3x+1猜想的证明

1、3x+1 猜想的证明任取一个正整数， 如果这个数是偶数，则除以 2 的幂，使商为奇数；如果是奇数，则乘3 再加1，得到偶数。重复上述步骤，最后都会得到 1。这就是著名的 3x+1 猜想。我们定义一个奇数乘3 再加 1 得到偶数叫作奇数的偶化， 一个偶数除以 2 的幂得到奇数叫作偶数的奇化。 3x+1 猜想关键在于证明所有的奇数经过有限次的偶化和奇化后能不能得到 1 。因为任何偶数都可以经过一次除以 2 的幂得到奇数，即奇化，所以，只要证明了所有的奇数经过有限次的偶化和奇化后能得到 1，就是证明了 3x+1 猜想。我们把一个奇数经过一次偶化和奇化得到 1 叫作一次回归， 经过两次偶化和奇化得到1

2、叫作二次回归，以此类推，经过 n次偶 化和奇化得到 1 叫作 n 次回归。一次回归的数有1、5、21、85、341、。这个数列的通项公 式是：（22n-1）/3, n是大于等于1的正整数，递推公式是：an 1=4an+1。由一次回归的数可以生成二次回归的数， 而且可以生成无穷个二次回归的数列。例如由 5 生成的二次回归的数列是3、 13、 53、213、。这个数列的通项公式是：（5X22n1-1） /3, n是大于等于1 的正整数，递推公式是：an 1=4an+1o由85生成的二次回归的数列是113、453、1813、。这个数列的通项公式是：（85X22n-1） /3, n 是大于等于1 的正

3、整数，递推公式是： a n 1 =4a n +1。在一次回归的数中5、341、21845、都是3n+2型的数，它们都可以生成二次 回归的数列。数列的通项公式是：（26k 2-1） /3X22n1-1 /3, k、n 是大于等于1的正整数。当k为一个确定的数时会得到一个二次回归的无穷数列，这些无穷多个二次回归的无穷数列的递推公式都是：a n i=4an+1o在一次回归的数中 85、5461、349525、者B是3n+1型的数，它们也可以生成二次回归的数列。数列的通项公式是：（26k2-1） /3X22n-1 /3, k、n是大于等于1的正整数。当k为一个确定的数时， 会得到一个二次回归的无穷数列

4、。 这些无穷多个二次回归的无穷数列的递推公式都是： a n 1=4a n +1。在一次回归的数中21、1365、87381者B是3n型的数，即都是3的倍数，它们不能生成二次回归的数列， 因为 3 的倍数乘 2 的幂再减 1 不能被 3 整除。 以此类推，由二次回归的数可以生成三次回归的数列，这个过程可以一直持续下去。所有的奇数可以分为两类： 中间数和首项数。 中间数是指在某一回归次数的一个无穷数列中的非首项数，它们都是4n+1 型的数，并且n是奇数。因为只有n是奇数，它们才有前项数n,所以中间数的类型是（2n+1） 4+1=8n+5型。那么剩下的8n+1型、8n+3型、8n+7型的数就都是首项

5、数。8n+1 型的数可分为以下三种：24n+1 型、 24n+9型、24n+17 型；8n+3 型的数可分为以下三种：24n+3 型、24n+11型、24n+19 型；8n+7 型的数可分为以下三种：24n+7 型、24n+15型、24n+23型。其中24n+7型和24n+19型可合并为12n+7型，当n奇数时是24n+19型，当n偶数时是24n+7型。24n+11型和24n+23 型可合并为12n+11型，当n奇数时是24n+23型；当n偶数时是 24n +11型。所以所有的首项数又可以归纳为七种不同类型， 即：24n+1型、24n+3 型、24n+9 型、24n+15 型、24n+17 型

