五年级奥数讲义盈亏问题与比较法一

1、定义：把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。也就是说：已知两个分配方案，一次分配有余，一次分配不足，求参加分配的人数及被分配的总量。这样的问题通常叫做盈亏问题。典型的盈亏问题一般以下列的形式表述：把若干个苹果（ 未知数 ） 分给若干个人（ 未知数 ） ， 如果每人分2 个还多 20 个， 如果每人分3 个则少 5 个。问总共有多少人？有多少个苹果？题目中的不变量是人数和苹果数，比较两种不同的分配方法，可知苹果相差：20 + 5 = 25 （ 个 ） ；相差 25 个苹果，亳无疑问是由于每人相差苹果3 - 2 = 1 （

2、个 ） 而做成的，事实上，只有唯一一种情况才会导至上述情形，那就是有25 人分苹果！求得人数后，进而可以根据题意，用两种方法求得苹果的数目：2X25+20=70（个）或 3X25 5=70（个）。解盈亏问题的公式【一盈一亏的解法】（盈数+亏数）+两次每人分配数的差=分配人数【双盈的解法】（大盈-小盈）一两次每人分配数的差=分配人数【双亏的解法】（大亏-小亏）+两次每人分配数的差=分配人数学法指导由解盈亏问题的公式可以看出，求解此类问题的关键是小心确定两次分配数量的差和盈亏的总额，如果两次分配是一次是有余，另一次是不足时，则依上面的公式先求得人数（ 不是物数 ） ，再求出物数；如果两次分配都是有

3、余，则公式变成盈额差除以两次分配数之差；如果两次分配都是不足时，则公式变成亏额差除以两次分配数之差，如果有时候， 必须转化题目中条件，才能从复杂的数量关系中寻找解答；有时候， 直接从“包含”入手比较困难，可以间接从其反面“不包含”去想就会比较容易。例 1 小朋友分糖果，若每人分4 粒则多 9 粒；若每人分5 粒则少6 粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。比较两种分配方案，第一种方案每人分4 粒就多 9 粒，第二种方案每人分5 粒就少 6 粒，两种不同的方案一多一少相差9 + 6=15 （粒）。相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案

4、每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5-4=1 （粒）。每人相差1粒，多少人相差15 粒呢？由此求出小朋友的人数为15+1=15 （人），糖果的粒数为4X15+ 9= 69 （粒）。解：（9 + 6） + （5-4） = 15 （人），4X15+ 9= 69 （粒）。答：有15个小朋友，分69粒糖。例 2 小朋友分糖果，若每人分3 粒则剩 2 粒； 若每人分5 粒则少 6 粒。 问： 有多少个小朋友？多少粒糖果？分析：本题与例1 基本相同，例1 中两次分配数之差是5-4=1 （粒） ，本题中两次分配数之差是5-3=2 （粒）。例1中，两种分配方案的盈数与亏数之和为 9+6=15

5、（粒），本题中,两种分配方案的盈数与亏数之和为2 6=8（粒）。仿照例1 的解法即可。解：（6 + 2） + （42） =4 （人），3X4+2=14 （粒）。答：有 4个小朋友，14粒糖果。由例 1、例 2 看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额+两次分配数之差。需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏” 、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。例

6、3 小朋友分糖果，每人分 10 粒， 正好分完；若每人分16 粒， 则有 3 个小朋友分不到糖果。问：有多少粒糖果？分析与解：第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏16X 3=48 （粒），所以盈亏总额是0 +48=48 （粒）,而两次分配数之差是1610= 6 （粒）。由盈亏问题的公式得有小朋友（0+16X 3） + （16 10） =8 （人），有糖 10X8=80 （粒）。下面的几道例题是购物中的盈亏问题。例 4 一批小朋友去买东西，若每人出10 元则多 8 元；若每人出7 元则少 4 元。问：有多少个小朋友？东西的价格是多少？分析与解：两种购物方案的盈亏总额是8 + 4= 12（元），两

