重庆市沙坪坝区部分重点中学适应性考试数学适应性考试(理工农医类)

1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学适应性考试（理工农医类）数学试题卷（理工类）共4 页。满分150 分。考试时间120 分钟。注意事项：1答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3答非选择题时，必须使用0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：如果事件A, B 互斥，那么 P( AB)P( A) P(B)如果事件A, B 相互独

2、立，那么P( AB) P( A) P( B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率Pn kCnk p k 1p n k ；一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。是第四象限角，tan5，则 sin（C）1121B1C5D5A 5131352若复数 21 的实部与虚部分别为a ， b ，则 ab 等于（A ）A 2iB 2i22iCD 3命题 “若 x21，则 1x1 ”的逆否命题是（D ）A 若 x2 1，则 x 1或 x 1B 若1 x 1 ，则 x 21C若x 1

3、或x1，则 x21D 若 x1121 或 x ，则 x4已知圆 x 2y 24 与圆 x 2y26x 6 y140 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程是（ D ）A x 2 y 1 0B 2x y 1 0C x y 3 0D x y 3 05 2010 年“上海世博会”于5 月 1 日开幕。现从5张100元，3张 200 元， 2 张 300 元世博会门票中任取 3 张，则所取3 张中至少有2 张价格相同的概率为（C ）1B793D23A C41204246函数 yln x1(x0) 的反函数为（B）A y ex 1 ( x R)B y ex 1 (x R)C y ex 1 (x 1)D

4、y ex 1 ( x 1)7从抛物线 y 24x 上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM5设抛物线的焦点为 F 则MPF 的面积为（ C）A 6B 8C 10D158将 4 个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3 个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中球数不能少于2 个，则所有不同的放法的种数为（D ）A 12B 13C 16D 189平面外有两条直线m 和 n ，如果 m 和 n 在平面内的射影分别是直线m1 和直线 n1 ，给出下列四个命题： m1 n1m n ；m nm1 n1 ； m1 与 n1 相交m 与 n 相交或重合； m1 与 n1 平行m 与

5、n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（D）A. 1B.2C. 3D.410已知 f ( x)a ln x1 x2 (a 0) ，若对任意两个不等的正实数x1 , x2 都有 f ( x1 )f (x2 )2 恒2x1x2成立，则 a 的取值范围是（B）A 1,B 1,C 0,1D 0,1二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分，把答案填写在答题卡相应位置上11已知向量a4, 2 ，向量 bx,1 ，且 a b ，则 a b 的值是10 12已知 sin4 ， cos3 ， ,0,，则 sin24 5522513已知函数 f (x)x 31 , x1an 12a3 x1,若f

6、( x) 在 R 上连续，则 lim ()a,x 1nn3nx2y21 的左焦点，在x 轴上 F 点的右侧有一点A ，以 FA 为直径的圆与双14设 F 为双曲线169曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为FNFMM、N，则的FA值为 4；515如图，已知各顶点都在半球面上的正三棱锥，其侧面积为15 ,则这个球的表面积是16.3三、解答题：本大题共6 小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（本小题满分 13 分，（）小问6分，（）小问7 分）已知 ABC 中角 A 、B 、 C 的对边分别为 a, b, c, a5, b 3,4 cos2A cos2C 3.（）求 c 的

7、值；（）求 sin(2 A) 的值。4【解】：（）在ABC中,4 cos2Acos2C34(1 2sn2 A)(12 sin2 C )3（2 分）2 sin Asin C（4 分）根据正弦定理：casin Csin A于是 csin C a2a25,（6 分）sin A（）在ABC 中，根据余弦定理，得c2b2a 22 5cos A2cb5于是 sin A1cos2A55从而 sin 2 A42sin A cos A5cos2 Acos2 Asin 2A3（ 12分）5所以 sin( 2A)sin2Acoscos2Asin2（ 13分）1044417（本小题满分13 分，（）小问6 分，（）小

8、问7 分）盒中装有4 个大小形状相同的小球，球上分别标有号码0，1，1，2 ，从盒中有放回地抽取两个小球 ( 每次抽取一个小球).（）求这两个小球号码不相同的概率；（）记为这两个小球上号码的乘积，求随机变量的分布列及其数学期望E；22【解】：（）两小球都为0 或都为 2 的概率均为：1，都为 1 的概率为：14212125 所求概率 P1 2·····················&#

9、183;··········6 分428（） P011C 21137P1111444416224P2C21 111P4111···········10 分2444416 的分布列为0124P7111164416E0711214111 3 分16441618（本小题满分13 分，（）小问 7 分，（）小问6 分）若函数 f xax 28x6 ln x 在点 M 1, f1 处的切线方程为y

