Chapter2 State Space Model

1、Chapter 2 State Space Model2 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 本章要点本章要点n 理解控制系统的理解控制系统的状态空间状态空间表示法表示法的概念，对系统的的概念，对系统的完完全全描述。描述。u状态状态u状态空间状态空间u状态空间模型状态空间模型u线性系统线性系统u时不变系统时不变系统线性时不变系统状态空间模型线性时不变系统状态空间模型u建立状态空间模型建立状态空间模型(例子例子)n 掌握系统掌握系统数学模型之间的转换数学模型之间的转换，即，即状态空间表达式状态空间表达式与与微分方程微分方程、传递函数传递函数、方块图方块图之间的相互转换。之间的

2、相互转换。 了解这些不同模型之间的关系了解这些不同模型之间的关系。3 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 本章要点本章要点n 熟悉系统的熟悉系统的状态空间状态空间和和状态变量状态变量图示法；图示法； n 状态空间模型的状态空间模型的标准型标准型u对角标准型对角标准型u约当标准型约当标准型u模态标准型模态标准型n 传递函数矩阵传递函数矩阵u定义定义u状态空间模型和方框图转化为传递函数矩阵状态空间模型和方框图转化为传递函数矩阵线性时不变系统的几种描述方式线性时不变系统的几种描述方式微分微分方程方程状态状态空间空间传递传递函数函数脉冲脉冲响应响应目录目录一、状态空间模型一、状态空

3、间模型二、微分方程描述与状态空间模型二、微分方程描述与状态空间模型三、传递函数模型与状态空间模型三、传递函数模型与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型五、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型一、状态空间模型一、状态空间模型有关有关状态状态、状态空间状态空间及及状态空间表达式状态空间表达式等线等线性系统的性系统的基本概念基本概念是现代控制理论中状态空是现代控制理论中状态空间分析的间分析的基础基础。状态空间分析状态空间分析又是研究最优控制、滤波问题又是研究最优控制、滤波问题和系统辨识的和系统辨识的基础基础。n因此，本章内容为现代控制理论的基础知识。因此，本章

4、内容为现代控制理论的基础知识。7 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 uHV一、状态空间模型一、状态空间模型n 小车小车-倒立摆例子倒立摆例子8 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型n 小车小车-倒立摆例子倒立摆例子22d xMuHdt小车的水平运动：2222(sin )( cos )dmxlHdtdmlVmgdt摆重心的水平运动：摆重心的垂直运动：22sincosdIVlHldt摆绕重心的转动：uHV9 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型22222222(sin )(

5、 cos )sincosd xMuHdtdmxlHdtdmlVmgdtdIVlHldt简化:假设很小()0MxuHm xlHVmgIVlHl2()()Mm xmluImlmlxmgl12 21211()()xm l gImluMm mglmlu 2ImlmlmlMm 10 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型用一阶微分方程组表示系统模型！用一阶微分方程组表示系统模型！引入新的变量1234xxxxxx12 21211()()xm l gImluMm mglmlu 1212 21223341143()()xxxm l g xImluxxxMm m

6、gl xml u ,y y 小车状态：摆的状态：11 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型12 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型13 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型质量质量弹簧弹簧阻尼模型阻尼模型14 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型质量质量弹簧弹簧阻尼模型阻尼模型15 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型小车小车-倒立摆倒

7、立摆1212 21223341143()()xxxm l g xImluxxxMm mgl xml u 16 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型小车小车-倒立摆倒立摆1212 21223341143()()xxxm l g xImluxxxMm mgl xml u 13xyx12 2121101000000()0001000()010000010m l gImlxxuMm mglmlyx向量表示17 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型11212122311 132 3:( )( )231

8、2( )( )( )( )0( )( )( )( )( )( )( )0CCCRLCu tuti tuti ti tu tR i tutdi tututLR i tdt如如图图有有源源电电路路，稳稳压压源源和和恒恒流流源源为为输输入入，电电感感上上的的电电压压为为输输出出，求求系系统统的的表表达达式式。：网网络络有有 个个节节点点，个个回回路路，可可得得 个个节节点点方方程程，个个回回路路方方程程： 例例解解1221332( )( )( )( )( )( )CCLduti tCdtdutdi ti tCutLdtdt其中，其中， ， ， 18 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚

