第09章组合变形时的强度计算

1、 9- -1 组合变形与叠加原理组合变形与叠加原理 9- -2 拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲的组合与弯曲的组合 9- -3 偏心压缩与截面核心偏心压缩与截面核心 9- -4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 小小 结结1组合变形组合变形：一、组合变形的概念一、组合变形的概念构件同时发生两种以上基本变形构件同时发生两种以上基本变形1) )斜弯曲斜弯曲( (两个平面弯曲的组合两个平面弯曲的组合) )2分类分类2) )拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲的组合，以及偏心拉伸与弯曲的组合，以及偏心拉伸( (压缩压缩) )；3) )扭转与弯曲或扭转与拉伸扭转与弯曲或扭转与拉伸( (压缩压缩) )及弯

2、曲的组合及弯曲的组合；3一般不考虑剪切变形；一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯含弯曲组合变形，一般以弯 曲为主，其危险截面主要依据曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯，一般不考虑弯 曲切应力。曲切应力。1叠加原理叠加原理：二、基本解法二、基本解法( (叠加法叠加法) )在线弹性、小变形下，每一组载荷引起在线弹性、小变形下，每一组载荷引起的变形和内力不受彼此影响，可采用代的变形和内力不受彼此影响，可采用代数相加；数相加；1) )将将外力分解或简化：使每一组力只产生一种基本变外力分解或简化：使每一组力只产生一种基本变 形；形；2基本解法基本解法2) )分别计算各基本变形下的内

3、力与应力；分别计算各基本变形下的内力与应力；3) )将各基本变形应力进行叠加将各基本变形应力进行叠加( (主要对危险截面危险点主要对危险截面危险点) )；4) )对危险点进行应力分析对危险点进行应力分析(s s1s s2s s3)；5) )用强度准则进行强度计算。用强度准则进行强度计算。二、组合变形工程实例二、组合变形工程实例钻床立柱压弯组合二、组合变形工程实例二、组合变形工程实例吊车臂压弯组合二、组合变形工程实例二、组合变形工程实例厂房牛腿偏心压缩路标牌立柱弯扭组合二、组合变形工程实例二、组合变形工程实例例例9- -1 图示起重机的最大吊重图示起重机的最大吊重G=12kN，材料许用应力，材料

4、许用应力s s=100MPa，试，试 为为AB杆选择适当的工字梁。杆选择适当的工字梁。B2m1m1.5mGACFAyFAxFCCABG24kN_FNFCxFCy12kNm_M解：解：1) )作作AB杆的受力简图杆的受力简图 kN243/4kN185 . 10CyCxCyAFFGFM：2) )作作AB杆的内力图杆的内力图C点左截面上，弯矩绝对值最大而轴点左截面上，弯矩绝对值最大而轴力与其它截面相同，故为危险截面。力与其它截面相同，故为危险截面。3) )按弯曲正应力预选按弯曲正应力预选AB梁梁W3maxcm120/| s sMW4) )查表选查表选W=141cm3，按压弯组合变，按压弯组合变 形进

5、行校核形进行校核MPa3 .94|Nmaxs ss s WMAFC1如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分 区域受拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力区域受拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力 和最大压应力，并分别按拉伸、压缩进行强度计算；。和最大压应力，并分别按拉伸、压缩进行强度计算；。2如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略， 则轴向力在横截面上引起附加弯矩则轴向力在横截面上引起附加弯矩D DM=Fy亦不能忽亦不能忽 略，这时叠加法不能使用，应考虑横向力与轴向力略，这时叠加法不

6、能使用，应考虑横向力与轴向力 之间的相互影响。之间的相互影响。xqFFy解：解：1) )横截面形心到横截面形心到F距离距离eFehz ycycFN=FM=Fey2ycbca例例9- -2 图示压力机，最大压力图示压力机，最大压力 F=1400kN， 机架用铸机架用铸 铁制成：铁制成：s st=35MPa， s sc=140MPa，试校核该压力机立柱，试校核该压力机立柱 部分强度。立柱截面几何性质：部分强度。立柱截面几何性质： yc=200mm，h=700mm， A=1.8105mm2，Iz=8.0109mm4。500FFmm500cye 2) )横截面内力横截面内力 FFFeMNFey2ycb

