第一章流体的运动

1、物理教研室物理教研室物质常见的存在状态是固态、液态和气态，处在物质常见的存在状态是固态、液态和气态，处在这三种状态下的物质分别称为固体、液体和气体。这三种状态下的物质分别称为固体、液体和气体。通常说能流动的物质为流体，液体和气体易流动，通常说能流动的物质为流体，液体和气体易流动，我们把液体和气体称之为流体。流体显然不能保我们把液体和气体称之为流体。流体显然不能保持一定的形状，即具有流动性。持一定的形状，即具有流动性。流体力学在工程技术中有着非常广泛的应用。在流体力学在工程技术中有着非常广泛的应用。在能源、化工、医药、环保、机械、建筑（给排水、能源、化工、医药、环保、机械、建筑（给排水、暖通）等

2、工程技术领域的设计、施工和运行等方暖通）等工程技术领域的设计、施工和运行等方面都涉及到流体力学问题。面都涉及到流体力学问题。物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室物理教研室流体静力学流体静力学 理想流体理想流体 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用牛顿粘性定律牛顿粘性定律 粘性流体的运动粘性流体的运动泊肃叶定律斯托克斯定律泊肃叶定律斯托克斯定律物理教研室物理教研室第一节第一节 流体静力学流体静力学一、静止流体内部的压强一、静

3、止流体内部的压强hAB1P S2P S物理教研室物理教研室例题例题1-1 16431-1 1643年意大利的托里拆里（年意大利的托里拆里（TorricelliTorricelli）用它发明的用它发明的水银气压计测量了大气压水银气压计测量了大气压。先将一端。先将一端封闭的长玻璃管充满水银，然后倒放于盛水银的封闭的长玻璃管充满水银，然后倒放于盛水银的槽中，管内水银面下降到一定程度即停止，留下槽中，管内水银面下降到一定程度即停止，留下的空间除水银蒸气外没有其它气体。在常温下水的空间除水银蒸气外没有其它气体。在常温下水银蒸气压可忽略。银蒸气压可忽略。量得水银柱高量得水银柱高76cm,76cm,求大气压

4、求大气压。P1已知已知h求求P0=?物理教研室物理教研室解：解： 管内与槽内水银面等高点管内与槽内水银面等高点2 2处压强为处压强为 P P2 2=P=P0 0( (大气压大气压) )1P = 水银蒸气压0021P =P =P + gh= gh 45a=1.36 109.80 0.76=1.013 10 PP1物理教研室物理教研室标准大气压标准大气压物理教研室物理教研室二、液体的表面张力二、液体的表面张力re是分子间的有效作用距离是分子间的有效作用距离表表面面层层物理教研室物理教研室内部分子：合引力为零表面分子：表面分子：指向液体内部的合外力指向液体内部的合外力液体内分子间的作用力液体内分子间

5、的作用力物理教研室物理教研室表面张力表面张力液体表面向内收缩的力液体表面向内收缩的力表面张力的方向处处与液面相切表面张力的方向处处与液面相切表面能表面能表面层中分子间的相互作用势能表面层中分子间的相互作用势能液体尽量减小它的表面积而使表面能为最小液体尽量减小它的表面积而使表面能为最小例如：小水滴、小水银滴以及肥皂泡都呈球状，例如：小水滴、小水银滴以及肥皂泡都呈球状，球体的面积最小球体的面积最小物理教研室物理教研室,.lflll液面任取长 一段表面 张力 为 两侧液面间相互拉力方向与 垂直 大小与 成正比液体表面张力系数液体表面张力系数lff表示单位长度直线两侧液面的拉力表示单位长度直线两侧液面

6、的拉力,单位单位:1N m物理教研室物理教研室从作功角度定义表面张力系数从作功角度定义表面张力系数ABfl设金属框宽度为设金属框宽度为 , ,维持维持ABAB静止的力静止的力 与表面张力与表面张力大小相等而方向相反大小相等而方向相反, ,由于由于液膜有两个表面，所以液膜有两个表面，所以lf2flxSxlxfA2AS表面张力系数表面张力系数,等于增大液体单位表面积时等于增大液体单位表面积时,外力所外力所做的功做的功物理教研室物理教研室ES由于外力所做的功由于外力所做的功,完全用于克服表面张力而增加液完全用于克服表面张力而增加液膜的表面能膜的表面能E,所以所以表面张力系数表面张力系数, ,等于增大

