自控课件第四轨迹法

1、2022-4-2022-4-2424第三节 参量根轨迹和多回路系统根轨迹一、参量根轨迹 前述以根轨迹增益K1为可变参量的根轨迹称为常规根轨迹。实际上任何参数均可选择为系统的可变参量，如开环零、极点、时间常数和反馈系数等。这种以非K1为参变量的根轨迹称为参量根轨迹。 第二节所讲根轨迹的绘制方法和规则依然适用于绘制参量根轨迹，但需要预先将可变参量演化到相当于常规根轨迹增益K1的位置上。下面举例说明参数演化和参量根轨迹的绘制方法。 2022-4-2022-4-2424【例例4-10】设反馈系统的开环传递函数为设反馈系统的开环传递函数为试绘制系统以试绘制系统以a为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。 解

2、：对给定系统特征方程进行以下变换：解：对给定系统特征方程进行以下变换：右式的特点：左边写成两部分之和，右式的特点：左边写成两部分之和，参变量参变量a a只包含在第二只包含在第二部分中，且是第二部分的一个单独因子。部分中，且是第二部分的一个单独因子。现用第一部分除现用第一部分除以方程两边，则得：以方程两边，则得：4( )( )()G s H ss sa410()()40s sas sa240sa s第一部分第一部分 第二部分第二部分2104ass2022-4-2022-4-2424这是原系统特征方程的这是原系统特征方程的等效特征方程等效特征方程，由此可得到一个等效的，由此可得到一个等效的开环传递

3、函数，用开环传递函数，用G*(S)H*(S)表示：表示：根据前述根轨迹绘制规则，由上式的极点和零点分布情况绘根据前述根轨迹绘制规则，由上式的极点和零点分布情况绘制制a a从零变化到无穷大时的根轨迹，如图从零变化到无穷大时的根轨迹，如图4-164-16所示。所示。等效的含义等效的含义仅在于其闭环传递函数的极点与系统的原闭环极点相同，而闭环零点通常不同。*2( )( )4(2)(2)asasG s Hsssjsj2022-4-2022-4-2424图图4-16 4-16 例例4-104-10的参量根轨迹的参量根轨迹2022-4-2022-4-2424用Matlab绘制根轨迹：g=tf(1,0,1,

4、0,4) rlocus(g)图图4-17 4-17 例例4-104-10的参量根轨迹，的参量根轨迹，matlabmatlab绘制绘制2022-4-2022-4-24242022-4-2022-4-24242022-4-2022-4-2424 这种获得等效特征方程及等效开环传递函数G*(S)H*(S)的方法，称为黄金法则（Golden rule）。有时在同一个问题中，这个法则可适用多次。 对于具有两个可变参数的情况，这一法则同样适用，此时所得到的是根轨迹族。 例4-11说明了根轨迹族的绘制方法。2022-4-2022-4-2424【例例4-11，课本，课本P135】已知系统开环传递函数如下，要求

5、以开已知系统开环传递函数如下，要求以开环极点环极点a为连续可变参数，以为连续可变参数，以K1为参变量绘制该系统的根轨为参变量绘制该系统的根轨迹族。迹族。解：系统特征方程为：解：系统特征方程为： 或：或：应用黄金法则，得：应用黄金法则，得：其等效开环传递函数为：其等效开环传递函数为：求出求出G*（s）H*（s）的极点，即方程）的极点，即方程 的根，的根，1( )( )(1)()KG s H ss ssa12110(1)()(1)(1)0Ks ssassas sK21*21(1)10(1)(1)( )( )(1)as sssKas sG s HsssK21(1)0ssK2022-4-2022-4-

6、2424（确切地说是根轨迹，因为K1为变量）。为了作出 的根轨迹，再一次应用黄金法则， 即有：从而得到另一个等效开环传递函数： 根据G1*(s)H1*(s),绘出不同K1值时的根轨迹，如图4-18。在图4-19中用虚线表示这个根轨迹图。注意，这些虚线上的点就是G*(s)H*(s)对应于不同K1值的极点，也就是按G*(s) H*(s)作出的根轨迹（当a=0）的起点。 21(1)0ssK1210(1)Kss*12( )( )(1)KG s Hsss2022-4-2022-4-2424 这样，给定一个这样，给定一个K1值，即可按值，即可按G*(s)H*(s)描绘出描绘出a=0 时的时的一组根轨迹；给