10、 b（）求 a, b 的值及f x 的单调递减区间；（）若对于任意的x1, 4，恒有 fx7 lne2ln em 成立， 求实数 m 的取值范围 （其中 em为自然对数的底数） 【解】：（）因为 fx2ax6，由题意得f102ax 8680 ，得 a1x2xx则 fx8x6 ln x ，由题意 f 1b故 a1， b 7 （3 分）令 f x2x 860 ，则2x28x 6 0xx1 x 3 0 ，x 3 或 0 x 1即 fx的单调递增区间为0, 13,（6 分）（）因为 x1, 4，又由（）知函数 fx 在区间 1,3 上为增函数，在3, 4 上为减函数，所以 fx max f 3924

11、6ln 3 156 ln 3 ；又 7 lne2156 ln m ，由题意15 6 ln 3 15 6 ln m ，解之得 m 3ln emm故 0m 3 （ 12 分）19（本小题满分 12 分，（）小问6 分，（）小问 6 分）直四棱柱ABCD1 11 中，底面 ABCD 为菱形，且BAD1AB, E为A1BC D60,AABB1 延长线上的一点， D1 E面 D1AC （）求二面角EACD1 的大小；（）在 D1 E 上是否存在一点P ，使 A1P/ 面 EAC 若存在，求 D1P : PE 的值；不存在，说明理由【解】：（）连接 BD 交 AC 于点 O ，连接 EO、 D1O ； A

12、DDC ，ADD1 CDD1 ，AD1CD1D1OAC ，同理可证EOAC ，D1OE 就是二面角 EACD1的平面角。设B1 Ex ， D1 Ey ， AA1AB2 D1E平面 D1 AC ； D1EAD1 ，在 Rt AD1ED1E 2AD12AE 2AB 2BE 2y 22中2 24 x 2 2 ；又连接 B1 D1 ，在 Rt D1B1E 中， B1 D12B1E2D1E2， 4x2y2，联立方程组解得x1， Rt OD1 E 中，记D1 OE， cos224（）存在这样的点P，当 D1P: PE3 : 2时， A1P 平面 EAC 证明如下：连接 A1 C1 ， D1 B1 相交于点

13、 O1，过点 O1作 O1P OE 交 D1E 于 P ，连接 A1P 由于 A1 C1 AC ， O1 P OE ，平面 A1 PO1 平面 EAC ； A1 P 平面 EAC 。设 OE D1B1MB111O1 M2D1P D1O13M ，则3， MB1，所以PE O1M2OB3320（本小题满分12 分，（）小问5 分，（）小问7 分）已知椭圆 C : x2y 21 a b0 的离心率 e2，点 F 为椭圆的右焦点，点A、 B 分别为椭a2b 22圆长轴的左、右顶点，点M 为椭圆的上顶点，且满足MF FB21（）求椭圆 C 的方程；（）是否存在直线l ，当直线 l 交椭圆于 P ， Q

14、两点时，使点 F 恰为PQM 的垂心。若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由x2y 21 ab 0【解】：（）由椭圆方程为b2a 22c2由题意 ea22又 MF FB2 1，即 c ac2 1 ，又 a2c ， c 21c 1， a2 a 22 ， b21；故椭圆方程为x2y21 5 分2（）假设存在直线l 交椭圆于 P 、 Q 两点，且 F 恰为PQM 的垂心，则设 P x1 , y1 ， Q x2 , y2， M 0,1， F 1, 0 ，故 kPQ16 分于是设直线 l 为 yxyxmm ，由22 y2得：x23x24mx 2m 220 8 分MP FQ0x1 x21y2

15、y1 1 0又 y1 x1m ， y2 x2m得 x1 x21x2m x1m1 0，即2x1 x2x1x2m 1m2m 0 ，由韦达定理得：2 2m22 4m m 1 m 2m 033解得 m4或 m4符合条件，则直线 l 的方程为y x431（舍），经检验 m 12 分3321（本小题满分12 分，（）小问3 分，（）小问4 分，（）小问5 分）已知数列 an 满足递推关系， an12an23anm ( n N * ) ，又 a11an1（）在 m1时，求数列 an 的通项公式；（）问 m 在什么范围内取值时，能使数列 an 满足不等式 an 1an 恒成立？（）在 3m1时，证明：11.11a1a1a112n2n1解：（）当 m2an23an12an 1，所以 an12 an 1 ，又 a1 11时， an 1an11 an2n1 nN