7、液体单位表面积时等于增大液体单位表面积时, , 所增加所增加的表面能的表面能( (表面层内分子间的相互作用势能表面层内分子间的相互作用势能) )表面张力系数与温度的关系密切，随着温度升高几表面张力系数与温度的关系密切，随着温度升高几乎是线性地减小乎是线性地减小.同时同时,同种液体与不同物质接触时的同种液体与不同物质接触时的表面张力系数也不一样表面张力系数也不一样.物理教研室物理教研室物质物质t/(10-3Nm-1)物质物质t/(10-3Nm-1)水水1074.2酒精酒精20222072.8氯仿氯仿2027.13071.2苯苯2028.85067.9甘油甘油2065 表表1-1 液体的表面张力系

8、数液体的表面张力系数物理教研室物理教研室图图1-6 接触角接触角 物理教研室物理教研室玻璃板上小水银滴呈球状玻璃板上小水银滴呈球状; ; 玻璃板上放一滴水玻璃板上放一滴水, ,水滴水滴会附着在玻璃板上会附着在玻璃板上接触角接触角 : :在液体与固体相接触处，液面和固体表在液体与固体相接触处，液面和固体表面的切面间的夹角面的切面间的夹角. .液体润湿固体和液体不润湿固体液体润湿固体和液体不润湿固体9090900 0-液体液体不润湿固体不润湿固体； =0-=0-完全润湿完全润湿； =- =- 完全不润湿完全不润湿物理教研室物理教研室内聚力内聚力: :液体表面层中的分子受到液体分子的作用液体表面层中

9、的分子受到液体分子的作用 力称内聚力力称内聚力附着力附着力: :受固体表面分子的作用力称附着力受固体表面分子的作用力称附着力内聚力和附着力都是吸引力。当内聚力和附着力都是吸引力。当内聚力大于附着内聚力大于附着力时，液体分子受到一个指向液体内部的力，液力时，液体分子受到一个指向液体内部的力，液面有收缩的趋势面有收缩的趋势, ,使液体不能润湿固体使液体不能润湿固体. .反之，流反之，流体湿润固体。体湿润固体。接触角是由内聚力与附着力共同作用决定的接触角是由内聚力与附着力共同作用决定的物理教研室物理教研室例题例题1-2 1-2 试求当许多半径为试求当许多半径为r r的小水滴溶合成一个半的小水滴溶合成

10、一个半径为径为R R的大水滴时释放出的能量假设水滴呈球状，的大水滴时释放出的能量假设水滴呈球状，水的表面张力系数在此过程中保持不变水的表面张力系数在此过程中保持不变解解设小水滴的数目为设小水滴的数目为N N，溶合过程中释放出的能量为，溶合过程中释放出的能量为水滴表面积减小时所减小的表面能由于溶合前后水滴表面积减小时所减小的表面能由于溶合前后水滴的总体积保持不变，则水滴的总体积保持不变，则3333,3434rRNRNrES释放出的能量等于水滴表面积的减小量与表面张释放出的能量等于水滴表面积的减小量与表面张力系数的乘积，即力系数的乘积，即22(44)Er NR24(1)RRr物理教研室物理教研室d

11、f1df2dfrROC如图如图,球的半径为球的半径为R,取一段小球面取一段小球面,边界是半径为边界是半径为r的圆的圆维持这一部分液面平维持这一部分液面平衡的有两个力衡的有两个力: 一个是液面内外一个是液面内外压强差引起的作用于压强差引起的作用于这部分液面的力这部分液面的力 ,沿竖直方向沿竖直方向; 另一个是通过边另一个是通过边界作用于液面的表面界作用于液面的表面张力张力,它处处与边界垂它处处与边界垂直并与边界相切直并与边界相切三、球形液面内外的压强差三、球形液面内外的压强差P2p r物理教研室物理教研室根据平衡条件根据平衡条件:dl作用在边界上一段微元 上的表面张力为dfdl1sindfdl2