9、道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型12322211122212221221122212( )( )( ):( )( )(1)(1)( )( )(1)(1)LLi tititUsL C sUsR C sLC sR C sR C sUsR L C sUsR C sLC sR C sR C s消消去去中中间间变变量量，得得19 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型11123311111111122223323( )( ),( )( ),( )( ),11011( )( )( )1( )00( )00( )( )( )0011( )( )CCx

10、tutxtutxtitR CCR CCx tx tu txtxtutCxtxtRLLLy tLxt 取取状状态态变变量量为为则则1223( )11( )( )x tRxtxt 20 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型基本概念基本概念,摆的状态：小车状态：xx算命，算命，诊断，预言诊断，预言state21 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型基本概念基本概念xxx x倒立摆小车系统状态向量：22 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型n关于关

11、于状态变量状态变量的选择：的选择：u在物理系统中，一般选择系统中储能元件上在物理系统中，一般选择系统中储能元件上与储与储能有关的参量能有关的参量，如电感中的电流、电容上的电压、，如电感中的电流、电容上的电压、电荷或电流、弹性元件的位移、速度、加速度等电荷或电流、弹性元件的位移、速度、加速度等作为状态变量。因此，在物理系统中，状态变量作为状态变量。因此，在物理系统中，状态变量的个数等于系统中独立储能元件的个数。的个数等于系统中独立储能元件的个数。u有时出于数学上的需要，也可以用一些物理量的有时出于数学上的需要，也可以用一些物理量的线性组合作为状态变量。对于诸如社会经济系统、线性组合作为状态变量。

12、对于诸如社会经济系统、生态环境系统等，状态变量有时不一定具有明确生态环境系统等，状态变量有时不一定具有明确的物理意义。的物理意义。23 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型u状态变量的个数为状态变量的个数为n，即系统的即系统的 最大线性无关组。最大线性无关组。u状态变量的个数等于系统的阶数，即系统状态变量的个数等于系统的阶数，即系统 最大线最大线性无关组性无关组 的个数，是一个固定值。的个数，是一个固定值。n状态空间描述是通过描述系统内部结构（状态）状态空间描述是通过描述系统内部结构（状态）来描述系统的，是系统的一种完全描述。来描述系统的，是

13、系统的一种完全描述。the internal descriptionState-space description24 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型u状态变量的选择不是唯一的，但必须是能完全描述状态变量的选择不是唯一的，但必须是能完全描述系统特征的一组最少变量，且变量间相互独立；系统特征的一组最少变量，且变量间相互独立；25 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型基本概念基本概念 1x 2x 图：2 维状态空间及状态轨迹 state-space26 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础

14、讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型n 对于对于n阶系统，输入量为阶系统，输入量为m个，输出量为个，输出量为r个，则有：个，则有：（1）输入变量与状态变量之间的）输入变量与状态变量之间的一阶微分方程组一阶微分方程组称为称为状态方程状态方程 ;（2）输出变量与状态变量、输入变量之间的）输出变量与状态变量、输入变量之间的代数表达代数表达式式称为称为输出方程输出方程 .（3）状态方程与输出方程的组合构成对系统动力学行）状态方程与输出方程的组合构成对系统动力学行为的为的完整描述完整描述，称为系统的，称为系统的状态空间表达式状态空间表达式。 xAxBuyCxDu:状状态态空空间间表表达达

15、式式的的结结构构图图为为27 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型 B C D A + + x u x y + + 重点：重点：定常线性系统！定常线性系统！28 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型 12,nx xx 1muu 1ryy 动力学部件 输出部件 状态空间模型： 状态方程 输出方程 nmrxuyRRR29 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型30 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空

