第3章相对位置ppt课件

1、第3章直线与平面、平面与平面的相对位置3- 1 2 3 4 3.1 平行3.2 相交3.3垂直3.4 间隔和角度的度量及综合性作图题一平行问题一平行问题 1 1熟习线、面平行，面、面平行的几何条件；熟习线、面平行，面、面平行的几何条件； 2 2熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。方法。二相交问题二相交问题 1 1熟练掌握特殊位置线、面相交其中直线或平面的投熟练掌握特殊位置线、面相交其中直线或平面的投影具有积聚性交点的求法和作两个面的交线其中一平面影具有积聚性交点的求法和作两个面的交线其中一平面的投影具有积聚性。的投影具有积聚性。 2

2、 2熟练掌握普通位置线、面相交求交点的方法；掌握普熟练掌握普通位置线、面相交求交点的方法；掌握普通位置面、面相交求交线的作图方法。通位置面、面相交求交线的作图方法。 3 3掌握利用重影点判别投影可见性的方法。掌握利用重影点判别投影可见性的方法。三垂直问题三垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。四点、线、面综合题四点、线、面综合题 1 1熟练掌握点、线、面的根本作图方法；熟练掌握点、线、面的根本作图方法； 2 2能对普通画法几何综合题进展空间分析，了解综合题能对普通画法几何综合题进展空间分析，了解综合题的普通解题步骤和方法。的普通解题步

3、骤和方法。D DB BC CA AP P假设：假设：ABCD那么：那么：ABP 假设平面外的一条直线与平面内的一条直线平行假设平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与该平面平行。这是处理直线与平面平，那么该直线与该平面平行。这是处理直线与平面平行作图问题的根据。行作图问题的根据。有关线、面平行的作图问题有：有关线、面平行的作图问题有： 判别知线面能否平行；判别知线面能否平行； 作直线与知平面平行；作直线与知平面平行； 包含知直线作平面与另一知直线平行。包含知直线作平面与另一知直线平行。fgfg结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面 例例1 1 试判别直线试判别直线

4、ABAB能否平行于定平能否平行于定平面面nacbmabcmn 例例2 2 过过M M点作直线点作直线MNMN平行于平面平行于平面ABCABC。有无有无数解数解ddX X正平正平线线 例例3 3 过过M M点作直线点作直线MNMN平行于平行于V V面和平面面和平面 ABCABC。独一独一解解cbamabcmnnddX Xbaaffb 例例4 4 试过点试过点K K作程度线作程度线ABAB平行于平行于CDECDE平面平面XOABa (b )CDEFGHcde (f)h (g )a b a (b )c cd de fe (f)g h h (g ) 当平面为投影面的垂直面时，只需平面有积聚性的投影和直

5、线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，那么直线与平面必定平行。 假设一个平面内的相交两直线与另一个平面内的相交两直线对应平行，那么此两平面平行。这是两平面平行的作图根据。 几何条件：几何条件： 两平面平行的作图问题有：两平面平行的作图问题有： 判别两知平面能否相互平行； 过一点作一平面与知平面平行； 知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。 假设一平面上的两相交直线分别平行于另一平假设一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，那么这两平面相互平行。面上的两相交直线，那么这两平面相互平行。ABAB；ACAC； 那么：那么：PQPQ 假设两投影面垂直面相互平行，那么它们具有积假设

6、两投影面垂直面相互平行，那么它们具有积聚性的那组投影必相互平行。聚性的那组投影必相互平行。XOe ( f )Fh ( g )GEHg fh ( g )e ( f )Oe h ABCacba b c acbcfbdeaabcdefX XfgabcdefgabcdeX X两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行 两普通位置平面平行两普通位置平面平行 acebbaddfcfekhkhO OX Xmm由于由于ekek不平行不平行于于ac,ac,故故两平面两平面不平行不平行 例例1 1 判别平面判别平面ABDCABDC与平面与平面EFHMEFHM能否平行，知能否平行，知ABCDEFMHABCDEFMH 例例

7、22试判别两平面能否平行试判别两平面能否平行mnmnrrss结论：两平面平行结论：两平面平行emnmnfefsrsrkk 例例3 3 知定平面由平行两直线知定平面由平行两直线ABAB和和CDCD给定。试过点给定。试过点K K作一平作一平面平行于知平面面平行于知平面 。 例例44试判别两平面能否平行。试判别两平面能否平行。结论：由于结论：由于PH平行平行SH，所以两平面平行，所以两平面平行aaccbbmnmndd作图步骤作图步骤1.过过C点作点作CD平行平行MN(cdmn、cd mn2.求出求出CD与与AB的交点的交点D3.连连ad并延伸并延伸求得求得b4.完成完成ABC的程度投影的程度投影 直

