大学物理量子力学简介

1、 经典理论在解释光和实物粒子、原子经典理论在解释光和实物粒子、原子光谱及原子能级时遇到了困难，德布罗意、光谱及原子能级时遇到了困难，德布罗意、薛定谔、海森伯、玻恩、狄拉克等人建立薛定谔、海森伯、玻恩、狄拉克等人建立了反映微观粒子规律的量子力学。了反映微观粒子规律的量子力学。 研究物质波和物质相互作用的学科。研究物质波和物质相互作用的学科。 在量子力学中，为反映微观粒子的波在量子力学中，为反映微观粒子的波粒二象性，用波函数来描述它的运动状态。粒二象性，用波函数来描述它的运动状态。8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 一、波函数、概率密度一、波函数、概率密度 波动方程波动方程)/(2cos),

2、(xtAtxy写成复数写成复数)/(2),(xtiAetxy式为式为式的实数部分式的实数部分kxikxeikxsincoskxikxeikxsincos1i8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 一、波函数、概率密度一、波函数、概率密度 特例：特例：一个自由粒子，不受力场作用，一个自由粒子，不受力场作用，沿沿 x 轴运动。有一确定能量轴运动。有一确定能量 E，动量，动量 P，其物质波为平面简谐波。其物质波为平面简谐波。波长波长PhhE频率频率)/(20),(xtietx)/(2),(xtiAetxy机械波机械波物质波物质波8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 一、波函数、概率密度一、波函

3、数、概率密度 )/(20),(xtietx)(20),(PxEthietx0为波函数的振幅。为波函数的振幅。物质波表示粒子出现的概率。物质波表示粒子出现的概率。 1926 年玻恩指出波函年玻恩指出波函数的物理意义：数的物理意义：8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 一、波函数、概率密度一、波函数、概率密度 实物粒子的波函数在给定时刻，在空实物粒子的波函数在给定时刻，在空间某点的模（振幅）的平方间某点的模（振幅）的平方 |0|2 与该点与该点邻近体积元邻近体积元 dV 的乘积，正比于该时刻在的乘积，正比于该时刻在该体积元内发现该粒子的概率该体积元内发现该粒子的概率 PdVdVP*0020|*

4、0是是0的共轭复数。的共轭复数。. .粒子分布多的地方概率大，德波强度大。粒子分布多的地方概率大，德波强度大。8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 一、波函数、概率密度一、波函数、概率密度 . .20|为粒子在某点附近单位体积元中为粒子在某点附近单位体积元中出现的概率。出现的概率。. .归一化条件归一化条件t 时刻在（时刻在（x，y，z）处出现的几率密度。）处出现的几率密度。1|20dVV1|20dxdydz即粒子某时刻在整个空间出现的概率为即粒子某时刻在整个空间出现的概率为1。8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 一、波函数、概率密度一、波函数、概率密度 8.8.量子力学简介量子力学

5、简介 / / 二、薛定谔方程二、薛定谔方程 8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 二、薛定谔方程二、薛定谔方程 经典力学中，已知力经典力学中，已知力 F 及及 x0、v0，可由牛顿方程求质点任意时刻状态。可由牛顿方程求质点任意时刻状态。 量子力学中，已知起始状态、能量量子力学中，已知起始状态、能量 E和薛定谔方程，可求粒子波函数、粒子在和薛定谔方程，可求粒子波函数、粒子在某一体积中概率、定态时系统能量。某一体积中概率、定态时系统能量。)(20),(PxEthietx 对自由粒子对自由粒子 m、E、P 沿沿 x 轴运动的轴运动的波函数波函数8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 二、薛定谔

6、方程二、薛定谔方程 )(20),(PxEthietx对对 x 求二阶偏导求二阶偏导222224hPx对对 t 求一阶偏导求一阶偏导Ehit2自由粒子动量与能量关系自由粒子动量与能量关系kmEP22代入代入式移项式移项082222hmExk8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 二、薛定谔方程二、薛定谔方程 定态：定态：粒子在势场中运动，而势场只是坐粒子在势场中运动，而势场只是坐标标 x 的的函数，与时间函数，与时间 t 无关，且系统能无关，且系统能量量 E 是与是与 t 无关的常量，系统为定态。无关的常量，系统为定态。， PkEEEPkEEE082222hmExk由由则定态薛定谔方程则定态薛

7、定谔方程0)(82222PEEhmx8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 二、薛定谔方程二、薛定谔方程 推广到三维空间推广到三维空间222222),(),(),(zzyxyzyxxzyx0),(),(822zyxzyxEEhmP引入拉普拉斯算符引入拉普拉斯算符2222222zyx0),(),(8),(222zyxzyxEEhmzyxP定态薛定谔方程定态薛定谔方程或或粒子在势场中振幅方程粒子在势场中振幅方程8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 二、薛定谔方程二、薛定谔方程 要使上式解得的波函数是合理的，对要使上式解得的波函数是合理的，对 要求的条件：要求的条件：zyxdxdydz,2|应

