第一节不定积分的概念与性质

1、定义定义 1设函数设函数 y = f (x) 在某区间上有定义在某区间上有定义，如果存在函数如果存在函数 F (x)，对于该区间上任一点对于该区间上任一点 x，使使F (x)= f (x) 或或 dF(x) = f (x)dx ，则称函数则称函数 F (x) 是已知函数是已知函数 f (x) 在该区间上的一在该区间上的一个个原函数原函数.一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分,3)5(23xx ( x3 + C ) = 3x2 ( (C 为任意常数为任意常数) )，所以所以 x3 + 1，),5(3 x x3 + + C 都是都是 3x2 在区间在区间 ( , ) 内的内的原函数原函数.例如

2、，因为在区间例如，因为在区间 ( , ) 内有内有(x3) = 3x2，所以所以 x3 是是 3x2 在区间在区间 ( , ) 内一个原函数，内一个原函数，又 因 为又 因 为 ( x3+ 1 ) = 3 x2，一般地，一般地， 若若 F(x) 是是 f (x) 在某区间上的一个在某区间上的一个原函数，原函数， 则函数族则函数族 F(x) + + C ( (C 为任意常数为任意常数) )都是都是 f (x) 在该区间上的原函数在该区间上的原函数.移项得移项得 (x) = F(x) + + C .因为因为 (x) 是是 f (x) 的任一个原函数，的任一个原函数，因为因为 (x) - - F(x

3、) = (x) F (x) = f (x) - - f (x) = 0， 由微分中值定理的推论得由微分中值定理的推论得 (x) - -F(x) = C ( (C为常数为常数) )，设设 F(x) 是是 f (x) 在区间在区间 I 上的一个确定的原函上的一个确定的原函数，数， (x) 是是 f (x) 在区间在区间 I 上的任一个原函数，上的任一个原函数，F (x) = f (x)， (x) = f (x). 所以所以 F (x) + + C 是是 f (x) 在区间在区间 I 上的全体原函数的一般上的全体原函数的一般表达式表达式. 即即其中符号其中符号 称为积分号，称为积分号， f (x)

4、dx 称为被积表达式称为被积表达式，或称被积分式或称被积分式， x 称称为积分变量为积分变量，定义定义 2若若 F(x) 是是 f (x) 在区间在区间 I 上的一个原上的一个原函数函数，,d)( xxf即即，CxFxxf )(d)( 则则 F(x) + + C ( (C为任意常数为任意常数) )称为称为 f (x) 在该在该区间上的区间上的不定积分不定积分， 记为记为f(x) 称为被积函数称为被积函数，C 称为积分常数称为积分常数.例例 1求下列不定积分求下列不定积分;d2)1( xx;dsin)2( xx;1d)3(2 xx;de)4( xx解解根据不定积分的定义，只要求出被积函根据不定积

5、分的定义，只要求出被积函数一个原函数之后，再加上一个积分常数数一个原函数之后，再加上一个积分常数 C 即可即可.( (1) )被积函数被积函数 f ( x ) = 2x， 因为因为 ( x2 ) = 2x，即即 x2 是是 2x 的一个原函数的一个原函数 ， 所以，不定积分所以，不定积分;d22Cxxx ( (2) )被积函数被积函数 f (x) = sin x， 因为因为 ( cos x) = sinx，即即 - - cos x 是是 sin x 的一个原函数，的一个原函数，所以，不定积分所以，不定积分;cosdsinCxxx 211)(arctan)3(xx 因因为为,11)cotarc(

6、 2xx 或或所以得所以得;cotarcarctan1d2CxCxxx ,e)e ()4(xx 因为因为所以得所以得.edeCxxx ;lnd1Cxxx 当当 x 0 时，时，,1)(lnxx 因为因为所以所以.)ln(d1Cxxx 合并以上两种情况，当合并以上两种情况，当 x 0 时，得时，得. |lnd1Cxxx 例例 2求不定积分求不定积分.d1 xx解解. 01 xx的定义域为的定义域为被积函数被积函数( (2) )Cxfxxf )(d)(.)()(d)()(dCxfxxfxf 或或二、不定积分的基本性质二、不定积分的基本性质( (1) ) .d)(d)(d)(d)(xxfxxfxfx

7、xf 或或; )1(,11d21 Cxxx ) )( (;|lnd1 3Cxxx ) )( (;lnd 4Caaxaxx ) )( (基本积分表基本积分表; )(d 1为常数为常数) )( (kCkxxk ;ede, e Cxaxx 时时当当；) )( ( Cxxx sindcos 5；) )( ( Cxxx cosdsin 6；) )( ( Cxxx tandsec 72；) )( ( Cxxx cotdcsc 82；) )( ( Cxxxx secdtansec 9；) )( ( Cxxxx cscdcotcsc 10；) )( (CxCxxx arccos arcsin1d 112 ；)