8、线与平面相交，其交点是直线与平面的共直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。有点。要讨论的问题：要讨论的问题：(1) (1) 求直线与平面的交点。求直线与平面的交点。 (2) (2) 判别两者之间的相互遮判别两者之间的相互遮 挡关系，即判别可见性。挡关系，即判别可见性。 我们将分别讨论普通位置的直线与平我们将分别讨论普通位置的直线与平面或至少有一个处于特殊位置的情况。面或至少有一个处于特殊位置的情况。 两平面相交其交线两平面相交其交线为直线，交线是两平面为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有的点都是两平面的共有点。点。要讨论的问题：要讨论的问题：

9、求两平面的交线求两平面的交线 确定两平面的两个共有点。确定两平面的两个共有点。 确定一个共有点及交线的方向。确定一个共有点及交线的方向。 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。判别可见性。直线与特殊位置平面相交判别直线的可见性特殊位置直线与普通位置平面相交VHPCBAPHacb3.2.1直线与特殊位置平面相交直线与特殊位置平面相交FEkefkacebfafecbkk交点的一个投影是平面积聚性投影与直线的同面投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。 判别直线的可见性判别直线的可见性VHPCBAFEPHacebfkkacebfkafecbk利用

10、积聚性直接判别出可见性例例1 1 求直线求直线MNMN与平面与平面ABCABC的交点的交点K K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析: 求交点求交点 判别可见性判别可见性 由程度投影可知，由程度投影可知，KNKN段在平面前，故正面投影段在平面前，故正面投影上上k kn n为可见。为可见。 还可经过重影点还可经过重影点判别可见性。判别可见性。 平面为特殊位置平面为特殊位置abcmncnbamkk1 1(2 (2) )2 21 1X X 平面平面ABC是一铅垂面，是一铅垂面，其程度投影积聚成一条直其程度投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mn的交点即的交点即为为K点的程度投

11、影。点的程度投影。 km(n)bmncbaac直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析: 直线直线MNMN为铅垂线，其为铅垂线，其程度投影积聚成一个点，程度投影积聚成一个点，故交点故交点K K的程度投影也积聚的程度投影也积聚在该点上。在该点上。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在位于平面上，在前，点前，点位于位于MNMN上，在后，上，在后，故故k k1 1为不可见。为不可见。k2 2 1 11 1 (2(2 ) )X X( )k21k21例2 求铅垂线EF与普通位置平面ABC的交点并判别其可见性。 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题，由于特殊位置

12、平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。 1.求交线 2.判别平面的可见性MmnlacbPPHABCFKNLkfnlmmlnbaccabfkfk 判别平面的可见性abcdefcfdbeam(n)例例3 3 求两平面的交线求两平面的交线, MN, MN并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析：空间及投影分析： 求交线求交线 判别可见性判别可见性 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABCABC在在上，其程度投影可见。上，其程度投影可见。mn 平面平面ABCABC与与DEFDEF都为都为 正正垂面，它们的交线为一条垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影正

13、垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投的交点即为交线的正面投影，交线的程度投影垂直影，交线的程度投影垂直于于OXOX轴。轴。 还可经过重影点判别可见性a abd(e)ebdh(f)cfchmn空间及投影分析：空间及投影分析： 平面平面DEFHDEFH是一铅垂面，是一铅垂面，它的程度投影有积聚性，其它的程度投影有积聚性，其与与acac、bcbc的交点的交点m m 、n n 即为即为两个共有点的程度投影，故两个共有点的程度投影，故mnmn即为交线即为交线MNMN的程度投影。的程度投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MCMC上，点上，点在在FHFH上，点上，点在前，点在前，点在后

14、，在后，故故m mc c 可见。可见。作图作图X X211(2)1(2)mnbcdefabacdef投影分析投影分析 N N点的程度投影点的程度投影n n位于位于def def 的外面，阐明点的外面，阐明点N N位于位于DEFDEF所确定的平面所确定的平面内，但不位于内，但不位于DEFDEF这个这个图形内。图形内。 所以所以ABCABC和和DEFDEF的的交线应为交线应为MKMK。mkknn 求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图mDEF的正面投影积聚的正面投影积聚以正垂面为辅助平面求线面交点 表示图以铅垂面为辅助平面求线面交点 表示图判别可见性 表示图1 12 2QV2 21 1kk步骤

