高考专题复习第二节　同角三角函数的基本关系式与诱导公式

1、第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式学习要求-公众号：新课标试卷:1.掌握同角三角函数的基本关系式:sin2+cos2=1,sincos=tan .2.能利用定义推导出诱导公式2±,±的正弦、余弦、正切.1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系: sin2+cos2=1 . (2)商数关系: sincos=tan . 提醒利用平方关系求三角函数值时,要根据角的范围判断相应三角函数值的符号.2.三角函数的诱导公式公式一:sin(+2k)=sin ,cos(+2k)= cos ,tan(+2k)=tan ,其中kZ. 公式二:sin

2、(+)= -sin ,cos(+)= -cos ,tan(+)=tan . 公式三:sin(-)= -sin ,cos(-)= cos ,tan(-)=-tan . 公式四:sin(-)=sin ,cos(-)= -cos ,tan(-)=-tan . 公式五:sin2-= cos ,cos2-= sin . 公式六:sin2+= cos ,cos2+= -sin . 知识拓展1.同角三角函数关系式的常用变形(sin ±cos )2=1±2sin cos ;sin =tan cos .2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变,符号

3、看象限”,其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.3.在ABC中,(1)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C;(2)sinA+B2=cosC2,cosA+B2=sinC2.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)使sin(+)=-sin 成立的条件是为锐角.()(2)六组诱导公式中的角可以是任意角.()(3)若sin(k-)=13(kZ),则sin =13.()(4)若,为锐角,则sin2+cos2=1.()(5)若R,则tan =sincos恒成立.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(新教材人教A

4、版必修第一册P185T6改编)已知sin =55,2,则tan =()A.-2B.2C.12D.12答案D3.(新教材人教A版必修第一册P194T5改编)已知sin52+=15,那么cos =()A.-25B.15C.15D.25答案C4.(易错题)已知cos(+)=23,则tan =()A.52B.255C.±52D.±255答案C【易错点分析】用平方关系求角时,没有考虑角的象限致误.5.(2020课标理,9,5分)已知(0,),且3cos 2-8cos =5,则sin =()A.53B.23C.13D.59答案A同角三角函数的基本关系式的应用角度一公式的直接应用典例1(

5、2020河北衡水中学高三临考模拟)已知cos-2=255,32,则tan =() A.2B.32C.1D.12答案Acos-2=sin =255,32,cos =-1-sin2=55,tan =2.角度二sin ,cos 的齐次式问题典例2已知tantan-1=-1,求下列各式的值.(1)sin-3cossin+cos;(2)sin2+sin cos +2.解析由已知得tan =12.(1)sin-3cossin+cos=tan-3tan+1=53.(2)sin2+sin cos +2=sin2+sincossin2+cos2+2=tan2+tantan2+1+2=122+12122+1+2=

6、135.角度三sin ±cos 与sin cos 关系的应用典例3已知x(-,0),sin x+cos x=15.(1)求sin x-cos x的值;(2)求sin2x+2sin2x1-tanx的值.解析(1)由sin x+cos x=15,得sin2x+2sin xcos x+cos2x=125,整理得2sin xcos x=-2425.所以(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=4925.由x(-,0),知sin x<0,又sin x+cos x>0,所以cos x>0,所以sin x-cos x<0,故sin x-cos x=-75.(

7、2)sin2x+2sin2x1-tanx=2sinx(cosx+sinx)1-sinxcosx=2sinxcosx(cosx+sinx)cosx-sinx=-2425×1575=24175.名师点评同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin2+cos2=1可以实现角的正弦、余弦的互化,利用sincos=tan 可以实现角的弦切互化.(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值,当利用“平方关系”公式求平方根时,会出现两解,需根据角所在的象限判断角的符号,当角所在的象限不明确时,要进行分类讨论.(3)当分式中分子与分母是关于sin ,cos 的齐次式时,往往转化为关