12、cosdfdl21122sin2rrfdfrrRR 21fp r 含义含义:球形液面内外的球形液面内外的压强差与液体表面张压强差与液体表面张力系数成正比力系数成正比,与球面与球面半径成反比半径成反比.适用于凸适用于凸液面液面,对凹液面对凹液面:()PP外内物理教研室物理教研室液体润液体润湿管壁湿管壁管内液管内液面升高面升高液体不液体不润湿管润湿管壁管内壁管内液面将液面将下降下降四、毛细现象四、毛细现象毛细管毛细管：内径很小的管子。内径很小的管子。毛细现象毛细现象：将毛细管插入液体中，管子内外：将毛细管插入液体中，管子内外的液面不等高的现象的液面不等高的现象物理教研室物理教研室设毛细管半径为，管

13、内液面近似半径为圆形，液设毛细管半径为，管内液面近似半径为圆形，液面内面内A点压强与液面外大气压的差值点压强与液面外大气压的差值02AppR 0CBpppBAppgh2hgRcosrRABC0PROh湿润液体的毛细现象湿润液体的毛细现象物理教研室物理教研室在液体不润湿管壁的情况下，液面的高度在液体不润湿管壁的情况下，液面的高度差仍能用上式表示差仍能用上式表示接触角为钝角，接触角为钝角， h为负值，表示管内为负值，表示管内的液面比管外的的液面比管外的低低h不湿润液体的毛细现象不湿润液体的毛细现象物理教研室物理教研室五、表面活性物质五、表面活性物质使液体表面张力减小的性质。使液体表面张力减小的性质

14、。能够增加液体表面张力系数的物质能够增加液体表面张力系数的物质水的表面非活性物质常见的有氧化钠、糖类、淀粉等。水的表面非活性物质常见的有氧化钠、糖类、淀粉等。表面非活性物质表面非活性物质表面活性表面活性表面活性物质表面活性物质能够降低液体表面张力系数的物质能够降低液体表面张力系数的物质水的表面活性物质有胆盐、蛋黄素、肥皂等。水的表面活性物质有胆盐、蛋黄素、肥皂等。物理教研室物理教研室溶质分子占据溶质分子占据表面层表面层降低表面降低表面张力系数张力系数表面非活性物质表面非活性物质离开液体表面层离开液体表面层增加表面增加表面张力系数张力系数溶剂溶剂对对溶质溶质分子引力分子引力小于溶剂小于溶剂分子分

15、子 间间引力引力溶剂溶剂对对溶质溶质分子引力分子引力小于溶质小于溶质分子分子 间间引力引力表面活性物质表面活性物质溶质分子溶质分子溶剂分子溶剂分子 溶剂分子溶剂分子 表面非活性物质表面非活性物质溶质分子溶质分子 表面活性物质溶入液体表面活性物质溶入液体非表面活性物质溶入液体非表面活性物质溶入液体物理教研室物理教研室吸附吸附气体或液体分子附着在固体表面的现象叫吸附气体或液体分子附着在固体表面的现象叫吸附 固体的吸附能力与它的表面积成正比，但随温度的增固体的吸附能力与它的表面积成正比，但随温度的增加而减弱。加而减弱。 多孔性和粉状的物质表面面积大，吸附能力强，在医多孔性和粉状的物质表面面积大，吸附

16、能力强，在医药上常用粉状的白陶土或活性炭来吸附胃肠道中的细菌、药上常用粉状的白陶土或活性炭来吸附胃肠道中的细菌、色素以及食物分解出来的毒素等。色素以及食物分解出来的毒素等。表面活性剂表面活性剂 在药物制剂中，具有很强的表面活性、能使液体的表在药物制剂中，具有很强的表面活性、能使液体的表面张力显著下降的物质叫做表面活性剂。表面活性剂具有面张力显著下降的物质叫做表面活性剂。表面活性剂具有增溶、乳化、润湿、去污、杀菌、消泡、起泡等用途。增溶、乳化、润湿、去污、杀菌、消泡、起泡等用途。 物理教研室物理教研室可压缩性可压缩性(compressibility)：在一定的温度下，实际流：在一定的温度下，实际