16、间模型1111ABCDn nm mn nn nn nn nn nm mn nm mr rr rn nr rr rm m31 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型状态空间表达式与传递函数状态空间表达式与传递函数表示的比较表示的比较u信号表示的不同信号表示的不同p传递函数为频域信号p状态空间模型为时域信号u反映系统的信息不同反映系统的信息不同p传递函数只描述输入输出信息p状态空间模型还描述系统内部状态信息32 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 一、状态空间模型一、状态空间模型n 状态空间法把输入输出间的信息传递分为两段来描状

17、态空间法把输入输出间的信息传递分为两段来描述。述。n 第一段是输入引起系统内部状态的变化，第二段是第一段是输入引起系统内部状态的变化，第二段是系统内部状态变化引起系统输出的变化。前者由状系统内部状态变化引起系统输出的变化。前者由状态方程描述，后者用输出方程描述。由于这种方法态方程描述，后者用输出方程描述。由于这种方法可以描述系统内部，所以称之为全面描述。可以描述系统内部，所以称之为全面描述。n 传递函数只能描述系统外部的输入输出关系，并不传递函数只能描述系统外部的输入输出关系，并不能反映内部状态的变化，故称之为外部描述或者端能反映内部状态的变化，故称之为外部描述或者端口描述。口描述。n 状态方

18、程描述了系统状态方程描述了系统状态状态的运动：输入的运动：输入状态状态n 输出输出是状态的线性组合：状态是状态的线性组合：状态输出输出一、状态空间模型一、状态空间模型n 状态空间模型状态空间模型 ( )D t( )A t( )C t( )B t( )u t( )x t( )x t( )y t状 态 空 间 模型 框 图 ( )( )( )( )xA t xB t uyC t xD t u时变线性系统xAxBuyCxDu时不变线性系统状态方程：输出方程：二、微分方程描述与状态空间模型二、微分方程描述与状态空间模型n 微分方程描述微分方程描述()(1)110()(1)110()()nnnmmmmk

19、kkyaya ya yb ubub ub up yp uddppdtdt11101110( )( )nnnmmmmppapa papb pbpb pbThe input-output or external description二、微分方程描述与状态空间模型二、微分方程描述与状态空间模型n 微分方程描述转化为状态空间模型微分方程描述转化为状态空间模型u算法算法1)(nmybybybyuyayayaymmnnn01)(01)1(1)( )1( )( )( )pyupu ypp36 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 二、微分方程描述与状态空间模型二、微分方程描述与状态空间模

20、型 ( )( )B sA s( )U s ( )Y s 1( )A s( )U s ( )Y s ( )B s( )Y s 等价变换1( )( )( )( )( ) ( )Y sU sA sY sB s Y s引入中间变量二、微分方程描述与状态空间模型二、微分方程描述与状态空间模型1211012210121mmnnnnnxbxbxbyuxaxaxaxxxxx)1(21, ,nnyxyxyx二、微分方程描述与状态空间模型二、微分方程描述与状态空间模型101100100nnmxxuaaaybbx I0二、微分方程描述与状态空间模型二、微分方程描述与状态空间模型二、微分方程描述与状态空间模型二、微分

21、方程描述与状态空间模型41 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 二、微分方程描述与状态空间模型二、微分方程描述与状态空间模型012012( )3 ( )2 ( )( )( )2 ( )( )1,23, 1,2,1, 0100( )001( )0( )1231( )121 ( ) y ty ty ty tu tu tu taaabbbx tx tu ty tx t 例例: :已已知知系系统统的的微微分分方方程程模模型型为为 求求系系统统的的状状态态空空间间表表达达式式。解解： = ,= = ,= = =套套用用公公式式得得 42 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道

22、雄龚道雄 二、微分方程描述与状态空间模型二、微分方程描述与状态空间模型n num=1 2 1;den=1 3 2 1;n G=tf(num,den); Gss=ss(G) n a = x1 x2 x3n x1 -3 -0.5 -0.25n x2 4 0 0n x3 0 1 0n MATLAB: tf函数和函数和 ss函数函数b = u1 x1 1 x2 0 x3 0c = x1 x2 x3 y1 1 0.5 0.25d = u1 y1 0Continuous-time model.43 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 二、微分方程描述与状态空间模型二、微分方程描述与状态