8、于tan 的式子求解.1.(2020安徽六安舒城中学模拟)已知sin(-)=-23,且-2,0,则cos =()A.53B.53C.52D.52答案A因为sin(-)=-23,所以sin =-23,因为-2,0,所以cos >0,所以cos =53,故选A.2.(2020福建高三考前冲刺适应性模拟)已知tan =2,则sin2-cos2+22sin2+cos2=()A.139B.119C.67D.47答案Asin2-cos2+22sin2+cos2=sin2-cos2+2(sin2+cos2)2sin2+cos2=3sin2+cos22sin2+cos2=3tan2+12tan2+1=3

9、×22+12×22+1=139.3.(2020吉林梅河口第五中学模拟)若(0,),sin(-)+cos =23,则sin -cos 的值为()A.23B.23C.43D.43答案C由诱导公式得sin(-)+cos =sin +cos =23,所以(sin +cos )2=1+2sin cos =29,则2sin cos =-79<0,因为(0,),所以sin >0,所以cos <0,所以sin -cos >0,因为(sin -cos )2=1-2sin cos =169,所以sin -cos =43,故选C.诱导公式的应用1.(2020四川叙州第二中

10、学模拟)tan-176=()A.-33B.3C.33D.3答案Ctan-176=tan-18+6=tan-3+6=tan-4+6=tan+6=tan6=33.2.(2020江西师大附中模拟)已知函数f(x)=ax-2+2(a>0且a1)的图象过定点P,且角的始边与x轴的正半轴重合,终边过点P,则cos112-sin92+sin2cos2+sin(-)=()A.23B.23C.32D.32答案B易知函数f(x)=ax-2+2(a>0且a1)的图象过定点P(2,3),故tan =32,则cos112-sin92+sin2cos2+sin(-)=cos32-sin2+sin2cos2+s

11、in=-sincos+2sincos-sinsin=cossin=1tan=23.3.(2020四川泸县第四中学模拟)若sin x=3sinx-2,则cos x·cosx+2=()A.310B.310C.34D.34答案A易知sin x=3sinx-2=-3cos x,所以tan x=-3,所以cos xcosx+2=sin xcos x=-sinxcosxsin2x+cos2x=-tanxtan2x+1=310.4.(2019启东中学调研)若f(x)=sin2x+1,且f(2 020)=2,则f(2 021)=. 答案1解析因为f(2 020)=sin2×2 0

12、20+1=sin(1 010+)+1=sin +1=2,所以sin =1,cos =0.所以f(2 021)=sin2×2 021+1=sin2+1 010+1=cos +1=1.名师点评1.诱导公式的两个应用(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了;(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.2.诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数任意正角的三角函数02的角的三角函数锐角三角函数3.利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形的过程;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.同角关系式及诱导公式的灵活应用典例4(1)已知为锐角,且2ta

13、n(-)-3cos2+5=0,tan(+)+6sin(+)-1=0,则sin 的值是()A.355B.377C.31010D.13(2)(2019唐山模拟)已知sin52+=35,则tan 的值为()A.-43B.34C.±43D.±34答案(1)C(2)C解析(1)由已知可得-2tan +3sin +5=0,tan -6sin -1=0,解得tan =3,又为锐角,故sin =31010.(2)因为sin52+=sin2+=cos =35,所以sin =±45,tan =sincos=±43.名师点评1.“切弦互化”在化简求值中的应用(1)弦化切:把正

14、弦、余弦化成切的结构形式,统一为“切”的表达式进行求值.常见的结构有:sin ,cos 的二次齐次式(如asin2+bsin cos +ccos2)的问题常采用“切”代换法求解;sin ,cos 的齐次分式如asin+bcoscsin+dcos的问题常采用分式的基本性质进行变形.(2)切化弦:若单独出现正切,则运用公式tan =sincos,把式子中的切化成弦.2.同角关系式及诱导公式应用的关键利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简的关键是寻求条件和结论间的联系,灵活使用公式进行变形.1.(2020江西南昌三模)已知sin =13,则cos(-)tan2-=. 答案-13解析co