6、、12n+7 型和 12n+11在二次以上(包括二次)回归次数的首项数中，同一回归次数的首项数有一定的对应关系。具体对应关系如下：1、 12n 1+7 和 24n 2+1 对应，对应关系是： n 2 =16n 1 +10，它们 经过一次偶化和奇化后属于同一回归数列中间隔一项的两项。2、 12n 1+11 和 24n 2 +9对应，对应关系是： n 2 =16n 1 +15，它们 经过一次偶化和奇化后属于同一回归数列中间隔一项的两项。3、 24n 1+3 和 24n 2+17 对应，对应关系是： n 2=32n 1+4，它们 经过一次偶化和奇化后属于同一回归数列中间隔一项的两项。4、 24n 1

7、+15和 24n 2 +17对应，对应关系是： n 2 =32n 1 +20，它们 经过一次偶化和奇化后属于同一回归数列中间隔一项的两项。5、 24n 1+1 和 24n 2+3 对应，对应关系是： n 2=2n 1 ，它们经过一次偶化和奇化后属于同一回归数列中相邻的两项。6、 24n 1+9 和 12n 2+7 对应，对应关系是： n 2=4n 1 +1，它们经 过一次偶化和奇化后属于同一回归数列中相邻的两项。7、 24n 1+17 和 12n 2+11 对应，对应关系是： n 2=4n 1+2，它们 经过一次偶化和奇化后属于同一回归数列中相邻的两项。以第 3 种对应关系为例证明如下：(24

8、ni+3) M+1=72ni + 10, (72ni + 10)攵=36n1+5;(24n 2+17) +1=72n 2+52, (72n2+52) F=18nz+13；根据 n 2=32n 1+4 得：18n 2+13=18X （32n i+4） +13=576n i+85;而 36n 1+5经过两次乘4加 1 后也会得到576n 1+85。第一次：（36n1+5） X4+1 = 144n i+21;第二次：（144ni+21） 4+1=576ni+85o 得证。其它六种可仿此证明。1 可以看作是一次回归的无穷数列的首项数，它属于24n+1 型，但没有其它类型的首项数和它对应， 因此 1 是

9、特殊的首项数， 可称为 原始数。 3 和 113 是二次回归的前两个首项数，它们分别属于 24n+3 型和 24n+17 型。 24n 1+3 型和 24n 2+17 型对应，对应关系是：n 2=32ni+4, ni=0, n 2 =32 0+4=4。根据 24n i+17 和 12n 2+11 对应， 对应关系是：n 2 =4n 1 +2 ,可得当n 1 =4时，n 2 =44+2=18 ,即 12X18+11=227。所以 227 也是二次回归的首项数。12n-11和24n 2 +9 对应，对应关系是： n 2 =16n 1+15，可得当 n 1=18 时， n 2=16M8+15=303

10、 ,即 2403+9=7281 。所以 7281 也是二次回归 的首项数。 24n 1+9和 12n 2+7对应，对应关系是：n 2=4n 1+1，可得当 n 1=303 时，n 2=403+1 = 1213 ,即 12X1213+7=14563 。所以 14563也是二次回归的首项数。12n1+7和24n2+1对应，对应关系是： n 2=16n 1+10,可得当 n 1=1213 Bt, n 2 =16X1213+10=19418 ,即 24X19418+1=466033 。所以466033也是二次回归的首项数。当然 根据对应关系还可以得出其它的二次回归的首项数。 17 和 35 是三次 回

11、归的前两个首项数，它们分别属于24n+17型和12n+11型，24n+17 型和12n +11 型对应。 11 和 23是四次回归的前两个首项数，它们都属于 12n+11 型。 7和 15是五次回归的前两个首项数， 它们分别属于12n+7型和24n+15型。12n+7型和24n+1型对应，根据对应关系式n 2=16ni + 10 可得当 ni=0 时，n 2=10o 即 24X10+1=241 和 7 对应，也是五次回归的数。 24n+15 型和 24n+17 型对应，根据对应关系式n 2=32ni+20 可得当 ni=0 时，n 2 =20。即 24 20+17=497和 15 对应，也是五