8、为有限值应为有限值可以归一化；可以归一化；zyx、以及应连续；应连续；),(zyx应为单值函数。应为单值函数。8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 二、薛定谔方程二、薛定谔方程 薛定谔方程应用之一。粒子处在薛定谔方程应用之一。粒子处在Ep的的力场中作一维运动。力场中作一维运动。pEkxsin)0( axx及)0( 0ax00 粒子只能在宽粒子只能在宽为为 a 的两个无限高的两个无限高势壁间运动。势壁间运动。0apEx8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 三、一维势阱问题三、一维势阱问题 势阱内势阱内Ep= =0薛定谔方程薛定谔方程0)(8)(2222xhmExx令令228hmEk0)(

9、)(222xkxx谐振方程谐振方程通解通解kxBkxxAxcossin)()(8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 三、一维势阱问题三、一维势阱问题 kxBkxAxcossin)(由边界条件由边界条件,0 x0)0(0B有有,ax0)(a0A有有只有只有0sinka,nka3 ,2 ,1nank228hmExanAxsin)(波函数波函数8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 三、一维势阱问题三、一维势阱问题 势阱内粒子势阱内粒子 E 只能取不连续值，能量量子只能取不连续值，能量量子化是化是,1n2218mahE2228mahnE n 为量子数为量子数ank228hmE由由8.8.量子力

10、学简介量子力学简介 / / 三、一维势阱问题三、一维势阱问题 43 ,2 ，n,412EE，139EE1416EE2228mahnE当当xanAxsin)(波函数波函数dxa20|粒子在该区间内出现的概率粒子在该区间内出现的概率1*0dxa8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 三、一维势阱问题三、一维势阱问题 1sin202xandxannaAa1sin202dxxanAa, 1212aAaA2xanaxsin2)(波函数波函数ax08.8.量子力学简介量子力学简介 / / 三、一维势阱问题三、一维势阱问题 xanax22sin2)|(|粒子在势阱中的概率密度粒子在势阱中的概率密度. .经

11、典理论中，处于无限深方势阱中粒经典理论中，处于无限深方势阱中粒子的能量为连续值，粒子在阱内运动不子的能量为连续值，粒子在阱内运动不受限制，各处概率相等。受限制，各处概率相等。. .量子力学中，前四个能级量子力学中，前四个能级8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 三、一维势阱问题三、一维势阱问题 1n2n3n4n2/aa123402|2/aa00pE1E14E19E116En 很大时，相邻波腹靠得很近，接近经典很大时，相邻波腹靠得很近，接近经典力学各处概率相同。力学各处概率相同。8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 三、一维势阱问题三、一维势阱问题 1. .势阱内任两相邻能级差势阱内任两

12、相邻能级差228)12(mahnnnnEEE12228mahnEE 量子规律在权限条件下可转化为经典物量子规律在权限条件下可转化为经典物理规律。理规律。8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 四、对应原理四、对应原理2. . a 很小时，电子在原子中运动，很小时，电子在原子中运动，E 大，量子化显著，大，量子化显著，a 较大时，较大时，E小，量子化不显著，连续小，量子化不显著，连续变化。变化。8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 四、对应原理四、对应原理例：例：求电子在原子尺度求电子在原子尺度 a =1010 m和普和普通尺度通尺度 a =102 m 势阱宽度范围的相邻能势阱宽度范围的相

13、邻能级。级。解：解：电子能量电子能量2228mahnE431234210101 .98)1063.6(nEeV1037.3152n相邻能级间隔相邻能级间隔2282ahnEeV1054.715n8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 四、对应原理四、对应原理22222882mahnmahnEEnn当当n1时，能量相对间隔时，能量相对间隔n2n1当当n时时nnEE量子化不显著。量子化不显著。经典物理可看成是量子数经典物理可看成是量子数n时量子时量子物理的特殊情况。物理的特殊情况。8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 四、对应原理四、对应原理oax)(xEp0PE)(xEP,0,0PEaxx 和0ax0粒子在粒子在 x a的区域。的区域。8.8.量子力学简介量子力学简介 / / 五、一维方势垒、隧道效应五、一维方势垒、隧道效应oax)(xEp0PE量子力学中，由于粒量子力学中，由于粒子的波粒二象性粒子子的波粒二象性粒子在势垒内和势垒后区在势垒内和势垒后区域的波函数都不为域的波函数都不为0。oax)(x123 粒子的能量不粒子的能量不足以超越势垒，但足以超越势垒，但在势垒中似乎有一在势垒中似乎有一个个“隧道隧道”，能使，能使少量粒子