7、次分配数之差是107=3（元）。由公式得到小朋友的人数（8 + 4） + （ 107） =4 （人），东西的价格是10X48 = 32 （元）。例 5 顾老师到新华书店去买书，若买5 本则多3 元；若买7 本则少 1.8 元。这本书的单价是多少？顾老师共带了多少元钱？分析与解：买5 本多 3 元，买 7 本少 1.8 元。盈亏总额为3 1.8=4.8 （元） ，这 4.8 元刚好可以买7 5 = 2 （本）书，因此每本书4.8+2=2.4 （元），顾老师共带钱2.4X5+3=15 （元）。例 6 王老师去买儿童小提琴，若买7 把，则所带的钱差110 元；若买5 把，则所带的钱还差30 元。问：

8、儿童小提琴多少钱一把？王老师带了多少钱？分析： 本题在购物的两个方案中，每一个方案都出现钱不足的情况，买 7 把小提琴差110元，买 5 把小提琴差30 元。从买7 把变成买5 把，少买了7 5=2（把）提琴，而钱的差额减少了 11030= 80 （元），即80元钱可以买2把小提琴，可见小提琴的单价为每把 40 元钱。解：（11030） + （75） =40 （元），40X7110=170 （元）。答：小提琴40 元一把，王老师带了170 元钱。练习 131 小朋友分糖果，每人3 粒，余 30 粒；每人5 粒，少 4 粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖？2一个汽车队运输一批货物，如果每辆汽车运3

9、500 千克，那么货物还剩下5000 千克；如果每辆汽车运 4000 千克，那么货物还剩下500 千克。问：这个汽车队有多少辆汽车？要运的货物有多少千克？3学校买来一批图书。若每人发9 本，则少25 本；若每人发6 本，则少7 本。问：有多少个学生？买了多少本图书？4 参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色笔。如果每人分4 支， 那么多 12 支； 如果每人分8 支，那么恰有1 人没分到笔。问：有多少同学？多少支彩色笔？5红星小学去春游。如果每辆车坐60 人，那么有15 人上不了车；如果每辆车多坐5 人，那么恰好多出一辆车。问：有多少辆车？多少个学生？6某数的8 倍减去 153，比其 5 倍多

10、 66，求这个数。7某厂运来一批煤，如果每天烧1500 千克，那么比原计划提前一天烧完；如果每天烧1000 千克，那么将比原计划多用一天。现在要求按原计划烧完，那么每天应烧煤多少千克？8同学们为学校搬砖，每人搬18 块，还余2 块；每人搬20 块，就有一位同学没砖可搬。问：共有砖多少块？陈氏框”解题法盈亏问题A 李明（一）基本概念例1幼儿园老师给小朋友分糖果，每个小朋友分 5个糖果，就多出22个；每个小朋友分7个糖果，就少18个糖果。有几个小朋友和多少个糖果？像这样以份数平均分一定数量的物品， 每份少一些，则物品有余（盈），每份多一些, 则物品不够（亏），凡是研究这一类算法的应用题就叫着盈亏问

11、题。盈亏问题的基本解法是：（盈+亏）+两次分配数的差，求出份数以后再求物品 总数量。若是这样给学生讲解，肯定会造成学生死记硬背，生搬硬套。但是，我们若作出“陈 氏框”，再给学生讲解，就非常容易理解并且很容易灵活运用了。（一）作图：因为有两次分配，分配总量一样，而每份量不一样，我们可以画两行框（二）分析：看图可以明显看出单差是 7-5 = 2 ,总差呢？第一次分多22个，而同 样多的东西，在第二次分不仅这 22个分掉了，还少18个，那么，我们知道第二次一共比第 一次多分掉了 “22 +18 ”个一一这就是总差，即“总差 =盈+亏”（三）根据“单差X份数=总差”可以得出“份数=总差+单差解：人数（