12、次回归的数。根据以上1-5次回归的首项数的举例可知，除 24n 1+15 型的首项数外，其它六种类型的首项数在所有次数的回归数列中都出现。它们构成一个循环圈，而且首项数会越来越大。即使某一回归次数的首项数中出现24n 1+15 型的数，也会进入其它六种类型的首项数构成的循环圈里。在中间数 8n+5 中，当 n=3k+2 时，8n+5=8 (3k+2) +5=24k+21=3(8k+7) ，即是3 的倍数。所以，在中间数8n+5 中， 3 的倍数可表示为 24n+21。 24n+21 形式的数可称为开头数， 因为这些数不能生成比它们回归次数多的无穷数列。在同一回归次数的同一无穷数列中， 3 的倍

13、数是周期性出现的。证明如下：在某一回归次数的某一无穷数列中，首项数可表示为3k+i (0WiW2),即首项数除以3的余数是i (0WiW2)。根据同一回归次数的同一无穷数列的递推公式 an 1=4an+1 可得，第二项是4(3k+i )+ 1 = 12k+4i+1=3 (4k + i) + (i+1),即第二项除以 3 的余数是 i+1,余数比首项多 1。 第三项是 4(12k+4i +1) +1=48k+16i+5=3(16k+5i +1)+( i +2) ，即第三项除以3 的余数是i +2，余数比第二项多1。第四项 是 4(48k+16i+5) +1=192k+64i+21=3(64k+2

14、1i+7) +i ，即第四项除以 3 的余数是 i ，和首项数除以 3 的余数相同。这说明在所有的同一回归次数的同一无穷数列中， 各项除以 3 的余数是以 3 为周期循环出现的。在某一回归次数的某一无穷数列中，第i个开头数是24+21时，第i+1个开头数是24 (64q+56) +21,即有关系式：nr=64ni+56。证 明如下：根据同一回归次数的同一无穷数列的递推公式an 1=4an+1 可得，在某一回归次数的某一无穷数列中，第 i 个开头数后的第一项是4(24+21) +1=96n+85,第二项是 4 (96n+85) +1=3846+341,第三项是4(384ni+341) +1=15

15、36ni +1365。 这一项即是第i +1 个开头数，1536ni+1365=24(64ni+56) +21=24ni 1 +21， 即有关系式：ni 1=64ni+56，证明完毕。这说明在所有的同一回归次数的同一无穷数列中， 抽出所有的开头数可得到一个无穷数列，各项均可表示为24n +21，其中n 的递推公式是ni 1=64ni +56。比如在一次回归数列中抽出所有的开头数得到的无穷数列是21、1365、87381、。各项表示为24n+21,则”=0, n2=56, %=3640,。在二次回归的第一组无穷数列中抽出所有的开头数得到的无穷数列是 213、13653、873813、。各项表示为

16、24n+21,则”=8, =568, %=36408,；在二次回归的第二组无 穷数列中抽出所有的开头数得到 的无穷数列是 453、 29013、1856853、。各项表示为 24n+21,则1=18, n2 =1208, n3=77368,。在三次回归的第一组无穷数列中抽出所有的开头数 得到的无穷数列是 69、4437、283938、。各项表示为 24n+21, 则ni=2, n2=184, %=11832,；在三次回归的第二组无穷数列中 抽出所有的开头数得到的无穷数列是 141、9045、578901、。各 项表示为24n+21,则必=5,1=376, %=24120,。通过观察可以发现，二

17、次和三次回归数中开头数24n+21中n的值与一次回归数中开头数 24n+21中n的对应值有一定关系。关系如 下：1、二次回归的第一组数中开头数 24n+21中n的值等于一次回归 数中开头数24n+21中n的对应值的10倍加8。2、二次回归的第二组数中开头数 24n+21中n的值等于一次回归 数中开头数24n+21中n的对应值的854倍加18。3、三次回归的第一组数中开头数 24n+21中n的值等于一次回归 数中开头数24n+21中n的对应值的1%倍加2。4、三次回归的第二组数中开头数 24n+21中n的值等于一次回归 数中开头数24n+21中n的对应值的5%倍加5。二次回归的第一组关系中的倍数