7、caFN=Fs sNs sas sbM=Fe3) )轴力轴力FN对应的横截面上的应力对应的横截面上的应力)()(2压压拉拉zbzcaIFeyIFey s ss s，)(/NN拉拉AFAF s s )MPa(5 .53)MPa(3 .32c2NtNs ss ss ss ss ss ss ss s压压拉拉zbbzcaaIFeyAFIFeyAF弯矩弯矩M对应的横截面上对应的横截面上a、b点的点的应力应力4) )组合应力组合应力s sas sb立柱符合强度要求立柱符合强度要求zyOxO1构件压力与轴线平行但不重合时，即为偏心压缩。构件压力与轴线平行但不重合时，即为偏心压缩。一、偏心压缩一、偏心压缩2横

8、截面任意点的应力横截面任意点的应力1) )对于受偏心压缩的短柱，对于受偏心压缩的短柱，y、z 轴为形心主惯性轴，将轴为形心主惯性轴，将F向形向形 心简化：心简化：F MzMyezFyFFzFyFyMFzM ，( yF，zF)为为F作用点坐标作用点坐标2) )各力在各力在( y，z)点引起的应力为：点引起的应力为：F ：AF/ s sF MzMyFAMz：zFzzIyFyIyM s sMy：yFyyIzFzIzM s s3) )组合应力组合应力( (B点点) ) s ss ss ss s )1(22yFzFizziyyAF yFzFIzFzIyFyAF OzyyFzFAyBzAIiAIiyyzz

9、 22，式中：式中：截面对截面对z、y轴的轴的惯性半径惯性半径3中性轴方程中性轴方程12020 yFzFizziyy1) )利用中性轴处的正应力为零得到利用中性轴处的正应力为零得到0)1(2020 yFzFizziyyAFs s直线方程直线方程OzyyFzFAyBzD1azayD2FyzFzyziayia22 ，2) )中性轴在中性轴在y、z轴上的截距分别为轴上的截距分别为ay、az分别与分别与yF、zF符号相反，故中性轴与偏心压力符号相反，故中性轴与偏心压力F的作用点位于截面形心的两侧。的作用点位于截面形心的两侧。中性轴将截面分成两个区，压力中性轴将截面分成两个区，压力F所在区受压，另一所在

10、区受压，另一区受拉。在截面周边上，区受拉。在截面周边上，D1和和D2两点切线平行于中性两点切线平行于中性轴，它们是离中性轴最远的点，应力取极值。轴，它们是离中性轴最远的点，应力取极值。1定义定义二、截面核心二、截面核心2研究意义研究意义当压力当压力F作用在截面某个区域内时，整个截面作用在截面某个区域内时，整个截面上只产生压应力，该区域就称为上只产生压应力，该区域就称为截面核心截面核心。1) )工程中的混凝土柱或砖柱，其抗拉性很差，要工程中的混凝土柱或砖柱，其抗拉性很差，要 求构件横截面上不出现拉应力；求构件横截面上不出现拉应力；2) )地基受偏心压缩，不允许其上建筑物某处脱离地基受偏心压缩，不

11、允许其上建筑物某处脱离 地基。地基。3求截面核心方法求截面核心方法1) )基本方法：基本方法： 将截面周界上一系列点的切线作为中性将截面周界上一系列点的切线作为中性轴，反求出相应压力轴，反求出相应压力F作用点位置，其连线即为截作用点位置，其连线即为截面核心的周界。面核心的周界。设设y、z轴为形心主惯性轴，周界某一点切线为中性轴为形心主惯性轴，周界某一点切线为中性轴时，在轴时，在y、z轴上的截距分别为轴上的截距分别为ay、az，则压力，则压力F作作用点坐标为：用点坐标为：)/(22zyFyzFaizaiy ，2) )特殊情况特殊情况a) )截面周界有直线段时，对应的压力作用点只是一点；截面周界有