15、s(-)=cos(-)=-cos ,tan2-=sin2-cos2-=cossin,cos(-)tan2-=cos ·sincos=sin =13.2.(2020上海黄浦高三二模)若sin =-223,为第三象限角,则sin32+=. 答案13解析由sin =-223,为第三象限角,得cos =-1-sin2=13.由诱导公式可得sin32+=-cos ,所以sin32+=13.A组基础达标1.若角的终边落在第三象限,则cos1-sin2+2sin1-cos2的值为()A.3B.-3C.1D.-1答案B2.(2019湖北八校联考)已知sin(+)=-13,则tan2-=()

16、A.22B.22C.24D.±22答案D3.(2020四川泸县第一中学模拟)已知R,则“cos2+>0”是“为第三象限角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B4.(2020福建泉州高三质检)在平面直角坐标系xOy中,角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点M(-3,4),则sin(-2)=()A.725B.725C.2425D.2425答案D5.(2020福建三明模拟)已知cos(75°+)=13,则sin(-15°)+cos(105°-)的值是()A.13B.13C.23D.23答案D

17、6.(多选题)在ABC中,下列结论正确的是()A.sin(A+B)=sin CB.sinB+C2=cosA2C.tan(A+B)=-tan CC2D.cos(A+B)=cos C答案ABC7.(多选题)已知sin+3cos3cos-sin=5,则下列计算结果正确的是()A.tan =12B.tan =2C.cos2+12sin 2=35D.sin2cos 2=65答案BC8.(2019河南安阳模拟)已知sin x+cos x=3-12,x(0,),则tan x=()A.-33B.33C.3D.3答案Dsin x+cos x=3-12,x(0,),1+2sin xcos x=1-32,2sin

18、xcos x=-32<0,x2,sin x-cos x>0,sin x-cos x=(sinx-cosx)2=1+32,联立得sin x=32,cos x=-12,tan x=sinxcosx=3.9.(2020陕西榆林绥德中学模拟)已知sin(-)=-2sin2+,则sin ·cos=. 答案-2510.(2019广东惠州模拟)已知sin+3=1213,则cos6-=. 答案1213解析因为sin+3=1213,所以cos6-=sin2-6-=sin+3=1213.B组能力拔高11.当kZ时,sin(k-)cos(k+)sin(k+1)+cos(k+

19、1)+的值()A.为-1B.为1C.为±1D.与的取值有关答案A当k为奇数时,原式=sin(-cos)sincos=-1;当k为偶数时,原式=-sincos-sin(-cos)=-1.综上,原式=-1.12.已知sin +cos =12,(0,),则1-tan1+tan=()A.-7B.7C.3D.3答案A因为sin +cos =12,所以(sin +cos )2=1+2sin cos =14,所以sin cos =-38,又因为(0,),所以sin >0,cos <0,所以cos -sin <0,因为(cos -sin )2=1-2sin cos =1-2

20、5;-38=74,所以cos -sin =-72,所以1-tan1+tan=1-sincos1+sincos=cos-sincos+sin=-7212=7.13.已知sin +cos =15,(0,),则sin cos(-)=,tan =. 答案1225;-43解析因为sin +cos =15,所以(sin +cos )2=1+2sin cos =125,所以sin cos =-1225.所以sin cos(-)=-sin cos =1225,所以(sin -cos )2=1-2sin cos =4925,又(0,),所以sin >0,cos <0,则sin -cos >0,所以sin -cos =75.联立sin+cos=15,sin-cos=75,解得sin=45,cos=-35,所以tan =-43.14.设f()=2sin(+)cos(-)-cos(+)1+sin2+cos32+-sin22+(1+2sin 0).(1)化简f();(2)若=-236,求f()的值.解析(1)易知f()=(-2sin)·(-cos)-(-cos)1+sin2+sin-cos2=2sincos+cos2sin2+sin=cos(2sin+1)