18、 10除以2得5, 5是二次回归的 第一组无穷数列中的所有项经一次偶化再奇化后得到的数， 即一次回 归中的对应数，加数8是二次回归的第一组开头数的小值；二次回归 的第二组关系中的倍数854乘4得85, 85是二次回归的第二组无穷 数列中的所有项经一次偶化再奇化后得到的数， 即一次回归中的对应 数，加数18是二次回归的第二组开头数的 小值；三次回归的第一组关系中的倍数1%乘4得13,13是三次回归的第一组无穷数列中的所有项经一次偶化再奇化后得到的数，即二次回归中的对应数，加数 2 是三次回归的第一组开头数的ni值；三次回归的第二组关系中的倍数 5%乘8得53, 53是三次回归的第二组无穷数列中的

19、所有项经一次 偶化再奇化后得到的数，即二次回归中的对应数，加数5是三次回归 的第二组开头数的ni值。由此可以类推k次回归中的开头数 24n+21 的n值与一次回归中的开头数 24n+21的n的对应值也有一定关系， 即k次回归中的开头数24n+21的n值等于一次回归中的开头数24n+21的n的对应值的一定倍数加上k次回归中的开头数24n+21的 %值，这个倍数除以或者乘2的哥得到k次回归的无穷数列中的所有 项经一次偶化再奇化后得到的数，即k-1次回归的无穷数列中的对应 数。证明如下：首项数一共有七种类型，分别是 24n+1型、24n+17型、12n+7 型和 12n+11 型、24n+3 型、2

20、4n+9 型、24n+15 型。1、当以24n+1型的数为首项数时，它可以生成比它多一次的无 穷回归数列，生成的无穷回归数列的首项数是4 (24n+1) -1与=32n+1。下面分三种情况进行讨论。(1)、当 n=3k1 时，32n+1=32 (3匕)+1=96匕 + 1,后面第一项是4 (96左+1) +1=384+5,第二项是 4 (384左+5) +1 = 15364+21=3 (512+7),它是3的倍数。这个开头数是24 (64K) +21。它是第一个开头数，即n=64%,根据前面的规律，第二个开头数的n2=64(64匕)+56=4096ki+56=56 72k#1) +64七。24

21、n +1=24( 3k1)+1=72k#1, 和n2式中的倍数相同，符合前面总结的规律。(2)、当 n=3ki+1 时，32n+1=32(3ki+1)+1=96ki+33=3(32ki+11), 它虽是3的倍数但不是开头数而是首项数。它后面第一项是4(96ki+33) +1=384ki + 133,第二项是 4 (384+133) +1 = 1536/533, 第三项是 4 (1536%+533) +1=6144%+2133=3 (2048K+711),是 3 的 倍数。这个开头数是 24 (256+88) +21。它是第一个开头数，即 %=256左+88,根据前面的规律，第二个开头数的 n2

22、=64 (256+88) +56=16384k1+5688=56(288+100) + (256+88)。24n+1=24(3k#1) + 1=72K+25, (288K+100) F=72k+25,符合前面总结的规律。(3)、当 n=3k+2 时，32n + 1=32 (3K+2) +1=96%+65,后面第 一项是 4 (96+65) +1=384k1+261=3 (128+87),它是 3 的倍数。 这个开头数是24 (16%+10) +21,它是第一个开头数，即5=16%+10, 根据前面的规律，第二个开头数的n2 =64 ( 16月+10 ) +56=1024k1+696=56 (

23、72k1 49 ) + (16月+10)。24n+1=24 (3k1+2)4+ 1=72%+49 , 72k1 49 4=72+49,符合前面总结的规律。 42、当以24n+17型的数为首项数时，它可以生成比它多一次的 无穷回归数列，生成的无穷回归数列的首项数是2 (24n+17)-1与=16n+11。F面分三种情况进行讨论9(1)、当 n=3k时，16n+11=16 (3 +11=48k1 + 11,后面第一项 是 4 (48+11) +1 = 192k1+45=3 (64+15),它是 3 的倍数。这个开 头数是24 (8k#1) +21,它是第一个开头数，即用=8七+ 1,根据前面 的规