12、直线段时，对应的压力作用点只是一点；b) )截面周界有棱角时，对应压力作用点为一直线；截面周界有棱角时，对应压力作用点为一直线；c) )中性轴不能穿过截面，则当截面周界有内凹时，取中性轴不能穿过截面，则当截面周界有内凹时，取 中性轴为跨过内凹部分的切线。中性轴为跨过内凹部分的切线。4矩形截面核心的求解过程矩形截面核心的求解过程222zByBFBzFiyizzyiy ybhz1235 0/6/22zyFyzFaizhaiy4B(yB，zB)1) )中性轴在中性轴在位置时位置时则则1点坐标：点坐标： zyaha，2/2) )中性轴在尖点中性轴在尖点B处处60bzyFF ，同理：同理：2点：点：06

13、 FFzhy，3点：点：60bzyFF ，4点：点：直线直线1523) )顺序连接顺序连接1,2,3,4得得 到到矩形截面核心矩形截面核心一、单向弯曲与扭转组合变形一、单向弯曲与扭转组合变形1引例引例F FaxlayzAFCBdFaFlMT_1) )外力向形心进行简化外力向形心进行简化建立计算模型建立计算模型2) )作扭矩图和弯矩图作扭矩图和弯矩图问题：对图示钢制摇臂问题：对图示钢制摇臂轴进行强度校核，已知轴进行强度校核，已知构件尺寸和材料的构件尺寸和材料的s s 。找危险截面找危险截面由内力图知：扭矩处处由内力图知：扭矩处处相同，弯矩数值在固定相同，弯矩数值在固定端处最大，则固定端端处最大，

14、则固定端A截面为危险截面截面为危险截面FaTFlMA ，|At tt tK1K2s ss st ts sK1t ts sK2s ss sM T3) )危险截面的危险点：危险截面的危险点：pmaxt|WTWMzA t ts ss s，A截面截面K1、K2点，点，t t、s s数数值均为最大值均为最大危险点危险点xlayAFCBdzK1点：点：pmaxc|WTWMzA t ts ss s，K2点：点：4) )对危险点进行强度计算对危险点进行强度计算从从K1、K2点取单元体，因它们的点取单元体，因它们的s s、t t 数值分别相同，数值分别相同，危险程度也相同，不妨取危险程度也相同，不妨取K1点研究

15、：点研究：As st ts sK1zAWM | s spWT t tK1A向向22r34t ts ss s zWW2p22r3s ss s zWTM22r43t ts ss s 75. 022r4s ss s zWTM zWW2p2讨论讨论1) )对对s sr3、s sr4公式的讨论公式的讨论( (以以s sr3为例为例) )1(31r3s ss ss s 任意应力状态任意应力状态)2(422r3t ts ss s 一方向正应力为零的平面一方向正应力为零的平面 应力状态应力状态)3(22r3zWTM s s圆轴的弯扭组合变形圆轴的弯扭组合变形2) )拉拉( (压压) )、弯、扭组合变形如何进行

16、强度计算、弯、扭组合变形如何进行强度计算分别计算弯曲和轴向拉压在横截面上产生的正应分别计算弯曲和轴向拉压在横截面上产生的正应力，进行代数加减，采用上力，进行代数加减，采用上(1)式或式或(2)式进行强度式进行强度计算。计算。二、双向弯曲与扭转强度计算二、双向弯曲与扭转强度计算基本步骤同前基本步骤同前xyGFyFz3FS2TT例例9- -3 图示皮带轮传动轴，传递功率图示皮带轮传动轴，传递功率P=7kW，转速，转速n=200r/min。皮带轮。皮带轮 重重G=1.8kN。左端齿轮上啮合力。左端齿轮上啮合力Fn与齿轮节圆切线的夹角为与齿轮节圆切线的夹角为20o。 轴材料许用应力轴材料许用应力s s

17、 =80MPa，试按，试按Tresca准则设计轴的直径。准则设计轴的直径。 zyD1ABCD200200400f f300f f500D2FS1=2FS2FS2GG20oFnFyFz解：解：1) )作计算简图作计算简图2/)(2/12S1S2DFFDFTz 2) )作弯矩图作弯矩图( (My、 Mz) )mkN334. 09549 nPTMyMz0.446kNm0.8kNm0.16kNm0.36kNmkN23. 2/22 DTFzkN03. 4)/2(3312S DTFkN81. 020tgo zyFF3) )用用Tresca准则确定轴径准则确定轴径xyGFyFz3FS2TTCD扭矩处处相同，