12、即份数）：（22 +18） + （ 7 5） = 20 （人）按照第一次分配情况计算糖果总个数：5X20 + 22 = 122 （个）7X 20 - 18 = 122 （个）按照第二次分配情况计算答：有20个小朋友，和122个糖果。（四）小结：“盈亏问题”用“陈氏框” 解答，主要根据“份数=总差+单差”先求 出份数，再通过份数求出总量。例2 老师给美术活动小组的同学分发图画纸，若每人分 6张，则缺少48张，若每 人分3张，则缺少3张。美术活动小组有多少名同学？老师一共有多少张图画纸？（一）作图:（二）分析：同样多的主张分给同样多的人，第一次分发的结果是“缺少48张”（亏）， 第二次分发的结果是

13、“缺少3张”（亏），两次都是“亏”，可以知道第二次比第一次少分 发“48-3=45”张图画纸，这就是 总差，即“总差=大亏-小亏”。同样的道理，两次都是 盈的话，“总差=大盈-小盈”（三）解：美术小组人数：（48-3） + （6-3） = 15 （人）图画纸总张数：6X 15-48 = 42 （张）按第一次分配情况算或 3X 15 -3 = 42 （张）按第二次分配情况算答：美术活动小组一共有15人，老师一共有42张图画纸。（四）小结：盈亏问题的单差很好找到，就是两次分配的每份数之差，总差则比较复杂， 根据题目条件分配结果不同，有三种计算方式：总差=盈+亏总差=大亏-小亏总差=大盈-小盈（二）

14、比较到哪里较复杂的盈亏问题往往会出现两次分配的份数不同，因此，到底是求哪次的份数呢？这就在于我们自己的选择了，而选择的不同，题目的总差也就会有所不同。例3 四（1）班中队的学生参加夏令营，如果 5个人住一个帐篷，就有2个人没有 住处；如果8个人住一个帐篷，就可以少搭2个帐篷。四（1）班中队有多少学生参加夏令营？（1）摆条件，作图： 我们把一个框代表一个帐篷，框里的数字表示帐篷内住的人数， 因为两次安排的帐篷数量不同，所以在后面多画几个框，以便于比较。叵|叵|多2人正好% 一，少2个帐篷（2）第一种比较：如上图，我们把第二次安排的帐篷数为份数，如果第一次也住同样 多的帐篷，人数就会多出5X2+2

15、=12 （人），这就是总差。第二次住的帐篷个数：（5X 2+2） + （8-5） = 4 （个）学生人数：8X4 = 32 （人） 按照第二次分配情况计算（3）第二种比较：如下图，我们把第一次安排的帐篷数为份数，如果第二次也住满这 同样的帐篷，总人数就少了 8X2 = 16 （人），总差就是2 + 16 = 18 （人）盈+亏第一次住的帐篷个数：（8X2+2） + （8-5） = 6 （个）学生人数：5X6+ 2 = 32 （人）按照第一次分配情况计算答：略（三）转换条件在比较复杂的盈亏问题中，分配后的结果（盈与亏）不是直接告诉我们，如例题 3 中第一种比较，前一次分配结果实际是盈 5X 2+

16、2=12（人），而第二种比较，后一次分配结 果是亏8X2 = 16 （人）。这种隐藏的盈亏结果需要我们对条件进行整理转换才得到，对已 知条件进行转换是解答复杂应用题的一条途径。例4 动物园为猴山的猴子买桃，这些桃如果每只猴分 5个，还剩32个；如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完。问猴有多少只？共买来多少个桃？（1）作图:xZ=>?个优；一样多HiH H-0 余32个7»1 +3+3（2）nn rri rri rsi 梏好分凭z 10R r ?只獴（2）看图分析，在本题中单差不一样，怎么办？我们可以转换条件，假释第二次分配前10只猴也分到8个桃，这样单差就一样了。不过，这样分的话，桃就少了（84） X10 =40 （个）。转换图如下：?只提5 I余花个、=> ?个枕3）一样多0乂J少（87）70二的个解：猴的只数：（8 4） X 10 = 40 （个）（40 + 32） + （ 8 5） = 18 （只）桃的个数：5X18+3