15、：步骤：1过过EF作正作正垂平面垂平面Q。2求求Q平面与平面与ABC的交线的交线。3求交线求交线与与EF的交的交点点K。表示图以正垂面为辅助平面求直线以正垂面为辅助平面求直线EFEF与与ABCABC平面的交点平面的交点ABCQ过过EF作正垂面作正垂面QEF以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点 表示图表示图PH步骤：步骤：1过过EF作铅作铅垂平面垂平面P。2求求P平面与平面与ABC的交线的交线。3求交线求交线与与EF的交的交点点K。kk 表示图以铅垂面为辅助平面求直线以铅垂面为辅助平面求直线EFEF与与ABCABC平面的交点平面的交点2211过过EF作铅垂面作铅垂面P以铅垂面

16、为辅助平面求线面交点以铅垂面为辅助平面求线面交点 表示图表示图FCABPEFKEfee直线直线EF与平面与平面 ABC相交，判别可见性。相交，判别可见性。利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性14kk4 3表示图表示图( )1322( )1 (2)(4)3利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性直线直线EF与平面与平面 ABC相交，判别可见性。相交，判别可见性。 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 其作图方法可以有:1.利用求普通位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。2.用三面共点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两普通位置平面相交求

17、交线判别可见性两普通位置平两普通位置平面相交，求交面相交，求交线步骤：线步骤：1用求直线用求直线与平面交点的与平面交点的方法，作出两方法，作出两平面的两个共平面的两个共有点有点K、E。llnmmnPVQV1221kkee2衔接两个衔接两个共有点，画出共有点，画出交线交线KE。表示图表示图求两平面的交线求两平面的交线两普通位置平面相交求交线的方法两普通位置平面相交求交线的方法 表示图表示图 利用求普通位置利用求普通位置线面交点的方法找出线面交点的方法找出交线上的两个点，将交线上的两个点，将其连线即为两平面的其连线即为两平面的交线。交线。MBCAFKNL利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性两平

18、面相交，判别可见性两平面相交，判别可见性3 3 4 4 ( )3 4 3 4 2 21 1( )1 1 2 2ADCBELKF用三面共点法解题用三面共点法解题 表示图表示图T1T2T1VT2Vlkdcafeblkdcafeb1212 投影图投影图例例5 5试过试过K K点作不断线平行于知平面点作不断线平行于知平面ABCABC，并与直线，并与直线EFEF相相交交 。综合性问题解法 综合性问题解法 综合性问题解法 过知点过知点K作平面作平面P平行于平行于 ABC；直线；直线EF与平面与平面P交于交于H；衔接衔接KH，KH即为所求。即为所求。FPEKHmnhhnmPV11221过点过点K作平面作平面

19、KMN/ ABC平面。平面。2求直线求直线EF与平面与平面KMN的交点的交点H 。3衔接衔接KH，KH即即为所求。为所求。VHPAKLDCBE几何条件：假设不断线垂直于一平面，那么必垂直于属于该几何条件：假设不断线垂直于一平面，那么必垂直于属于该平面平面 的一切直线。的一切直线。定理定理1 1：假设不断线垂直于一平面、那么直线的程度投影必垂直：假设不断线垂直于一平面、那么直线的程度投影必垂直于属于属 于该平面的程度线的程度投影；直线的正面投影于该平面的程度线的程度投影；直线的正面投影必垂直必垂直 于属于该平面的正平线的正面投影。于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdc

20、beeknknXO定理定理2 2：假设不断线垂直于属于平面的程度线的程度投影；直：假设不断线垂直于属于平面的程度线的程度投影；直线线逆逆 的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、那么那么 直线必垂直于该平面。直线必垂直于该平面。acacnnkfdbdbfkVPAKLDCBEHXOacacnnmfdbdbfmhhhhhhkkSVkkPVkkQHefemnmncaadbcdbfXO几何条件：假设不断线垂直于一定平面，那么包含这条直线几何条件：假设不断线垂直于一定平面，那么包含这条直线的所的所 有平面都垂直于该平面。有平面都垂直于该平面。PAB 反之，