17、流体的体积随压强升高而缩小的性质称为流体的可压缩体的体积随压强升高而缩小的性质称为流体的可压缩性。实验指出，液体的可压缩性比较小，气体的可压性。实验指出，液体的可压缩性比较小，气体的可压缩性比液体大得多。缩性比液体大得多。黏性黏性(viscosity)： 黏性是流体黏性是流体抵抗剪切变形抵抗剪切变形的一种属性。的一种属性。它表现为运动着的流体中速度不同的流层之间存在着它表现为运动着的流体中速度不同的流层之间存在着沿切向的黏性阻力（即内摩擦力）。沿切向的黏性阻力（即内摩擦力）。物理教研室物理教研室实际流体都是具有黏性的和可压缩性的。实际流体都是具有黏性的和可压缩性的。不可压缩和不具有黏性的流体称

18、为理想流体不可压缩和不具有黏性的流体称为理想流体，这是客观世界上并不存在的一种假想的流体。这是客观世界上并不存在的一种假想的流体。黏性较小的液体和在流动过程中几乎没有被压黏性较小的液体和在流动过程中几乎没有被压缩的气体都可以视为理想流体。缩的气体都可以视为理想流体。理想流体理想流体(ideal fluid)： 绝对不可压缩的、完全没有黏性的流体。绝对不可压缩的、完全没有黏性的流体。物理教研室物理教研室流速只是空间的函数，不随时间改变：流速只是空间的函数，不随时间改变：( , , )f x y zv研究流体力学的方法有两种：研究流体力学的方法有两种：拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）法和欧拉

19、（）法和欧拉（Euler）法。）法。拉格朗日方法又称随体法，是在液体中任取一些小质元拉格朗日方法又称随体法，是在液体中任取一些小质元,来跟踪每一个质元在任一时刻的位置。来跟踪每一个质元在任一时刻的位置。欧拉法，又称局部法，不去跟踪每一个小质元的运动过欧拉法，又称局部法，不去跟踪每一个小质元的运动过程程,而是研究液体的一些物理量在任一时刻的空间分布而是研究液体的一些物理量在任一时刻的空间分布. 即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。我们采用欧拉法。变化规律。我们采用欧拉法。1、定常流动、定常流动物理教研室物理教研室流线：空间曲线

20、，曲线上任何一点的切线方向都与流体流线：空间曲线，曲线上任何一点的切线方向都与流体通过该点时的速度方向一致。通过该点时的速度方向一致。注意：流线不能相交，流线不随时间改变。注意：流线不能相交，流线不随时间改变。2 、流线流线(streamline)和流管和流管(stream tube)12vv物理教研室物理教研室流管：如果在运动的流体中标出一个横截面，那么流管：如果在运动的流体中标出一个横截面，那么经过横截面周界的流线就组成一个管状体，这个管经过横截面周界的流线就组成一个管状体，这个管状体就称为流管。状体就称为流管。v1S1v2S2流体作定常流动时，空间每一点的流速都与该点的流线流体作定常流动

21、时，空间每一点的流速都与该点的流线相切，所以，流管中的流体只能在流管中流动而不能流相切，所以，流管中的流体只能在流管中流动而不能流出管外，流管外的流体也不能流进流管内。出管外，流管外的流体也不能流进流管内。物理教研室物理教研室体积流量和重量流量体积流量和重量流量： 单位时间内通过某流管内任意横截面的流体的体积单位时间内通过某流管内任意横截面的流体的体积和重量叫和重量叫体积流量体积流量Q（m3/s ）和重量流量和重量流量（N/s）1 122 SS即：vv001 122SSSvvv流管有分支时：流管有分支时：由此可定义由此可定义平均流速平均流速： 通过横截面面积为通过横截面面积为S处的流量为处的流

22、量为Q，则该横截面处的，则该横截面处的 平均流速为：平均流速为：v=Q/s流量方程：流管上两个截面处的流量相等：流量方程：流管上两个截面处的流量相等： 3121122Q =Q G = Q = Q =G ( = g-N/m ) 流体的重度流体的连续性方程流体的连续性方程物理教研室物理教研室例例 讨论在制药厂中，当流量固定时，要想确定讨论在制药厂中，当流量固定时，要想确定管道中管径的大小，如何来选取流体管道中管径的大小，如何来选取流体流速流速。Q Q=S =S解解：2 S=d422QQ =0.785dd4Qor d=0.79物理教研室物理教研室 流量一定，流速大流量一定，流速大管径小管径小，阻力大

