 = 0垂直的直线l与平面的交点即是投影点，直线I的方向向量s可参数方程代入平面方程，可得： -2 - 2 -1 t 2 2 2t-t1=6t 4 = 0，得 t。再将 t =33

12、x = -1 t取为平面的法向量，即 S = 12-1，故，直线I的参数方程为<y=2 + 2t。为求直线与平面的交点，将z = _t代入参数方程可得交点P47习题 7-6A-1、求下列旋转曲面的方程：2（1 ）将zox面上的抛物线z =5x绕x轴旋转一周。解：y2 z2 二 5x2 2(2 )将xoy面上的椭圆X y 1绕y轴旋转一周。94解:(4)将xoy面上的直线y = 2x 1绕x轴旋转一周。解：土Jy2 +z2 =2x +1，两边平方 y2 +z2 = (2x + 1 f。第八章习题P57-习题 8-1A-4、求下列函数的定义域(3) Z = M-x2 -y2 + ； 224x

13、 y -1解：定义域为 D = _ lim)xy(2 + Jxy + 4 ) (x,y-(0,0 )2 + J xy + 4 x, y 4亠x2 y2 -1，这是以原点为圆心，半径分别为1和2的两个圆构成的圆环，不包括内环。2 2 2(5) z=ln(x -y) arccos(x y )解：定义域为 D = L x, y ix2 y, x2 y2 -1:，这是开口向上的抛物线x2 - y 0与半径分别1的圆围成的图形的向面部分，不包括抛物线。A-5、求下列函数的极限1(2) lim x y sin -()x，y woxyj1j1解：原式(2 - Jxy + 4 fe + Jxy + 4)(x0

14、)xy(2+Jxy+4 )(4)xylim 厂"4x,y j |O,o-xy-14解：因为(Xo x + y )= 0， sin兰 1，故(1朝。° x + y bin =0。A-7、设函数fx,_"x，讨论函数f x, y在点0,0处的连续性。解:lim f x, y = lim 2X_0X_0 x 2y zkxy ±x2 2k x22k x4 k21 k2可见，k不同时，即动点 x, y沿不同的路径趋近于(0,0)时，极限不同，故f x,y不存在，所以函数f x, y在0,0处不连续。P66习题 8-2A-1、求下列函数的偏导数(6)z = arct

15、an -x + y解:(x y) _(X _ y)(8)解:(9)解:/x2X yix + y2X yix +, 2(x + y )2y2 2y x_y-(x y) -(x - y)z=ex y sin(xy)x2y2-2xx y2x2 :：.y2xx2 y22xex y sin(xy) yex y cos(xy) =e x2xsin(xy) ycos(xy)】=2yex y sin(xy) xex y cos(xy)二 ex y 2ysin(xy) xcos(xy)z = arcsinx-：z-X1x2 y2yx2 y2两边同时对x求偏导数得:1 :zyy -z ： x 1 xy粽 _ y2

16、(1 + xy)y.x 1 xy=y2(1 + xy)y，2xy.:z12 . x2 y2- xy/ X'2 T/Xy2 厂国(x2+y2)辭+ y210) z = (1 +xy解：两边取对数Inz = yln(1 xy)两边同时对 y求偏导数得:1 ；zxln(1 xy) y z ；y1 xy空=(1 十 xy )y In(1 十 xy) + 彳1一x = (1 + xy )y In(1 + xy) + xy(1 十 xy )y :y1 xy注：此题还有其它方法做A-8、求下列函数的2z2 2d zd z， 2 xy: y2 y3(2) z = x e y sinx解:r 2x；z.

17、x二 2xey y3 cosx，-z2 y2x e 3y sinx y二 2ey - y3sin x，:2-zy22xey 3y cosx， x：y：z2 y2 x e 6ysinx yP74习题 8-3A-1、求下列函数的全微分(1)z = x2 y解:-:zdz 二2xy+ ： dx + y丿2xy3 dy(2)z = In x2 y2解:x2xcz2y2 2 ， - - 2 2 ，x y y x y2xx2 y2 dx2y x2x22 xdx ydy y(4) z = xcos(x -y)zz解：cos x - y Jxsin x -y ,- xsinx-y:x:ydz 二 Cosx -