7、定另一个一组根轨迹；给定另一个K1值，就得到另一组这样的根轨值，就得到另一组这样的根轨迹迹，这就是要求绘制的根轨迹族，如图，这就是要求绘制的根轨迹族，如图4-19中实线所示。中实线所示。由图可见，由图可见，a=0时系统不稳定。当时系统不稳定。当a增大至一定数值时，系统增大至一定数值时，系统变为稳定。变为稳定。0) 1(123Kassasa的临界值可用劳斯判据确定。的临界值可用劳斯判据确定。系统的特征方程：系统的特征方程：10111231) 1(11KsaKaasKasas令令s s1 1行全为零，则系统稳定的行全为零，则系统稳定的临界条件为临界条件为K K1 1=a(a=a(a1)1)。 20

8、22-4-2022-4-2424图图4-18 4-18 的根轨迹的根轨迹图图4-19 4-19 根轨迹族根轨迹族2110s sK2022-4-2022-4-2424二、多回路系统的根轨迹二、多回路系统的根轨迹 根轨迹分析方法不仅适用于单回路系统，也适用于多回路系统。 绘制多回路系统根轨迹的步骤：（1）首先根据内反馈回路的开环传递函数，绘制内反馈回路）首先根据内反馈回路的开环传递函数，绘制内反馈回路的根轨迹，确定内反馈回路的极点分布。的根轨迹，确定内反馈回路的极点分布。（2）由内反馈回路的零、极点和内回路外的零、极点构成整）由内反馈回路的零、极点和内回路外的零、极点构成整个多回路系统的开环零、极

9、点。再按照单回路根轨迹的基本个多回路系统的开环零、极点。再按照单回路根轨迹的基本法则，绘制整个系统的根轨迹。法则，绘制整个系统的根轨迹。【例4-12】设控制系统的结构如图4-20所示，试绘制多回路系统的跟轨迹。 解：（1）首先确定内回路的根轨迹2022-4-2022-4-2424图图4-20 4-20 系统结构图系统结构图内回路闭环传递函数为：内回路特征方程为：1( )2( )(1)(2)2C sR ss ssas(1)(2)20s ssas2022-4-2022-4-2424 绘制a变化时内环系统特征方程的根轨迹，需要根据D1(s)构造一个等效系统，新系统的特征方程与D1（s）一样，而参数a

10、相当于开环增益，故等效系统的开环传递函数应为： 注意注意： 在绘制根轨迹时，开环传递函数开环传递函数的分子分母中分子分母中若有相同因子时，不能相消，若有相同因子时，不能相消，相消后将会丢掉闭环极点。 1112( )( )(1)(2)(1)(2)a sasG s H ss sss ss2022-4-2022-4-2424 当a变化时内回路的根轨迹如图4-21所示。 当a1=2.5，a1.25时，对应的内回路闭环极点分别为 P1=0； P2,3=-l.5j1.5，此时内环闭环传递函数为： 1( )2( )(1.51.5)(1.51.5)C sR ss sjsj2022-4-2022-4-2424（

11、2）绘制K变化时的多回路系统根轨迹 多回路系统的开环传递函数为：按照前述绘制常规根轨迹的方法求出出射角、根轨迹与虚轴交点等，绘制根轨迹如图4-22所示2212( )( )(1.51.5)(1.51.5)(1.51.5)(1.51.5)KG s Hss sjsjKs sjsj2022-4-2022-4-2424图图4-21 4-21 内环根轨迹图内环根轨迹图当当a a1 1为约为约2.52.5时，时，内环闭环极点为内环闭环极点为P P1 1=0=0； P P2,32,3=-l.5=-l.5 j1.5j1.52022-4-2022-4-2424 当当a取取l.25，K6.25时，此时，此多回路系统

12、将有两个闭环极点多回路系统将有两个闭环极点分布在右半分布在右半S平面，系统变为平面，系统变为不稳定。不稳定。 绘制多回路反馈控制系统根绘制多回路反馈控制系统根轨迹的方法：轨迹的方法：从内环开始，分层绘制，逐步从内环开始，分层绘制，逐步扩展到整个系统。扩展到整个系统。图图4-22 4-22 多回路系统根轨迹多回路系统根轨迹2022-4-2022-4-2424三、 正反馈系统和零度根轨迹复杂的控制系统中可能出现局部正反馈的结构，这种局部正反馈的结构可能是控制对象本身的特性，也可能是为满足系统的某种性能要求在设计系统时加进的。具有局部正反馈的系统可以由主回路的负反馈使之稳定，但在利用根轨迹法对系统进