21、两平面相互垂直，那么由属于第一个平面的恣意反之，两平面相互垂直，那么由属于第一个平面的恣意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。AB两平面垂直两平面垂直两平面不垂直两平面不垂直ABghacachkkfdbdbfgXOghachackkbbgffdd结论：两平面不垂直结论：两平面不垂直XO求解综合问题主要包括：求解综合问题主要包括： 平行、相交、及垂直等问题偏重于探求每一个单个平行、相交、及垂直等问题偏重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实践问题是综合问题的投影特性、作图原理与方法。而实践问题是综合性的，涉及多项内容，需求多种作图方法

22、才干处理。性的，涉及多项内容，需求多种作图方法才干处理。综合问题解题的普通步骤：综合问题解题的普通步骤： 1. 分析题意分析题意 2. 明确所求结果，找出解题方法明确所求结果，找出解题方法 3. 拟定解题步骤拟定解题步骤空间几何元素的定位问题交点、交线空间几何元素的定位问题交点、交线空间几何元素的度量问题如间隔、角度空间几何元素的度量问题如间隔、角度。cghefdcefghdXO 所求得直线所求得直线AB一定在平行于一定在平行于CD的平面上，并且与的平面上，并且与交叉直线交叉直线EF、GH相交。相交。ABCDHGEFkkcghefdcefghdXOPV1122aabbEQFAK2 211 12

23、 22 21 1aefafe1 12 2PVkk度量问题度量问题是处理间隔和角度的度量问题，主要根底是根据是处理间隔和角度的度量问题，主要根底是根据 直角投影定理作平面的垂线或直线的垂面，并求直角投影定理作平面的垂线或直线的垂面，并求 其实长或实形。其实长或实形。 1.1.间隔的度量间隔的度量点到点之间的间隔点到点之间的间隔. 求二点之间线段的实长直角三求二点之间线段的实长直角三 角形法。角形法。 点到直线之间的间隔点到直线之间的间隔. 过点作平面垂直于直线，求出垂过点作平面垂直于直线，求出垂 足，再求出点与垂足之间的线段足，再求出点与垂足之间的线段 实长。实长。 点到平面之间的间隔点到平面之

24、间的间隔. 过点作平面的垂线，求出垂足，过点作平面的垂线，求出垂足， .再求出点与垂足之间的线段实长。再求出点与垂足之间的线段实长。 直线与直线平行之间的间隔直线与直线平行之间的间隔直线与交叉直线之间的间隔直线与交叉直线之间的间隔直线与平面平行之间的间隔直线与平面平行之间的间隔平面与平面平行之间的间隔平面与平面平行之间的间隔过不断线上任一点作另不断线的垂线，余下方法同点到直过不断线上任一点作另不断线的垂线，余下方法同点到直线的间隔。线的间隔。包含不断线作一平面平行于另不断线，在另不断线上任取包含不断线作一平面平行于另不断线，在另不断线上任取一点，过点作平面的垂线，求出垂足，再求出点与垂足之一点

25、，过点作平面的垂线，求出垂足，再求出点与垂足之间的线段实长。间的线段实长。 过直线上任一点作平面的垂线。方法同点到平面的间隔。过直线上任一点作平面的垂线。方法同点到平面的间隔。 过一平面上任一点作另一平面的垂线。余下方法同点到平过一平面上任一点作另一平面的垂线。余下方法同点到平面的间隔。面的间隔。 PQPPDBPPBPKAKALCKLLABKLABKCDELFcabcabXOPABCK 过过C点作直线点作直线AB的垂线的垂线CK一定在过一定在过C点并且与点并且与AB垂直垂直的平面的平面P内，过内，过C点作一平面与直线点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与垂直，求出该平面与AB的交点的交点K，最后求出垂线，最后求出垂线CK的实长即为所求。的实长即为所求。cabcabXOeded1212kk所求间隔所求间隔PVcabcabXOeded1212kk所求间隔所求间隔PVdd 作出垂线作出垂线后，用辅助平后，用辅助平面法求出垂线面法求出垂线与平与平面的交点即面的交点即垂足，再用垂足，再用直角三角形法直角三角形法求出线段的实求出线段的实长即可。长即可。 hfeb mbacach所求间隔所求间隔 MK实长实长kkXOefmccababXOddLKABDCGHEFP 过一条直线过一条直线