18、 y ；xsin xy dx xsin xy dyA-4、求下列函数的全微分(3)x=e解:.U.x= exsin(yz),=zex cos(yz)， y=yex cos(yz)cudx2e，1匹)22, 2.u£U2 du e 2dx dy dz4B-3、验证函数z =2 ,x2 2 二x y0,x2 y2 =0y2=0在0,0处连续，偏导数存在，但是不可微分。解：(1)令 x = rcosv , y = rsinv则 lim z = lim rsin2 cos2- 0，即原函数在原点处连续。x,y j 0,0J0(2) M“imzx'0 z0,0 “im 口“&

19、xTxxT x所以原函数偏导数均存在。(3)令=x = rcos"，二y = rsin ，则= lim z 0, y - z 0,0；y y )°Fim0 =0y >0 y心z = z(x,y z(0,0 )=z(0 + x,)-z0,Axy232仏x2 +Ay2 )=rsin2 cos ：因为 lim r sincos = sin2 丁cos2 ：； - 0，因也匕 r sin2 71 cos2 71 在 rTr > 0时不是比r高阶的无穷小,故z=zx, y - z 0,0二z 0=x,0 J =y - z 0,0不能表示成00 y - o( r)，所以原函

20、数在原点处不可微分。P82习题 8-4A-2、设In v,u ,v = 3x - 2y， y求三和兰excy解:.z.:z:x:u.u :z ：v,12ulnv x：v :xy vx32一2八 3x0y23x2:z.:z:u.u:z :v+:v :yx=2ulnv -2x2A-4、设 Z= ex'y，而 x =sint，解: dzdtex dtdy dtx _2y“ 2A-6、设 z= tan 3t 2x-y2，u 2 二三=ln 3x 2y2vy3x - 2y yy = t3，求 dzdtcost ex'y ：i-2 3t2 二 cost-6t2esint_2t3解:匸=se

21、c 3t 2x2dt2 -= sec 3t + 2 -、rxA-8、设 u =e2 y2z2，而解:-ux2 -'y2 z2=e:x:u1r dz"1，八'，求五。f3 + 4x齐纣閔-(Vt 21 -1JU孑-2 . t 2< t丿2 二 sec2 2t 彳t3t2z = y2sinx，求丄，ex2x 2z-二 ex2 y2 y4sin2x:x二 2x y4sin2xex2 y2曲2 y2 z2cz2y 2z.u2x 2y2sinx y2cosxx2y2 亠y4 sin2 x2=e2y 2y sinx 2ysinxx2：；y2 ：；y4sin2 x32二e2y

22、 4y sin xA-11、设f具有一阶连续偏导数，求下列函数的一阶偏导数(3) Zf yln x,2x 3y-：Z解：xfi'戈 f2 2 二 #fi' 2f2，二xxyfi In x f2二 In x fi 3 f2A-14、设f具有二阶连续偏导数，求下列函数的；：2z口2:'zl、 rv.x y-2:zo ( 1) z = f x y,xyZ''''_z''''解：f11 f2 y =也yf2，f11f2= f1xf2:xjy因为f具有二阶连续偏导数，所以仇;二f21，故；：2zx2-f11 1f12

23、y y f21 1f22""2"y)=忖 +2yfj2 + y f?2j11 1 怙 x 1 f2 y f211f22 x = % 亠 x y f12xyf22f2C2zy'-f111 f12X X f21 1 f222 ''f112xf12X f22P88习题8-5A-2、下列方程确定z为x, y的函数，求.Xo(1) ez - xyz = y解：方程两边同时对X求偏导数得:.:z.X_ yz _ xyz = 0，解得exyz.Xze - xy方程两边同时对 y求偏导数得：ez；z:y；zy-xz - xy0，解得；z:yXZze - x

24、ycz czA-2、下列方程确定 z是x, y的函数，求 , ex dy(3) x2y2yz ez = 1解：方程两边同时对 x求偏导数得:2xy2y 三 eV方程两边同时对 y求偏导数得：x2.X-X-X 2y-ezz:z _z2x -2zez0 ,解yy:X2y - ez2xy=0，解得Z-2z - 2 y-：zA-6、设f具有连续偏导数，方程z二f xz,z - y确定z是X, y的函数，求 ex-=Z解：方程两边同时对 X求偏导数得:方程两边同时对 y求偏导数得:-'zf z=f1X 二-z X一z，解得X: X-：zzfi-f2，解得cy1 - xf1 - f2A-8、求由下