23、空间模型计算标准型，验证它们等价：计算标准型，验证它们等价：(1) num=1 2 1;den=1 3 2 1; sys=tf(num, den)； csys = canon(sys,companon)(2) A=0 1 0;0 0 1;-1 -2 -3; B=0; 0; 1; C=1 2 1; D=0; sys=ss(A,B,C,D)； csys = canon(sys,companon)得到同样的结果：得到同样的结果：a = x1 x2 x3 x1 0 0 -1 x2 1 0 -2 x3 0 1 -3 b = u1 x1 1 x2 0 x3 0 c = x1 x2 x3 y1 1 -1 2

24、 d = u1 y1 0 Continuous-time model.44 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 二、微分方程描述与状态空间模型二、微分方程描述与状态空间模型nMATLAB应用应用u在在MATLAB中，通常将中，通常将LTI(线性时不变线性时不变)系统的各系统的各种模型封装成一个种模型封装成一个LTI对象，以便更好的操纵系统。对象，以便更好的操纵系统。常用的三种对象为常用的三种对象为ss(状态空间模型状态空间模型)对象，对象，tf(传递传递函数模型函数模型)对象，对象，zpk(零极点模型零极点模型)对象。对象。u函数格式为：函数格式为： sys=ss(A,B,

25、C,D) sys=tf(num,den) sys=zpk(z,p,k)45 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 二、微分方程描述与状态空间模型二、微分方程描述与状态空间模型二、微分方程描述与状态空间模型二、微分方程描述与状态空间模型n 微分方程描述转化为状态空间模型微分方程描述转化为状态空间模型u算法算法2)(nm yubyabbyabbyuyayayaynnnnnnnnn)()(00)1(1101)1(1)(11011011100110()()nnnnnnnnnnnnnnnnb pbpbyupapaub ubb apbb apapa二、微分方程描述与状态空间模型二、微分方

26、程描述与状态空间模型1121 nxyxxxx0122100111 ()()nnnnnnnnnnxa xa xaxuybb axbb axb u 二、微分方程描述与状态空间模型二、微分方程描述与状态空间模型1011001101nnnnnnnxxuaaaybb abb axb u I0三、传递函数模型与状态空间模型三、传递函数模型与状态空间模型n 例例: 简单的简单的RLC电路电路( ),( ),( )( )/ ( )E sI sZ sE sI s电路两端的电压的拉氏变换为通过元件的电流的拉氏变换为则元件两端电路的复阻抗定义为RLCR LsCs电阻 、电感 和电容 的复阻抗1分别为：、 和 1Z

27、2Z ie oe 212121( )( ) ( )( )( )( ) ( )11oiCsCsE sZs I sE sZ sZs I sLsRLCsRCs三、传递函数模型与状态空间模型三、传递函数模型与状态空间模型2( )1( )1oiE sE sLCsRCs11oooiReeeeLLCLC121ooioxexeueyxe1111221201010RLCLLCxxuxxxyx三、传递函数模型与状态空间模型三、传递函数模型与状态空间模型n 实现问题实现问题1( ) ( )()G sxAxBuyCxDuG sC sIABD传递函数的状态空间实现，就是寻找 使得：注记：注记：1. 实现不唯一：可以有不

28、同维数，或不同参数；2. 实现问题的物理本质： 寻找一个假想结构模型，使其输入输出特性等价于传递函数。 这个模型可能完全不同于真实系统的结构。52 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 三、传递函数模型与状态空间模型三、传递函数模型与状态空间模型三、传递函数模型与状态空间模型三、传递函数模型与状态空间模型n 标量传递函数的实现标量传递函数的实现11101110( )mmmmnnnb sbsb sbG ssasa sa()(1)110()(1)110nnnmmmmyaya ya yb ubub ub u101100100nnmxxuaaaybbx I0( )( ) ( )Y s