24、律，第二个开头数的 n2=64(8&+1)+56=512 + 120=56 ( 72k1 17 ) 8+ (8先+1)。24n+17=24 (3kJ +17=72 + 17, 72k1 17刈=724+17, 8符合前面总结的规律。(2)、当 n=3k1+1 时，16门 + 11 = 16(3匕+1)+11=48兄+27=3(16月+9), 它虽是3的倍数但不是开头数而是首项数。它后面第一项是4(48+27) +1 = 192 + 109,第二项是 4 (192 + 109) +1=768+437, 第三项是 4 (768k1 +437) +1=3072 + 1749=3 (1024+583)

25、,是 3 的 倍数。这个开头数是24 (128%+72) +21,它是第一个开头数，即必=128兄+72,根据前面的规律，第二个开头数的 n2=64 (128+72) +56=8192kl+4664=56( 144kl+82) +(128kl+72)。24n+17=24 (3kl+ 1) + 17=72+41, (144+82)受=72左+41,符合前面总结的规律。(3)、当 n=3k+2 时，16n + 11 = 16 (3兄+2) +11=48/43,后面 第一项是 4 (48k1 +43) +1 = 192%+173。第二项是 4 (192K+173) + 1=768k1+693=3 (

26、256%+231),它是 3的倍数。这个开头数是24(32+28) +21,它是第一个开头数，即 必=32七+28,根据前面的规 律，第二个开头数的 n2=64(32K+28)+56=2048% + 1848=56 ( 72k； 65 ) + (32+28)。24n+17=24(3k1+2) +17=72+65, 72k； 65 X2=72k1+65, 符合前面总结的规律。3、当以 12 n +7型的数为首项数时，它可以生成比它多一次的无穷回归数列 ， 生成的无穷回归数列的首项数是4 ( 12n +7) -1心=16n+9。下面分三种情况进行讨论。(1)、当 n=3ki时，16n+9=16 (

27、3kJ +9=48ki+9=3 (16ki+3),它 虽是 3 的倍数但不是开头数而是首项数。 它后面第一项是4( 48k1+9)+ 1 = 192ki+37,第二项是 4 (192+37) +1=768 + 149,第三项是 4 (768k1+149) +1=3072k1+597=3(1024k1+199) ，它是3 的倍数。 这个开头数是 24( 128 k1 +24) +21，它是第一个开头数，即n1=128k1+24，根 据 前 面 的 规 律 ， 第 二 个 开 头 数 的 n2 =64 ( 128 k1 +24 ) +56=8192k1 +1592=56( 144k1+28) +(

28、 128k1+24) 。 12n+7=12(3k1) +7=36k7, (144+28) F=36k7,符合前面总结的规律。(2)、当 n=3% + 1 时，16n+9=16 (3匕+1) +9=48%+25,后面第 一项是 4 (48k1+25) +1=192k1 +101，第二项是4 ( 192 k1 +101)+1=768k1+405=3(256k1+135) ，它是3 的倍数。这个开头数是24(32K+16) +21,它是第一个开头数，即n=32%+16,根据前面的规 律， 第二个开头数的n2=64(32k1+16) +56=2048k1+1080=56(36k1+19)+ (32K

29、+ 16)。12n+7=12 (3 + 1) +7=36 + 19,和 n2式中的倍数相同， 符合前面总结的规律。(3)、当 n=3k1+2 时，16n+9=16 (3左+2) +9=48+41,后面第 一项是 4(48k1+41) +1=192k1+165=3(64k1+55) ，它是3 的倍数。这个开头数是24 (8k+6) +21,它是第一个开头数，即n=8七+6,根据前面的规律，第二个开头数的n2 =64 (8k/6) +56=512ki+440=56(36k1 31 ) +(8匕+6)。12 n+7=12 ( 3 ki+2) +7=36 ki +31, 436kl431必=36+31