25、列方程组确定的函数的隐函数的导数或偏导数。(2)2 2 1 2 x y z I 2x y z = 1，求吓dz dz解：方程组同时对 z求导数得:2x + 2$"dZ dZ ，解得竺 空屯I。dzdz dzz+2y dy z+2x 2x-y dz 2x-y(4)3y = U"，求xsinv = ysinu：v解：方程组同时对 y求导数得:vxcosv = sinu.uycosu -cudv+=111cucv.x cosv = -sin ui y cosul变为，解得P94习题8-6x cosv - sin uxcosv ycosu:vyycosu sinuxcosv yco

26、suA-1、求下列曲线在指定点处的切线及法平面方程：2t1 t厂（4）曲线x 壬，y二，z二t在点1,0,1处;1 +t t解:21 t 2,1 1tT,t点 1,0,1 处对应 t =1，此时 s = ?»,-2,1'2故切线的对称式方程为:x-1_y-0_z-11 -2 1法平面方程为：1 (x -1) 2) (y -0) 1 (z-1) =0，即 x-2y z = 2。A-3、求下列曲面在指定点处的切平面及法线方程x（1）曲面 z = y In 在 1,1,1 处。z，广解：令 F （x, y,z ）= y +ln x z，则 n =卡；,F；,Fz' >

27、=1 ,1,T -1zlX z点 1,1,1 处 n = 1,1,-2故切平面方程为：1 (x _1)1 (y _1)(_2) (z_1) = 0，即 x y_2z = 0法线方程为：x -1 y-1 z-111-2(3)曲面 ezz xy 二 3在点 2,1,0 处。解：令 F (x, y,z )=ez z +xy -3，则 n = *：, F；, F； = <y, x,ez 1点2,1,0处切平面的法向量'1,2,0?故切平面方程为：1 (x -2) 2 (y -1) 0 (z -0) =0 ,即卩x 2y =4法线方程为：x - 2 y -1 z12 02 2 2A-4、求

28、曲面x 2y 3z =21平行于x 4y 6 0的切平面方程。解：令 F x, y,z = x2 2y2 3z221 ,切平面的法向量 = F x, F y, F； J、2x ,4 y ,6 ；与平面Ji2x 4y 6z,x 4y 60的法向量1,4,6?平行，由向量平行的充要条件得：2k，x二k，146y=2k，z=2k，代入曲面方程解得：k= 1当k =1时，曲面上的点为 1,2,2，n1,4,6，此时切平面方程为：(x -1) 4(y -2) 6(z _2) =0，即 x 4y 6z =21k - -1时，曲面上的点为：；：1,一2,-2 ， n二'1,4,6'，此时切平

29、面方程为：(x 1) 4(y 2) 6(z 2H 0，即 x 4y 6z = -21P101习题8-7A-1、求函数x2y2在点1,2处沿该点到点 2,3的方向的方向导数。解:令 P(1,2)，Q(2,2 + J3)，则 PQ = 1,%/3=2丄2:,cos 。-Z又一x my=2=2y = 4，所以-:z-1 PQ=2 143=1232 2A-7、求函数z = x2- xy y2在点1,1处沿方向余弦为cos，cos：的方向的方向导数，并指出：1沿什么方向的方向导数值最大？2）沿什么方向的方向导数值最小？3）沿什么方向的方向导数值为零。解：设在点1,1处的方向余弦为cos：，cos，的方向

30、为I。；zz.Iy =1,1.:z=（2一比冷，卄 2y $弓=1，所以=1 CO凶 +1 COS0 =COSG +COS0 = J2cos 日-（-表示从x轴逆时针方向转动到方向I八牛时，即沿方向亠j的方向导所转过的角度）。所以 ；时，即沿方向i j的方向导数最大;4数最小，二或时，即沿方向-ij或i-j的方向导数为零。44特另U注意：-1 cos：£亠1 cos： = cos很 亠cos* = cos：签亠si n篇：l "2 2 2 .A-10、设 f x, y, z 二 x 2y 3z xy 3x2y6z，求 gradf 1,1,1。 解: f；(1,1,1)=(2