29、G s U s三、传递函数模型与状态空间模型三、传递函数模型与状态空间模型n 传递函数矩阵的实现传递函数矩阵的实现1011101( )( )mijmnnq pnG sg sB sBsBsa sasa0110ppppnppmxxuaaayx0I00I0IIIIBB00Transfer-function matrix三、传递函数模型与状态空间模型三、传递函数模型与状态空间模型n 状态空间模型转换为传递函数状态空间模型转换为传递函数,(0)0 xAxBuxyCxDu)()()()()()(sDusCxsysBusAxssx1( ) () ( )y sC sIABD u s)(sG1( )adj(-)

30、det()G sCsIA BDsIA1110nnssRRR0111)(ssssnnn三、传递函数模型与状态空间模型三、传递函数模型与状态空间模型iR确定矩阵)()(0111AIRRRIssssnnARARRARRRIIII01011210111)()(ssssssnnnnnnnnIARRIARRIARRIR1102211121nnnn1()()det()( ) ( )adj sssssIAIAIAR i确定特征多项式系数11221100=1=2=1=nnnntrtrtrntrnRARAR AR A11221()nnniiitrhhhhH莱弗勒（莱弗勒（Leverrier）算法）算法333322

31、3322122201111121211111210000100,20010100010011230311122338,10121121382111445512830327trtr AR ARIR AAR ARR AIR ARR AI求的特征多项式。11100110143220243802107,2821782718133455247623602414000070701400,14271013001404476500014( )det()2trtrssss R AR AR ARR AIR AIA2102814ss59 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 三、传递函数模型与状态

32、空间模型三、传递函数模型与状态空间模型n应用应用MATLABu函数函数 A, B, C, D = tf2ss (num, den)u函数函数 A, B, C, D = zp2ss (z, p, k)( )snumG ssden含含 的的分分子子多多项项式式含含 的的分分母母多多项项式式11()()( )()()mnszszG skspspthe zero-pole-gain formn 强调强调: : 任何系统的状态空间表达式都不是唯一的。对任何系统的状态空间表达式都不是唯一的。对于同一系统，可有许多个（无穷多个）状态空间表达于同一系统，可有许多个（无穷多个）状态空间表达式。上述式。上述MAT

33、LABMATLAB命令仅给出了一种可能的状态空间命令仅给出了一种可能的状态空间表达式。表达式。61 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 三、传递函数模型与状态空间模型三、传递函数模型与状态空间模型！系统模型的建立和变换是很重要的内容，请参阅陈启宗教材自学。系统模型的建立和变换是很重要的内容，请参阅陈启宗教材自学。四、方框图组合与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型n 三类联接方式：三类联接方式：并联并联、串联串联、反馈反馈联接联接u一个控制系统通常由多个部件互相连接组成，其中每个部件可以用一组微分方程或传递函数描述。u要求基于方框图信息从每个部件的状态空间模型建立整个系

34、统状态空间模型。并并联联 121u2uu1y2yy串串联联 212u1y2y1uuy反反馈馈联联结结 121u2uu1y2yy四、方框图组合与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型n 子系统的并联子系统的并联:(1,2)iiiiiiiiiiixxu iyxuABCDMATLAB函数： parallel并并联联 121u2uu1y2yy1212uuuyyy1111122222112212()xA xB uxA xB uyC xCxDDuA B C D=parallel (A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)G=G1+G2四、方框图组合与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型n 子

35、系统的并联子系统的并联uDDxxCCyuBBxxAAxx)(0021212121212121并并联联 121u2uu1y2yy1111122222112212()xA xB uxA xB uyC xCxDDu四、方框图组合与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型n 子系统的串联子系统的串联1122:(1,2)iiiiiiiiiiixAxBuiyC xDuuu yuyy2uMATLAB函数： series串串联联 212u1y2y1uuy11 1122221 112221 11()()xAxBuxA xBC xDuyC xDC xDu A B C D=series(A1,B1,C1,D1,A2