23、，阻力大，增加能耗增加能耗；减小流速，要减小流速，要增大管径增大管径会导致会导致设备投资增大设备投资增大， 密度大的流体流速应取小些，对黏滞性的液体其密度大的流体流速应取小些，对黏滞性的液体其流流 速不宜选得太低。速不宜选得太低。 一般液体，一般液体，取值取值1.51.53 3米米/ /秒；秒； 黏滞性大的液体黏滞性大的液体，取值，取值0.50.51 1米米/ /秒秒； 低压气体低压气体，取值，取值8 81515米米/ /秒秒； 饱和蒸汽饱和蒸汽，取值，取值20203030米米/ /秒秒。vQd79.0 物理教研室物理教研室研究在研究在 t 时刻时刻S1S2之间的之间的流体：流体：1S2SP1

24、P2h1h2时间后时间后t1122 SSSS可对这两小块流体可对这两小块流体应用应用功能原理。功能原理。v1S1v2S2物理教研室物理教研室2222111122kpEEEmvmghmvmgh 121 112 22()()AAAp s vtp s vt整理后：整理后：AE221112221122vghpvghp上式就是伯努利方程上式就是伯努利方程(Bernoulli equation), 它表示：它表示：同一流管的不同截面处，单位体积内流体的同一流管的不同截面处，单位体积内流体的动能、势能与该处的压强之和是常量。动能、势能与该处的压强之和是常量。2constan2t1vghp如，具体对水平流管有

25、：如，具体对水平流管有：2211221122vpvp物理教研室物理教研室伯努利方程伯努利方程适用条件适用条件为：为： (1)(1)理想流体、稳定流动；理想流体、稳定流动； (2)(2)只适用于同一个细流管。只适用于同一个细流管。212vghP 恒量（1-15）将式将式(1-15)中各项除以流体的中各项除以流体的重度重度 得伯努得伯努利方程的另一种表示式利方程的另一种表示式22vPhg 恒量（1-16）()g物理教研室物理教研室smvddvddvSSv/164)01. 002. 0(414121221122211212 253223522122122222211/103 . 2510104161

26、0211042121021mNghvvPPghvPvP 例例1 1 水管内水的压强为水管内水的压强为4 410105 5N/mN/m2 2。流速为。流速为4m/s4m/s，从内，从内径为径为20mm20mm的管子流到的管子流到5m5m高的高位水槽内，在槽入口处水高的高位水槽内，在槽入口处水管内径为管内径为10mm,10mm,求流入槽时水的流速及压强各为多少求流入槽时水的流速及压强各为多少? ?解：由连续性方程得流入槽时水的流速解：由连续性方程得流入槽时水的流速为为:如关闭入口阀门？如关闭入口阀门？物理教研室物理教研室1 1 水平管水平管2 2 空吸作用空吸作用(suction)，水流抽水机，水

27、流抽水机3 3 汾丘里流量计汾丘里流量计( (Venturimeter) )4 4 流速计流速计( (tachometer) )5 5 虹吸管虹吸管(siphon)物理教研室物理教研室水水空气空气水和空气水和空气水流抽气机水流抽气机1222122ghQS SSSh1h2h12S1S2汾丘里流量计汾丘里流量计物理教研室物理教研室h1h2h12S1S22211221122vPvP1222212 PPvv1212SvvS212122122SPPvSS212211221PPSvS1212PPg hhgh1222122ghvSSS1 11222122ghQS vS SSS物理教研室物理教研室 12122

28、121hhgPPv 1212vg hh211212vPP20v 图图1-17流速计流速计物理教研室物理教研室hh1h2液体液体2vgh流速计：皮托管测量液体和气体的流速流速计：皮托管测量液体和气体的流速2ghvh气体气体气体密度液体密度物理教研室物理教研室12例例1 已知：水平管中已知：水平管中液体密度液体密度330.90 1/0 kg m1 1处：处：1106mm11.00m/sv 511.17610 Pap 2 2处：处：268mm求：求：2 2处的流速和压强。处的流速和压强。由连续性方程可得：由连续性方程可得：22112244d vd v计算可得计算可得:22.43m/sv 水平管，应用