8、 )( (CxCxxx cotarc arctan1d 122 ；) )( ( Cxxx chdsh 13. shdch 14 Cxxx) )( (例例 3求不定积分求不定积分;d1)1(2 xx.d1)2( xx解解先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基本积分公式，本积分公式，( (1) ) xxxxdd122Cx 12121.1Cx ( (2) )Cx 1211211 xxxxdd121Cx 212得得.2Cx 例例 4求不定积分求不定积分.de3 xxx解解 xxxxxd)e3(de3Cx )e3ln()e3(.3ln1e3Cxx 性质性质 1两个函

9、数和的不定积分等于各个函数两个函数和的不定积分等于各个函数不定积分的和不定积分的和，.d)(d)(d)()( xxgxxfxxgxf三、不定积分的性质三、不定积分的性质即即性质性质 1 可推广到有限多个函数代数和的情况，可推广到有限多个函数代数和的情况，即即 xxfxfxfnd)()()(21.d)(d)(d)(21 xxfxxfxxfn性质性质 1 称为分项积分称为分项积分.证证根据不定积分定义，只须验证上式右端的根据不定积分定义，只须验证上式右端的导数等于左端的被积函数导数等于左端的被积函数.).()(xgxf xxgxxfd)(d)( xxgxxfd)(d)(性质性质 2被积函数中的不为

10、零的常数因子可以被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外提到积分号外，,d)(d)( xxfkxxkf( (k 为不等于零的常数为不等于零的常数) )证证类似性质类似性质 1 的证法，的证法， 有有即即 xxfkd)( xxfkd)().(xkf 例例 5求不定积分求不定积分.d)2sin22( xxxxx即各积分常数可以合并即各积分常数可以合并. xxxxxd)2sin22( xxxxxxxd2dsin2d2 32521522)cos(22ln2CxCxCx)22(54cos22ln232125CCCxxx .54cos22ln225Cxxx 其中其中 C = C1- - 2C2 + 2

11、C3，因此，求代数和的不定积分时，因此，求代数和的不定积分时，解解 只需在最后写出一只需在最后写出一个积分常数个积分常数 C 即可即可.例例 6求求.d)1(23 xxx xxxd)1(23 xxxxxd331232 xxxxd3312 xxxxxxxdd3d13d2.213|ln312Cxxxx 解解例例 7求求.d)(1(3xxxxx xxxxxd)(1(3 xxxxxd3 xxxd)(6167.7613667613Cxx 解解四、不定积分的几何意义四、不定积分的几何意义若若 y = F (x) 是是 f (x) 的一个原函数，的一个原函数， 则称则称 y = F (x) 的图形是的图形是

12、 f (x) 的的积分曲线积分曲线.因为不定积分因为不定积分CxFxxf )(d)(是是 f (x) 的原函数的一般表达式，的原函数的一般表达式， 所以它对应的图形所以它对应的图形是是一族积分曲线一族积分曲线，称它为积分曲线族称它为积分曲线族.积分曲线族积分曲线族 y = F (x) + + C 的特点是：的特点是：当当 C 0 时，向上移动；时，向上移动；( (1) )积分曲线族中任意一条曲线，积分曲线族中任意一条曲线， 可由其中某一可由其中某一条条( (例如，曲线例如，曲线 y = F(x) ) ) 沿沿 y 轴平行移动轴平行移动| |C| |单位而单位而得到得到. .当当 C 0 时，向

13、下移动；时，向下移动；( (2) )由于由于 F (x) + + C = F (x) = f (x)， 即横坐标即横坐标相同点相同点 x 处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，等，都等于都等于 f (x)， 从而使相应点的切线相互平行从而使相应点的切线相互平行( (如如图图) )xyOy = f (x)y = f (x)+ +C例例 8已知曲线上任一点的切线斜率等于该点处已知曲线上任一点的切线斜率等于该点处横坐标平方的横坐标平方的 3 倍，且过点倍，且过点 (0,1)，求此曲线方程，求此曲线方程.按题意，得按题意，得23ddxxy 得得.d332Cxxxy 由条件由条件 y|x = 0 = 1 得得 C = 1，y = x3 + 1.解解设所求曲线为设所求曲线为 y = f (x).于是所求曲线为于是所求曲线为例例 9设一质点以速度设一质点以速度 v 2 2cos t 作直线运动，作直线运动，开始时，质点的位移为开始时