30、,符合前面总结的规律。4、当以12n+11型的数为首项数时，它可以生成比它多一次的 无穷回归数列，生成的无穷回归数列的首项数是2 (12n+11)-1与=8n+7。下面分三种情况进行讨论。(1)、当 n=3k1 时，8n+7=8 (3先)+7=244+7,后面第一项是 4 (24+7) +1=96+29,第二项是 4 (96+29) +1=384+117=3 (128+39),它是3的倍数。这个开头数是24 (16K+4) +21,它是 第一个开头数，即必=16匕+4,根据前面的规律，第二个开头数的n2=64(16匕+4) +56=1024k1+312=56 ( 36k； 11 ) +(16+

31、4)。12n+11 = 12(34)+11=36 + 11, 36k； 11 Q36k1+11,符合前面总结的规律。(2)、当 n=3% + 1 时，8n+7=8 (3K+1) +7=24 + 15=3 (8K+5), 虽是3的倍数但不是开头数而是首项数。后面第一项是4 (24%+15)+ 1=96k1 +61,第二项是 4 (96月+61) +1=384+245,第三项是 4 (384+245) +1 = 1536k1+981=3 (512+327),它是 3 的倍数。这个 开头数是24 (64+40) +21,它是第一个开头数，即4=64+40,根 据前面的规律，第二个开头数的n2=64(

32、64K+40) +56=4096+2616=56(36K+23) + (64K+40)。12n + 11 = 12 (3%+1) +11=36ki+23,和小式 中的倍数相同，符合前面总结的规律。(3)、当 n=3ki+2 时，8n+7=8 (3兄+2) +7=24+23,后面第一 项是4 (24月+23) +1=96ki+93=3 (32匕+31),它是3的倍数。这个开 头数是24 (4+3) +21。它是第一个开头数，即ni=4ki+3,根据前面 的规律，第二个开头数的 n2=64(4兄+3) +56=256ki +248=56( 36k1 35 )8+ (4ki+3)。12n+11 =

33、12 (3ki+2) +11=36ki+35, 36k1 35 X8=36ki+35, 8符合前面总结的规律。5、当以24n+3型的数为首项数时，它的后一项是 4 (24n+3)+ 1=96n+13,它可以生成比它多一次的无穷回归数列，生成的无穷回 归数列的首项数是4 (96n+13) -1与=128n+17。下面分三种情况进行讨论。(1)、当 n=3k1 时，128n+17=128 (3k，+17=384 + 17,后面第 一项是 4 (384 + 17) +1 = 1536k1 +69=3 (512+23),它是 3 的倍数。 这个开头数是24 (64+2) +21,它是第一个开头数，即n

34、1=64k1 +2, 根据前面的规律，第二个开头数的n2=64(64七+2)+56=4096% + 184=56(288k1 13 ) + (64 k1 +2)o 96n+13=96 (3kQ +13=288%+13, 4288kl 1344=288 + 13,符合前面总结的规律。(2)、当 n=3k1 + 1 时，128n+17=128 (3 + 1) +17=384% + 145。后面第一项是 4(384 + 145) + 1 = 1536+581,第二项是 4(1536+581)+1=6144k1+2325=3(2048k1+775) ，它是3 的倍数。这个开头数是24(256k96)

35、+21,它是第一个开头数，即 必=256匕+96,根据前面的 规律，第二个开头数的 n2 =64( 256 k1 +96) +56=16384k1+6200=56 (288k1+109) +(256k1+96) 。 96n+13=96(3k1+1) +13=288k1+109， 和 n2 式中的倍数相同，符合前面总结的规律。( 3)、当 n=3k1+2 时， 128n+17=128(3k1+2) +17=384k1 +273=3 ( 128k1+91) ，虽是3 的倍数但不是开头数而是首项数。后面第一项是 4 (384+273) +1 = 1536+1093,第二项是 4 (1536+1093