36、,B2,C2,D2) G=G2*G1四、方框图组合与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型n 子系统的串联子系统的串联uDDxxCCDyuDBBxxACBAxx)(0122121212121212121串串联联 212u1y2y1uuy11 1122221 112221 11()()xAxBuxA xBC xDuyC xDC xDu四、方框图组合与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型n 子系统的反馈联结子系统的反馈联结11112222221111)(xCyxCBxAxxCuBxAxMATLAB函数： feedback反馈联结反馈联结 121u2uu1y2yy1212:(1,2)iiiii

37、iiiixAxBu iyC x uuy yuy A B C D= feedback(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2) G=feedback(G1,G2,Sign)四、方框图组合与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型n 子系统的反馈联结子系统的反馈联结2111212122112100 xxCyuBxxACBCBAxx反馈联结反馈联结 121u2uu1y2yy11112222221111)(xCyxCBxAxxCuBxAx四、方框图组合与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型n 基本单元的实现基本单元的实现as1 u y 1x 1s u y a 1x 1x uasy1yuay

38、111xyuaxx四、方框图组合与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型bsa u y 1x 1sa u y 1x b bsa u y 1x u y a 1x b byusaybuay111xaxbuyx 111xaxuybx 四、方框图组合与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型n 一般传递函数方框图的转化步骤：一般传递函数方框图的转化步骤：u第一步：第一步：将各环节通过等效变换分解，使得整个系统由基本单元通过将各环节通过等效变换分解，使得整个系统由基本单元通过串联串联、并联并联和和反馈反馈三种形式组成整个控制系统。三种形式组成整个控制系统。u第二步第二步：将每个基本单元的：将每个基本单

39、元的输出输出作为一个独立的作为一个独立的状态变量状态变量xi，积分器，积分器的的输入端输入端就是状态变量的一阶导数就是状态变量的一阶导数dxi /dt。u第三步：第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，写出每个状态变量的根据调整过的方块图中各信号的关系，写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程状态方程。根据需要指定输出变量，。根据需要指定输出变量，从方块图写出系统的从方块图写出系统的输出方程输出方程。 73 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 四、方框图组合与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型74 现代控制理论基础讲义现代控

40、制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 四、方框图组合与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型1111145:1xxuyx 2222212:1xxuyx 2222222:xxuyx 111114512:1 1xxuyx 4551221120110 xxuyx2111212122112100 xxCyuBxxACBCBAxx75 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 四、方框图组合与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型2111212122112100 xxCyuBxxACBCBAxx76 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 四、方框图组合与状态空间模型四、方框图

41、组合与状态空间模型例：某控制系统的方块图如图所示，试求出其状态空间例：某控制系统的方块图如图所示，试求出其状态空间表达式。表达式。77 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 四、方框图组合与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型解：解：第一步第一步 转化方框图转化方框图 1(8)21(8)1864164G(s)1 G(s)H(s)s ss sss传递函数78 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 四、方框图组合与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型n 第二步：依次取各个积分器的输出端信号为系统状态变量依次取各个积分器的输出端信号为系统状态变量x1 、x

42、2 、x3 、x4 ，系统输出，系统输出y = x1。n 第三步： 根据信号关系可得系统状态方程：根据信号关系可得系统状态方程： 79 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 四、方框图组合与状态空间模型四、方框图组合与状态空间模型 写成矢量形式，得系统动态方程为：写成矢量形式，得系统动态方程为：五、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型n ！对于一个系统，由于状态变量选择的非唯一性，可以得到对于一个系统，由于状态变量选择的非唯一性，可以得到不同形式的状态空间表达式。不同形式的状态空间表达式。n ？同一个系统不同状态变量的选取有何依据？同一系统不同同一个系统不同状态变量的