31、x + y + 3h,1,1 厂 6 , f；(1,1,1) = (4y + x-2»,1,1 厂 3 , f；(1,1,1)=(6z_6怙 =0，所以 gradf(1,1,1)=6； + 3jP111习题8-8A-3、求函数 f(x, y) =ex_y x2 -2y2 极值。解: fx =ex_y x22y22xex = x22y2 2xex_y,fy = -ex_y (xx_2y2) exy ：-4y j： 2y2 _x24yex_yf；x=2x 2 ex 今 X2 -2y22x ex 今=x2一 2y24x 2 eyf；y- 4y ex 今一 x2 -2y22x ex 今-x2

32、2y2- 2x一4y ex_yfyy =4y -4 ex 今一 2y2- x2-4y ex今二 x22y28y - 4ex_yfx =0t、 J 、由x ，解得两个点( 4,2),(0,0)Jy =0对于点-4,-2 ,A=fxxx=4=_6e<0, B = fxyx=-4=8e, C = fyy x= T2e"y=2y二y 二AC -B2 =8e- .0 ,且 A 0 所以 f (-4,-2) =8e -为极大值。对于点0,0 ,A=fxxX =2>Q , B = fxyX=O, ChfyyXdh/y =0y=0y=02AC B - -80 ,所以0,0不是极值点。A-

33、5、某厂要用铁板做成一个体积为4m3的无盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。解：令长、宽、高分别为 x, y,z，则问题转化为在条件 xyz = 4之下求xy 2xz - 2yz 的最小值，其中 x 0, y 0,z0 o令L(x, y, z, ) =xy - 2xz - 2yz (xyz -4)，对x, y,z,分别求偏导数，并令为零，得联立方程组：y + 2z + 九 yz= 0x + 2z + hxz = 02 x 2 目；xy 二 0xyz-4=0解得：x = y= 2 , z=1。2 2A-6、求椭圆x 3y =12的内接等腰三角形(三角形底边平行于椭圆长轴

34、)的最大面积。解：方法1不妨设内接三角形底边的两个顶点的坐标为(-X, y),(x,y)，其中x 0, y ：. 0面积为S，则S =x(2 -y)引入拉格朗日函数：L(x,y, ) =x(2-y) '(x2，3y2-12)，则由Lx =2_y 2x' =0Ly = -x 6y，=02 2x 3y -12 =01 S 2x2得唯一可能极值点(3, -1)，该点也是最值点，最大面积S = 32 -( -1) = 9轴对称。设底边右边顶点为(x,y )，则左边顶点为(x, y)，其中y=#4专。则三角形面积为:方法2显然，三角形的一个顶点在 y轴上，不妨设在(0,2)，而底边上的两

35、个顶点在 x轴的下面，并关于y。问题转化为求S 二 2x x 4 - : 0< x < 2 3 的最大值。2x X3从而y = _1，所以最大内接三角形面积为S =9。第九章习题P117-习题 9-1A-1、设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域D，薄片上分布有面密度为l（x,y）的电荷，且l（x, y）在D上连续，试用二重积分表达该薄片上的全部电荷。解：M =（x, y）d匚DA-3、根据二重积分的几何意义确定下列二重积分的值：（1） Ia 一 x2 y2 d二，其中 D = x, y x2 y2 _ a2 a 0。D解：z = a - X y 为顶点在0,0, a开口向下的圆

36、锥面，根据二重积分的几何意义，11 'a - x2 - y2 d表示顶点在0,0, a ，底面为圆x2y2 = a2的圆锥的体积。因此D11 'a- . x2 - y2 d "DP132-习题 9-2A-1、画出下列积分区域的图形，并且计算这些二重积分（2） Iii3x2yd；，其中D是由两坐标轴与直线 xy=2所围成的闭区域;D解：（图略）22=2 2仃（3x+2y” = （ dx（3x+2ydy = J0（-2x +2x + 4dxD2x3 x2 4x 23020（4） . cos x y d二，其中D是由直线x = 0, y =禦，y = x所围成的闭区域;D解