29、伯努利方水平管，应用伯努利方程程2211221122vpvp可求得可求得2 2处压强：处压强：521.15 10 Pap 解解物理教研室物理教研室vxx x+dxvv+dv管壁由于由于黏性力黏性力(viscous force)，管内流体速度呈，管内流体速度呈速度梯度速度梯度(velocity gradient)分布：距管轴越远，速度梯度越大。分布：距管轴越远，速度梯度越大。 轴内摩擦力黏滞性物理教研室物理教研室vxx x+dxvv+dv管壁 轴在x方向上，相距dx的两液层之间的速度差为dv，dv/dx表示在垂直于流速方向上单位距离的液层之间的速度差，称为速度梯度。实验表明，黏性力实验表明，黏性

30、力与其分与其分布的面积布的面积S、与该处的速度梯、与该处的速度梯度成正比度成正比：fdvSdx牛顿黏性定律牛顿黏性定律(Newton viscosity law) 为为黏黏度系数度系数, 单位单位Pas.物理教研室物理教研室黏度（黏度系数）2aSI: 1P=dyn s/cm =0.1P s非单位,和流体的种类和温度有关 液体的 随温度增加而减小气体 随温度增加而增加表示两流体层相距米，速度差为米秒，沿表示两流体层相距米，速度差为米秒，沿流层米流层米面积上，受到牛顿的内摩擦力的流面积上，受到牛顿的内摩擦力的流体和黏度的量值体和黏度的量值/fSdvdx物理教研室物理教研室4.实际流体的伯努利方程实

31、际流体的伯努利方程 wgZPghvPghv 222211212121WgZ (1-12)图图1-21 沿水平管中实际流体的压强变化沿水平管中实际流体的压强变化 ZW式中式中 为为损失能损失能，表示单位体积的实际流体，表示单位体积的实际流体在流动过程中克服阻力所做的功。在流动过程中克服阻力所做的功。 物理教研室物理教研室12h1如图，水通过直径为如图，水通过直径为20.0cm的管子从塔底的管子从塔底部流出，塔内水位高出出水口部流出，塔内水位高出出水口25.0m，并，并维持其水位不变。已知管路中的沿程能量维持其水位不变。已知管路中的沿程能量损失和局部能量损失之和为损失和局部能量损失之和为24.5m

32、H2O。求每小时有管口排出的水量。求每小时有管口排出的水量。解解每小时流量：每小时流量：21212ghvw212 ()wvg hg29.8(2524.5)3.13 (m/s)粘性流体的定常流动。对图中粘性流体的定常流动。对图中1 1、2 2两处有：两处有：h2=0, =0, v1v2, p1=p2=p233240.0983m /s=354m /hQD v物理教研室物理教研室粘性流体在管中各流层之间仅作相对滑动而不混合，粘性流体在管中各流层之间仅作相对滑动而不混合，叫叫层流层流(laminar flow)。当层流被破坏，各个流层混淆，。当层流被破坏，各个流层混淆，甚至可能出现涡漩，叫甚至可能出现

33、涡漩，叫湍流湍流(turbulent)。ABCD物理教研室物理教研室通常用通常用雷诺数雷诺数(Reynolds number)来确定流体来确定流体的流动形态是层流还是湍流：的流动形态是层流还是湍流：evrR1000eR 层流层流1500eR 湍流湍流10001500eR过渡流过渡流由层流转变为湍流不仅与由层流转变为湍流不仅与平均速度平均速度v有关，对于圆形管有关，对于圆形管道，还与道，还与流体的密度流体的密度、管道的管道的半径半径r和流体的和流体的黏度黏度有有关。关。物理教研室物理教研室不可压缩的不可压缩的牛顿黏性牛顿黏性流体流体在均匀水平管中在均匀水平管中作定常流动时，如果作定常流动时，如果雷诺数不大，流动的雷诺数不大，流动的形态是层流，各流层形态是层流，各流层为从圆筒轴线开始，为从圆筒轴线开始，半径逐渐增大的半径逐渐增大的“薄皮薄皮”圆筒形。流速从轴线处圆筒形。流速从轴线处向外逐渐减小，在管壁向外逐渐减小，在管壁处为零。处为零。物理教研室物理教研室L1p2p小圆柱形流体小圆柱形流体元两端受力：元两端受力：212()Fppr小圆柱形流体元侧面小圆柱形流体元侧面受黏性力：受黏性力：2d