43、选取有何依据？同一系统不同形式的状态空间表达式之间有何关系？形式的状态空间表达式之间有何关系？n ！若系统传递函数的极点互异，则可以通过部分分式法，获若系统传递函数的极点互异，则可以通过部分分式法，获得对角线形式的状态空间表达式。若系统有重极点，则可获得对角线形式的状态空间表达式。若系统有重极点，则可获得约当标准型的状态空间表达式。得约当标准型的状态空间表达式。n ！研究状态空间表达式的标准形式，可以清晰地表示系统的研究状态空间表达式的标准形式，可以清晰地表示系统的结构形式，明确不同系统之间的差异，对状态方程的求解和结构形式，明确不同系统之间的差异，对状态方程的求解和系统的性能分析是非常方便的

44、。系统的性能分析是非常方便的。Canonical Forms五、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型n 时不变线性系统状态变换时不变线性系统状态变换1,xPxxxPxPxxPxPP 称为向量 的线性变换，其中为原系统状态向量， 为相应阶次的非奇异矩阵。 若，则。:xAxBuyCxDu11()()()xP APxP BuyCPxDu：xPx Similarity TransformationEquivalence transformationnonsingular matrix线形变换举例线形变换举例For rotation by an angle counter clockwise a

45、bout the origin, the functional form is and . Written in matrix form, this becomes: Similarly, for a rotation clockwise about the origin, the functional form is and and the matrix form is: For scaling (that is, enlarging or shrinking), we have and . The matrix form is: When , then the matrix is a sq

46、ueeze mapping and preserves areas in the plane.线形变换举例线形变换举例As in two dimensions a matrix can be used to rotate a point (x, y, z) to a point (x, y, z). The matrix used is a 3 3 matrix, This is multiplied by a vector representing the point to give the result The matrix A is a member of the three dimen

47、sional special orthogonal groupRotation五、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型n 时变线性系统状态变换时变线性系统状态变换( ),( )xP ttxP t xx设 为原系统状态向量和对任意 为相应阶次的非奇异、连续可微且有界的矩阵 则为向量 的线性变换。utDxtCyutBxtAx)()()()( )xP t xutDxtCyutBxtAx)()()()(:111( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )A tPt P tPtP tB tPtC tP tA tB tC tDD tt 五、状态空间模型的标准型五

48、、状态空间模型的标准型n 线性系统的代数等价及其性质线性系统的代数等价及其性质u代数等价：代数等价：两个系统能通过线性变换互相转换。两个系统能通过线性变换互相转换。u时不变系统代数等价的性质：时不变系统代数等价的性质：p（1）特征多项式的不变性 定常系统状态矩阵的特征多项式在状态变换下不变定常系统状态矩阵的特征多项式在状态变换下不变p（2）传递函数的不变性 定常系统状态矩阵的传递函数矩阵在状态变换下不变定常系统状态矩阵的传递函数矩阵在状态变换下不变86 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 五、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型EigenvalueEigenvect

49、orthe characteristic polynomialIn MATLAB, typing r=eig (a) ; poly (r) yields the characteristic polynomial.五、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型n 线性代数回顾：矩阵相似变换与对角（约当）化线性代数回顾：矩阵相似变换与对角（约当）化1112diag,nnniiAPP APPvvvv如果矩阵 的特征值互不相同，则存在可逆矩阵使得相似矩阵为如下对角矩阵并且变换矩阵为其中 为相应于 的特征向量。五、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型1112121,2, diag, diag

50、, ililiiiiiiikAm i=lQQ AQA AAAAJJJJ 2如果矩阵 的特征值,为重根,重数分别为,则存在可逆矩阵使得相似矩阵具有约当矩阵其中 由相应于 的约当块构成，即每个约当块具有形式 11iii五、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型11(1)(1) , rank() 0,1, 12illikikiiiiikiki kiikiki kiAmmnAIkmkkQ关于 的求法:求 的所有互异的特征根，重数分别为求每个特征根 对应的约当块的个数计算其中 直到计算的 阶及以上约当块的个数计算的 阶约当）块的个数）01i21(1)0iiiiiiiiiii的 约 当 块 的 个