37、:（图略）Uy兀JJcoSx + y ” dy coSx 十 y dx = （sin2y-sin y dyD1 cos2y cosy = -22(5) x2yd二，其中 D -、x, y x2D24公22 2 ¥ 解 x ydv = .dx。Dx2ydy 二2 1 2264才(4 一 x2)dx15(8)4 yd匚，其中D是由抛物线y2二x和直线x y二2所围成的闭区域;解：(图略)解方程组丿严2y =x得得7乂 =1，*x + y = 2仏=1k.X2 = 4 y2 - 212 _y(11- y dx2 -3yy3 dy221 44y274(10) 11 Xd二，其中D是由双曲线x

38、y = 1和直线y = x, y = 2所围成的闭区域。 d y解：(图略)2 y x2牛严1916-! 21 2+ 144y 丿 1A-4、改变下列二次积分的积分次序1 y .(2?吩)0dy0 f x,ydx1y11解：0dy。f x,ydxjdxxf x,y dy2 2y(2) 0 dy fy2 f 仗,ydx2解：解方程组X 二 v，得 X1 = 0, y1 = 0； X2 = 4, y? = 2x 二 2yxf (x,y)dy dyj f (x, ydx = ( dxfxy2e In x(3)0 dx0 f x,y dye ln x解: dx f (x,y)dy= dyy f(x,y

39、dxA-6、计算下列立体的体积:(2)由平面x =0, y=0, x y=1所围成的柱体被平面 z二0及抛物面x . . . x2 y2d二，其中D是由圆周x2 y2 =2y与y轴所的位于第一象限内的闭区域。 y2 = 6 - z截得的立体。11 _x22解：V = dx(6x -y dy5x -0 3175 x2A-7、画出积分区域的图形，x +dx3)2 314x+ x33把二重积分13017f(x,y)dxdy表示为极坐标系中的二次积分，其中积分区域DD解: 也2 aX2y2d= 2半 sin r2dr =0 0D覽sin如晋心Tco町0169是：(3) " x, y a2 空

40、 x2 y2 < b2,x< y < . 3x, x _ 0* 0 a b ；解： f(x,y)dxdy二 3dv rf(rcos,rsiz)d=。 aD4A-9、把下列二次积分化为极坐标系中的二次积分，并且计算积分值:(1)&02 y2dy-rdr24cosP2j2co»2co詡严n(31V日 +sin2。+ sin4日 i<28儿A-10、利用极坐标计算下列二重积分：(1). e"，其中 D 邛 x,y x2 y2 乞4，D解：I iex y d = d rer dr 1 e4 -1 d： - e4 -仁八L000D(3)in 1 x2

41、y2 d二，其中D是由圆周x2 y2 =1与两坐标轴所的位于第一象限内的闭区域。D解: 11 in 1 x2 y2 deDH 1H°2dr o rin 1 r2 dr 二 °2In21 d 2in2 12 4A-12、设平面薄片占据的闭区域JJTD是由螺旋线亠的一段弧0辽与射线二飞所围成，它的面密度"x, y二x2 y2，求该薄片的质量。, 耳 2甘解: M = (Rx2+y2g = P PdP =DHo: 424P141 习题 9-3A-1、求上半球面 z - Ja2 - x2 - y2含在圆柱面x2 y ax内部的那部分曲面的面积。解：柱面x2 y2二ax在x

42、oy平面上的投影D即为积分域。,'zLfcZ13丿同丿S 二Da cos JdS 宀：/=a .：d =兀)4ar dr2 2-r=-a2二-a兀2Jjr一2兀a cos 二jMsin © -1一2dra2(恵-2)A-4、求下列平面图形D的形心：(1) D由抛物线y = . 2x与直线X =1, y二0所围成。1<2x解：li = JJdu = j0dx,0 dy =DI2:! xd12x0 dx 0 xdy -1 0x 2xdx二12xl3=yd二-0dx0 ydy二。则形心坐标为3 3鶯21 = x2 y2，求此圆盘的质心。00ifA-5、圆盘x y咗2axa 0

43、内各点处的面密度32acos16ar rdr =J32acos -2x,yd-= .2d0D2JI2acos r3 二 y"x,yd-二=m0r cost r rdrr si nr r rdrD的区间上的积分为零）。= 8a4= 4a42 cos5知-曲015JI2 sinvcosJd - 0 （奇函数在关于原点对称仗'叫2+广愕,0丿A-8、设均匀薄片（面密度为常数 ）占据的闭区域则质心坐标为D如下，求指定的转动惯量:（）D=*x, yp解法2A ba4a22Xa oJIbk4 oax2 a2 - x2 dxx 二 a sinTT2 a2 sin2 v a cos a co