13、行分析时必须求出正反馈回路的零、极点。下面讨论正反馈系统根轨迹的绘制方法。2022-4-2022-4-2424三、正反馈系统和零度根轨迹 图图4-23所示的局部正反馈回路所示的局部正反馈回路图图4-23 4-23 具有局部正反馈的系统具有局部正反馈的系统 10D sG s H s 特征方程特征方程 1sHsG根轨迹方程根轨迹方程正反馈部分正反馈部分研究正反馈部分，研究正反馈部分，2022-4-2022-4-2424其幅值条件和相角条件分别为： 与负反馈系统的幅值条件和相角条件相比,可见绘制正反馈系统根轨迹的幅值条件没有变，相角条件发生了改变。 相角相角条件条件11()()21800, 1, 2

14、,mniiiiszspqq 111|1|miiniiKszsp幅值幅值条件条件2022-4-2022-4-2424 负反馈系统的相角条件是180o等相角条件，正反馈系统则是0o等相角条件。 所以通常称负反馈系统的根轨迹为180o根轨迹，称正反馈系统的根轨迹为零度根轨迹。 2022-4-2022-4-2424 根据正反馈的相角条件，在绘制正反馈回路的根轨迹时需对常规根轨迹中与相角条件有关的规则作如下修改，其余规则不变。 规则3：实轴上的线段存在根轨迹的条件是其右边的开环零、极点数目之和为偶数偶数。 规则4：（n-m）条渐近线的倾角为：2180aqnma计算公式不变。计算公式不变。规则6：根轨迹的

15、出射角和入射角为：2022-4-2022-4-2424 出射角计算公式：出射角计算公式：入射角计算公式：入射角计算公式：112180()()kmnzkjkijij kqzzzp112180()()kmnpkjkijii kqpzpp2022-4-2022-4-2424【例例4-13】图图 4-24所示正反馈系统的开环传递函数为：所示正反馈系统的开环传递函数为： 试绘制其零度根轨迹。试绘制其零度根轨迹。 解：（解：（1）开环极点）开环极点p1=0，p2=-1，p3=-2，有三条根轨迹起于，有三条根轨迹起于开环极点，终点均在无穷远处。开环极点，终点均在无穷远处。 （2）实轴上区间）实轴上区间-2，

16、-1和和0， 为根轨迹段。为根轨迹段。 图图4-24 4-24 正反馈系统正反馈系统1( )( )(1)(2)KG s H ss ss2022-4-2022-4-2424 （3）渐近线与实轴相交于-1点，倾斜角由倾角公式计算, 取q=0、1、2，得a=0o、120 o、240 o。（4）分离点的求法与负反馈情况完全一样。在例4-5中已解出两个分离点：S1=-0.423，S2=-1.577，并且已确定-0.423是负反馈情况下的分离点，这里可以确定-1.577是正反馈情况下的分离点。 最后得系统的根轨迹如图4-25所示。2022-4-2022-4-2424由图4-25可以看出：该系统在正反馈情况

17、下总存在一个正实根，因而该系统在正反馈情况下是不可能稳定的。图图4-25 4-25 正反馈系统的根轨迹正反馈系统的根轨迹2022-4-2022-4-2424【例4-14:课本P143】绘制图 4-26所示具有正反馈内环回路系统的根轨迹。解：首先绘制内环的根轨迹。内环部分的特征方程为或设内环的开环极点为图图4-26 4-26 具有正反馈内环的系统具有正反馈内环的系统22202022202nnnnnnssKKss21,21nnpj 2022-4-2022-4-2424根据规则根据规则6 6可知，由这一对共轭复数极点出发的根轨迹的出射可知，由这一对共轭复数极点出发的根轨迹的出射角为角为对内环的特征方

18、程，求出对内环的特征方程，求出dKdK0 0/ds/ds，得，得于是得到根轨迹与实轴的交点坐标为：于是得到根轨迹与实轴的交点坐标为： S=-S=-n n 0021809090pq220ns2022-4-2022-4-2424 规则规则3指出指出:实轴上存在根轨迹的条件是其线段右边的开环零、极点为偶数。现在该系统内环在实轴上不存在开环零、极点,所以根轨迹可以存在于全部实轴上。正反馈内环回路的根轨迹如图4-27（a）所示。 图图4-27 4-27 例例4-144-14系统的根轨迹系统的根轨迹2022-4-2022-4-2424 由图可见，随着回路开环增益由图可见，随着回路开环增益K0的增大，闭环极点将从一的增大，闭环极点将从一对稳定的复数极点逐渐成为两个稳定的实数极点。对稳定的复数极点逐渐成为两个稳定的实数极点。 当当K0增到增到K0=1时，回路将有一个时，回路将有一个p=0的极点。如果使的极点。如果使K01，则回路就有位于则回路就有位于S平面右半部的实极点了。平面右半部的实极点了。 图图4-27 4-27 例例4-144-14系统的根轨迹