51、数的 二 阶 及 以 上 约 当 块 的 个 数的阶 及 以 上 约 当 块 的 个 数五、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型1(1)1(1)(2)2( )()0()0,1,()()()ikiikkiikikikikjikikjikkikjiikjikjiikjkkikjiikjikjkAIvAIvkvjvkvAIvvAI vvAIvv对 的每个 阶约当块，求广义特征向量 假设有个 阶约当块，则得到个向量对每个构造 的 阶约当块对应的广义特征向量链3）4）ikjv五、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型(1)(2)( )121212,1,ikiikikjikjikjikjik

52、ikikikikiiiilknkQvvvjkQQQQkQQQQQQQQQ构造 的每个 阶约当块对应的阶矩阵 对应一个 阶约当块对应所有 阶约当块对应5）6）所有约当块构造变换矩阵 五、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型n 例：将矩阵例：将矩阵A化为约当矩阵化为约当矩阵311100111100002011000211000011000011A五、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型5det()(2)AI11222 (5)0 (1)mm11,1llAmm求 的所有互异的特征根 重数分别为）五、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型(1)(1)(1)rank()0,1,*02

53、*,iiikikiiiiikiki kiikiki kii mnAIkmkk 求每个特征根 对应的约当块的个数 直到的 阶及以上约当块的个数的 阶约当块的个数假定）1111100111100000011()(2 )000011000011000011AIAI1262413116 15,3m 11642221002200002200000000()(2 )000000000022000022AIAI331000000000000000000()(2 )000000000044000044AIAI11111012121113131222111111212121313131414011,012202

54、122651,1m 2个1阶以上约当块2个2阶以上约当块1个3阶以上约当块0个1阶约当块1个2阶约当块1个3阶约当块1个1阶约当块五、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型1()0()0,1,ikiikkiikikikikjikkAI vAIvkvj 对 的每个 阶约当块，求广义特征向量 假设有 个 阶约当3）块，则得到 个向量123阶约当块的广义特征向量313213(2 )0(2 )0AIvAIv131001000v 2阶约当块的广义特征向量21212(2 )0(2 )0AIvAI v121001111v201阶约当块的广义特征向量2121(0 )00AI vv211000011v五、

55、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型(1)1(2)2(1)( )()()()ikjikikjiikjkikjiikjkikjiikjkikjikjvkvAIvvAIvvAI vvv4 对每个 构造 的 阶约当块对应的广量）义特征向 链(1 )21 3 11 3 1( 2 )1 3 11 3 1( 3 )1 3 11 3 1220(2),000110(2),000001000vAIvvAIvvv五、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型(1 )1 2 11 2 1( 2 )1 2 11 2 1002(2)200001111vAIvvv(1)211211000011vv(1)1(2)

56、2(1)( )()()()ikjikikjiikjkikjiikjkikjiikjkikjikjvkvAIvvAIvvAI vvv4 对每个 构造 的 阶约当块对应的广量）义特征向 链五、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型(1)(2)( )1212,1,ikiikikjikjikjikjikikikikikiiiikn kQvvvjkQQQQkQQQQ构造 的每个 阶约当块对应的阶矩阵对应一个 阶约当块对应所有 阶约当块对应5）所有约当块(1)(2)(3)131131131131(1)(2)121121121(1)211211313112121212111131222112,Qvvv

57、QvvQvQQQQQQQQQQQQQQ12lQQQQQ构造变换矩阵 6）五、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型n 对角标准型对角标准型 Diagonal Form 11212diag,nniiAxPxxxP BuyCPxDuPvvvv 如果矩阵 的特征值互不相同，则存在状态线性变换使得变换后的系统具有如下对角线标准型并且变换矩阵为其中 为相应于 的特征向量。100 现代控制理论基础讲义现代控制理论基础讲义 龚道雄龚道雄 五、状态空间模型的标准型五、状态空间模型的标准型-1-211222212-1-1-1111010000100001,1, 2,111 nnninnnnnAaaaainAPVandermondeP设设 系系 统统 矩矩 阵阵 为为 正正 则则 型型 ( (友友 矩矩 阵阵 ) ), ,即即且且 特特 征征 值值互互 异异则则 将将化化 为为 对对