36、) + 1=6144ki+4373,第三项是 4 (6144+4373) +1=24576 + 17493=3 (8192k1+5831)， 它是 3 的倍数。 这个开头数是24(1024k1+728) +21，它是第一个开头数，即n1 = 1024k+728,根据前面的规律，第二个开头数的n2=64(1024k1+728) +56=65536k1+46648=56( 1152k1+820) +( 1024k1+728)。 96n+13=96(3k1+2) +13=288k1+205， ( 1152 k1 +820) 乂=288%+205,符合前面总结的规律。6、当以24n +9 型的数为首项

37、数时，它的后一项是4(24n+9)+1=96n +37，它可以生成比它多一次的无穷回归数列，生成的无穷回归数列的首项数是4 (96n+37) -1力=128n+49。下面分三种情况进行讨论。(1)、当 n=3k时，128n+49=128 (3kJ +49=384+49,后面第 一项是 4 (384 k1 +49) +1=1536k1 +197，第二项是4( 1536k1+197)+1=6144k1+789=3(2048k1+263) ，它是3 的倍数。这个开头数是24(256+32) +21,它是第一个开头数，即 必=256匕+32,根据前面的规律，第二个开头数的1=64 ( 256K+32)

38、 +56=16384ki+2104=56(288k37) + (256+32)。96n+37=96 (3kJ +37=288+37,和 n2 式中的倍数相同，符合前面总结的规律。(2)、当 n=3ki + 1 时，128n+49=128 (3心 + 1) +49=384+ 177=3 (128七+59),虽是3的倍数但不是开头数而是首项数。后面第一项 是 4 (384月+177) +1 = 1536ki+709,第二项是 4 (1536 ki+709) + 1=6144ki+2837,第三项是 4 (6144K+2837) +1=24576%+11349=3 (8192月+3783),它是3的

39、倍数。这个开头数是24(1024+472) +21, 它是第一个开头数，即 = 1024+472,根据前面的规律，第二个开 头数的 n2=64 (1024k1 +472) +56=655368+30264=56 (1152+532) +(1024月+472)。96n+37=96 (3七 + 1) +37=288 + 133, (1152K+532) F=288K + 133,符合前面总结的规律。(3)、当 n=3k1+2 时，128n+49=128 (3心+2) +49=384+305, 后面第一项是 4 (384k1+305) +1 = 1536kl+1221=3 (512k1+407),它

40、是 3的倍数。这个开头数是24 (64月+50) +21,它是第一个开头数，即 必=64兄+50。根据前面的规律，第二个开头数的n2 =64 (64匕+50)+56=4096kl+3256=56 ( 288k1 229 ) + (64k1+50)。96n+37=96 (3k1+2)4+37=288k1 +229, 288k1 229 4=288+229,符合前面总结的规律。 47、当以24n+15型的数为首项数时，它的后一项是 4 (24n+15) + 1=96n+61,它可以生成比它多一次的无穷回归数列，生成的无穷回 归数列的首项数是4 (96n+61) -1与=128n+81。17下面分三

41、种情况进行讨论。(1)、当 n=3ki 时，128 n+81 = 128 ( 3 ki ) +81=384kI+81=3 (128k327),虽是3的倍数但不是开头数而是首项数。后面第一项 是 4 (384 k1 +81) +1 = 1536匕+325,第二项是 4 ( 1536月+325) + 1=6144+1301,第三项是 4 (6144+1301) +1=24576+5205=3 (8192月 + 1735),它是3的倍数。这个开头数是24(1024月+216)+21, 它是第一个开头数，即“ 二 1024%+216,根据前面的规律，第二个开 头数的 n2=64 (1024k1 +216) +56=65536 + 13880=56 (1152+244) + (1024+216)。96n+61=96 (3kJ +61=288+61, (1152&+244)F=96k1+61,符合前面总结的规律。(2)、当 n=3k + 1 时，128n+81 = 128 (3- + 1) +81=384+209, 后面第一项是 4 (384K+209) +1 = 1536%+837=3 (512K+279),它是 3 的倍数。这个开头数是 24 (64月+34) +21,它是第一个开头数，即 1=64%+34。根据前面的规律，第二个开头数的n2