理论力学 第三章

1、第三章第三章空间力系空间力系cosyFFcoszFF直接投影法1、力在直角坐标轴上的投影cosFFx31 空间汇交力系空间汇交力系间接（二次）投影法sinxyFFsincosxFFsinsinyFFcoszFF2 2、空间汇交力系的合力与平衡条件、空间汇交力系的合力与平衡条件RxixxFFFRyiyyFFFRzizzFFF合矢量（力）投影定理RiFF空间汇交力系的合力 合力的大小222()()()RxyzFFFF（3-5）空间汇交力系平衡的充分必要条件是：称为空间汇交力系的平衡方程.0 xF 0yF 0zF (3-7)0RF 该力系的合力等于零，即 由式（3-5）cos(, )xRRFF iF

2、 方向余弦cos(, )yRRFFjFcos(, )zRRFF kF 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点 . 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.例3-1已知：已知：nF、求：力 在三个坐标轴上的投影.nFsinnzFFcosnxyFFsincossinnxyxFFFcoscoscosnxyyFFF例3-3求：三根杆所受力.已知：P=1000N ,各杆重不计.解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图建坐标系如图。0 xF 由045sin45sinOCOBFF0yF 045cos45cos45cosOAOCOBFFF0zF 0

3、45sinPFOA解得 （压）N1414OAF（拉）N707OCOBFF1、 力对点的矩以矢量表示 力矩矢32 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩( )OM Fr F （3-8）(3)作用点：矩心.(2)方向:与转动方向符合右手螺旋法则(1）大小:力F与力臂的乘积三要素：力对点O的矩 在三个坐标轴上的投影为( )OMF( )ozyxMFyFzF ( )oxzyMFzFxF ( )oyzzMFxFyF （3-10）xyzFF iF jF krxiyjzk又（3-9）( )()() ()OxyzMFrFxiyjzkFiF jFk则izFyFyz)(jxFzFzx)(kyFxFxy)(zy

4、xFFFzyxkji2.力对轴的矩 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.( )()zoxyxyM FM FF h（3-11）( )()()()xxxxyxzMFMFMFMF=0yF zyFxzyF yF z = ( )()()()yyxyyyzMFMFMFMF 3 3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 已知：力 ,力 在三根轴上的分力 ， ， ，力 作用点的坐 标 x, y, zFxFyFzFFFF求：力 对 x, y, z轴的矩xF z = =+0+0zF x - -= = xzF z Fx ( )()()()zzxzyzz

5、MFMFMFMF= -= -yF xxF y+ 0+ 0yxF x F y = = ( )( )ozyxxMFyFzFMF ( )( )oxyyMFzFxFMF ( )( )oyzzzMFxFyFMF 力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩.例例3-43-4已知：,alF求：,xyzMFMFMFcosxMFF la cosyMFFl sinzMFF l 解：把力 分解如图F33 空间力偶空间力偶1 1、力偶矩以矢量表示、力偶矩以矢量表示, ,力偶矩矢力偶矩矢1212FFFF空间力偶的三要素（1） 大小：力与力偶臂的乘积；（3） 作用面：力偶作用面。 （2） 方向：转动方向；( ,

6、)()()oooABMF FMFMFrFrF ( ,)()oABMF FrrFM 2 2、力偶的性质、力偶的性质BAMrF力偶矩FF因 （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变. (4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.(5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡.定位矢量：力对点矩矢力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）滑移矢量：刚体上的

7、力 3 3力偶系的合成与平衡条件力偶系的合成与平衡条件111222,.,nnnMrF MrFMrF=iMM有M为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.222()()()xixiyizMMMM合力偶矩矢的大小和方向余弦,xixyiyzizMMMMMM称为空间力偶系的平衡方程.000 xyzMMM简写为 （3-20）0M 空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零， MMixcosMMiycosMMizcos有0ixM0iyM0izM求:轴承A,B处的约束力. .例3-6圆盘面O1垂直于z轴，已知：F1=3N， F2=5N， 构件自重不计.两盘面上作用有力偶，圆盘面O2垂直于x轴，AB =

8、800mm,两圆盘半径均为200mm，解：取整体，受力图如图b所示.解得由力偶系平衡方程0 xM08004002mmmmAzFF0zM08004001mmmmAxFFN5 . 1BxAxFFN5 . 2BzAzFF有效推进力有效推进力RxF飞机向前飞行飞机向前飞行RyF有效升力有效升力飞机上升飞机上升RzF侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移OxM滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕x x轴滚转轴滚转OyM偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯OzM俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头35 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程1.空间任意力系的平衡方程000 xyzFFF000 xyzMMM（3-25）空间平行

9、力系的平衡方程000zxyFMM（3-26）2.2.空间约束类型举例空间约束类型举例 表表3-13-13.3.空间力系平衡问题举例空间力系平衡问题举例 空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零.例3-6已知： P=8kN,101kNP各尺寸如图求：A、B、C 处约束力解：研究对象：小车受力：受力：1,ABDP P FFF 列平衡方程0zF01DBAFFFPP 0FMx022 . 02 . 11DFPP 0FMy06 . 02 . 16 . 08 . 01DBFFPP结果：kNkNkN423. 4,777.

10、7,8 . 5ABDFFF例3-7已知：,2000NF,212FF ,60,30各尺寸如图求：21,FF及A、B处约束力解：研究对象， 曲轴受力：12,AxAzBxBzF F F FFFF 列平衡方程0 xF060sin30sin21BxAxFFFF 0yF00 0zF060cos30cos21BzAzFFFFF 0FMx040020020060cos20030cos21BzFFFF 0FMy0212FFDRF 0FMz040020060sin20030sin21BxFFF,6000,300021NNFF,9397,1004NNAzAxFF,1799,3348NNBzBxFF36 重重 心心1

11、 1 计算重心坐标的公式计算重心坐标的公式对y轴用合力矩定理1122.CnniiP xP xP xP xP x有iiCPxxP对x轴用合力矩定理1122.CnniiP yP yPyPyP z 有iiCPyyP整体绕x轴转过90，对x轴用合力矩定理iiCPzzP则计算重心坐标的公式为iiCPzzPiiCPxxPiiCPyyP（3-283-28）iinnCzPzPzPzPzP2211iiCPzzPiiCPxxPiiCPyyP（3-283-28）对均质物体，有iiCAxxAiiCAyyA面积的形心公式体心公式iiiCVxVxiiiCVyVyiiiCVzVz2 确定重心的实验法（1） 悬挂法（2） 称重法1CP xF l1CFxlP则有2CFxlP22211CFFzrlHPH 整理后，得例3-9求：其重心坐标已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示.则用虚线分割如图， 为三个小矩形，其面积与坐标分别为解:厚度方向重心坐标已确定， 只求重心的x,y坐标即可.mm151xmm451y21300mmAmm52xmm302y22400mmAmm153xmm53y23300mmAmm2321332211AAAxAxAxAAxAxiiCmm27321332211AAAyAyAyAAyAyiiC例3-10求：其重