44、s ：21 -coE d .1sin" 10'216M为薄片的质量,二 ab 。解法二（学生可能看不懂）：借助广义极坐标=arcos： y = br sin 日H:解：h 二亠 x,y d 2小 0 D-22 二 2 .0 cos日d日a 3b，-1 2 22a 3bl0 d日 0 a r cos 日 abdr=P150-习题 9-4A-1、化三重积分I =仃Jf（x,y,zdv为三次积分（先对 z，次对y，后对x），其中积分区域。分别是:Q（1）由三个坐标面与平面 6x 3y 2z -6 =0所围成。解门在xoy面的投影区域为 Dx- '（x, y） 0乞y <

45、; 2 -2x,0乞x乞1，12_2xI = f x, y,zdv= 0dx0Q3 _3x _3ydy°f x,y,zdz。(x, y, z p< 讥 33 x 2 y,( x, y)w D(2)由旋转抛物面 z = x2 y2与平面z二1所围成。解：I 在xoy面的投影区域为Dxy = x, y)x2 +y2"= x, y 右-x2 兰 y<-x2,1兰 x< ",M - ' x, y, zx2 -y2乞 z < 1,(x, y) Dxy11J1 _x21故 I ! ! ! f x,y,zdv=dx 亠2dy 疋 y2 f x,y

46、,zdz。Q(3)由圆锥面x2 y2与上半球面z = 2 - x2 - y2所围成。解：圆锥面z = . x2 y2与上半球面z =2 - x2 - y2的交线为x2 十 y2 = 1' J在xoy面的投影区域为Dxy 二"(x, y) x2y2 一仁-x, y j； ：1 - x2 一 y 一 一1 - x2 ,-1 一 x - 1，M = x, y,z x2 y2 乞 z 2 - x2 - y2, (x, y) DXy :故1t 1 x2、2 -x2 _y2I I II f x, y,zdv=dx t#dy x2 y2 f x, y,zdzA-3、计算下列积分(1) ii

47、ixydv，其中|是由三个坐标面与平面 xz 1所围成的闭区域。Q23解。在xoy面上的投影区域 Dxy=£x,y卩兰y兰2 2x,0兰x兰1，。在Dxy上任取一点(x,y)，过该点作平行于z轴的直线，与fl的下、上两个交点坐标分别为z0，z2 = 3 - 3x -矽。故2”232、3 xy _ 3x y xy dy212 _2x 3_3x 史12_2xxyd °dx° dy o 2 xydz- °dx °Q1 3 0 3 1 3 4 1° 2 x1 一 x dx1-x =t 21 （1一 t）t3 （一 dt） =2°（

48、t3 一 t4） dU 10（4） | | ,z2dv，其中门是由上半球面z = 1 - x2 - y2和平面z = 0所围成的闭区域。Dy -rc 0 乞亡1,0 " _2八,Q解：用柱面坐标计算，I】在xoy面的投影区域为 - < r,v,z Oez e、1r2, r,【卢12 2 2- 1 ）z rdz= ° 此 o3r 1 - r 22 dr =32 2 二 1!.!.!.z d 0 dr 0drQA-4、利用柱面坐标计算下列三重积分（1）! izdv，其中|是由上半球面z = . 2-x2-y2和旋转抛物面z二21止二0 152 二15x2 y2所围成的闭区

49、域。解:上半球面z =迟'2 - x2 - y2和旋转抛物面 z = x2 y2的交线为:=2 - x2x2 y2x +y =1。在xoy面的投影区域为 D用z = 1r,v 0乞心1,0 v 2二？,-z 一 .2-r2, r/ 卢 Dj21斗2 _r2兀1IMZdS ° Z ° dr r 2 z 8" ° E ° Qr上上d, 2乜d”220 2412（2） i 11z x2 y2dv，其中11是由旋转抛物面 z = x2 y2和平面Q解：i 在xoy面的投影区域为 Dj-；r门 0乞r乞1,0 _二_ 2二？，z二1所围成的闭区域。八 rj,z r2 <z<1