18、由弯矩图不扭矩处处相同，由弯矩图不难看出：难看出：D截面为危险截面截面为危险截面mkN88. 022 zyDMMM22r3s ss s WTMDmm3 .49 d讨论讨论1) )对于圆轴，由于对称性，同一横截面上两个方向的对于圆轴，由于对称性，同一横截面上两个方向的 弯矩可以矢量合成，按单一弯矩计算：弯矩可以矢量合成，按单一弯矩计算：2) )可以证明两平面弯矩图所有尖点间的合成弯矩图为可以证明两平面弯矩图所有尖点间的合成弯矩图为 凹曲线，因此凹曲线，因此危险截面可能在两个平面弯矩图的所危险截面可能在两个平面弯矩图的所 有尖点处有尖点处；22WzyMMM WTMWTM22Wr422Wr375.

19、0 s ss s，3) )注意圆轴弯扭组合相当应力公式中的注意圆轴弯扭组合相当应力公式中的W是抗弯截面是抗弯截面 系数系数。例例9- -4 图示曲轴尺寸：图示曲轴尺寸：r=60mm，l/2=65mm，l1/2=32mm，a=22mm。连。连杆杆 轴颈直径轴颈直径d1=50mm，主轴颈直径，主轴颈直径d=60mm。曲柄截面。曲柄截面III- -III的尺寸的尺寸 为：为：b=22mm，h=102mm。作用于曲轴上的力有：连杆轴径上的力。作用于曲轴上的力有：连杆轴径上的力 FP1=32kN，FP2=17kN，曲柄惯性力，曲柄惯性力F1=3kN，平，平 衡重惯性力衡重惯性力F2=7kN。材料为碳钢。

20、材料为碳钢s s =120MPa， 试校核曲轴的强度。试校核曲轴的强度。d1l1/2al/2bl1/2l/2badrhl/2l/2d1l1/2abl1/2badOyzxMeFAyFByFAzFBz解：解：1) )作计算简图作计算简图kN20)22(2112P1 FFFFFByAykN5 . 82/P2 FFFBzAzmkN02. 1P2e rFM2) )分析危险截面：分析危险截面：a) )连杆轴颈为双向弯曲与扭转组合连杆轴颈为双向弯曲与扭转组合 变形，中央变形，中央I- -I截面为危险截面截面为危险截面b) )主轴颈也为双向弯曲与扭转组合变形，主轴颈也为双向弯曲与扭转组合变形， 与曲柄交界面与

21、曲柄交界面II- -II截面为危险截面截面为危险截面c) )曲柄是弯曲、扭转与压缩组合变形，曲柄是弯曲、扭转与压缩组合变形， 切于主轴颈的切于主轴颈的III- -III截面为危险截面截面为危险截面IIIIIIIIIIIIIIIIIIF1F1FP1F1F1FP2AB3) )连杆轴颈的强度计算连杆轴颈的强度计算xy平面内的弯矩平面内的弯矩a) ) I- -I截面内力截面内力mkN17. 12/)(2/121 lFFlFMAyzxz平面内的弯矩平面内的弯矩mkN553. 02/ lFMAzy扭矩扭矩T为为mkN51. 0 rFTAz合成弯矩合成弯矩mkN29. 122W yzMMMb) )用用Mis

22、es准则校核强度：准则校核强度：MPa11175. 022Wr4s ss s WTMMeFAyFByFAzFBzF1F1IOyzxF1F1FP1FP2AB4) )主轴颈的强度计算主轴颈的强度计算a) ) II- -II截面内力截面内力xy平面内的弯矩平面内的弯矩mkN44. 0 aFMByzxz平面内的弯矩平面内的弯矩mkN187. 0 aFMBzy扭矩扭矩T为为mkN02. 1e MT合成弯矩合成弯矩mkN478. 022W yzMMMb) )用用Mises准则校核强度：准则校核强度：MPa4 .4775. 022Wr4s ss s WTMIIMeFAyFByFAzFBzF1F1OyzxF1F1FP1FP2AB5) )曲柄的强度计算曲柄的强度计算a) )III- -III截面内力截面内力kN132N FFFBymkN765. 02/e dFMMBzxmkN66. 0)2/( baFMByzmkN281. 0)2/( baFMTBzykN5 . 8Q BzF