第2章静电场和恒定电流电场

1、第一节第一节 静电场的基本规律静电场的基本规律 静电场：静电场：相对观察者静止且量值不随时间变化的相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。电荷所产生的电场。一一. . 静电场的基本方程静电场的基本方程d0SBsd() dlSDHlJStddlSBElSt ddSVDsVqDHJtBEt D0B0EDd0lElddSVDsV静电场的静电场的基本方程基本方程有源无旋场有源无旋场二二. . 电位电位E 标量函数标量函数 称为电位。因此，上式表明静电场在称为电位。因此，上式表明静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的负值。某点的电场强度等于该点电位梯度的负值。1. 1. 电位的引出电位的引

2、出0,E根据矢量恒等式根据矢量恒等式0d0lEl静电场是保守场（无旋场）静电场是保守场（无旋场）2. 2. 已知电荷分布，求电位已知电荷分布，求电位11( )4NiPiiqrr2). 2). 点电荷系的电位点电荷系的电位1( )4vdqrr3). 3). 连续分布带电体的电位连续分布带电体的电位1). 1). 点电荷的电位点电荷的电位( )4Pqrr1( )4dlrr1( )4dSrr1( )4dvrr线分布：线分布：面分布：面分布：体分布：体分布： 注意注意：以上都：以上都是将电位零点定于是将电位零点定于无限远处，但对无无限远处，但对无限大带电体须选有限大带电体须选有限远处某点为电势限远处某

3、点为电势零点。零点。三三. . 电位与电场强度的关系电位与电场强度的关系E OPPOPOEdlEdl 0O令令 ，则，则PPEdl 零 点四四. . 电位方程电位方程0,ED/E E 2/E 2/ 电位的电位的泊松方程泊松方程在没有电荷的无源区：在没有电荷的无源区：020 电位的电位的拉普拉斯方程拉普拉斯方程五五 静电场的边界条件静电场的边界条件12ttEE120snnDD两种媒质分界面上的面电荷密度两种媒质分界面上的面电荷密度E /nEE nnn 1212tt nnDEn /tEE ttt 12120snn表明表明: : 在介质分界在介质分界面上，电位是连续的。面上，电位是连续的。表明表明:

4、 : 在一般情况下在一般情况下, , (0)s ，电位的导数，电位的导数是不连续的。是不连续的。0tnsED 当分界面为导体与电介质的交界当分界面为导体与电介质的交界面时，由于导体的特殊性质，在导体和介质的分解面上面时，由于导体的特殊性质，在导体和介质的分解面上的边界条件有其特点。导体在静电场中有以下性质：的边界条件有其特点。导体在静电场中有以下性质：1 1）导体内部不带电，电荷只分布在导体表面上；）导体内部不带电，电荷只分布在导体表面上；2 2）导体内部电场为零；）导体内部电场为零；3 3）导体表面电场方向为法线方向，导体是个等势体，）导体表面电场方向为法线方向，导体是个等势体，表面是等势面

5、。表面是等势面。 导体和电介质分界面上的边界条件为：导体和电介质分界面上的边界条件为：12ttEE120snnDDsCn 六六 静电场的能量静电场的能量,()EDDDD ()()E DDDDD 11()22WdvD dv1122WdvD dS12WE Ddv（1 1）()D dvD dS（高斯定理）（高斯定理）12Wdv（2 2）12D dS通常通常 = 0= 0例例1 1 平行板电容器极板平面的尺寸远大于它们之间的距平行板电容器极板平面的尺寸远大于它们之间的距离离d d，两极板间加恒定电压，两极板间加恒定电压 ，极板间的介电常数为，极板间的介电常数为 ，其中一半空间有体电荷均匀分布，体电荷密

6、度为其中一半空间有体电荷均匀分布，体电荷密度为 ，分，分界面与极板平行。试求极板间的电位分布。界面与极板平行。试求极板间的电位分布。0U解解dOx2122,0,022dxdxd 因为因为 ， 与坐标与坐标y y，z z 无无关，电位方程可简化为：关，电位方程可简化为：122222121222,0,dddxdx解得：解得：21122342xC xCC xC 边界条件：边界条件：11212122220(0)0()()22( )ddxxddxxdU012032438088UdCdCUdCddCdOx2012023()28()88UdxxdUddxd 022dxdxd例例2 2 无限长同轴圆柱，已知内

7、导体半径为无限长同轴圆柱，已知内导体半径为 ，外导体半，外导体半径为径为 ，内外导体间充以介电常数为，内外导体间充以介电常数为 的电介质，内导的电介质，内导体电位为体电位为 ，外导体电位为，外导体电位为0 0，求内外导体间电场及内外，求内外导体间电场及内外导体上的电荷分布。导体上的电荷分布。1RU2R解解 取柱坐标系，内外导体间的电位方程为：取柱坐标系，内外导体间的电位方程为：21()0ddrr drdr12( )lnrCrC边界条件：边界条件：1111222122,()ln,()0ln0rRRUCRCUrRRCRC2121212ln,ln/ln/URUCCRRRR 21212ln( )lnl

8、n/ln/URUrrRRRR电场强度：电场强度：21( )ln/UErrrrrRR vsnD12121221(),()ln/ln/ssUURRRRRRRR 例例3 3 求半径为求半径为a a，电量为，电量为Q Q 的均匀带电球体所产生的电的均匀带电球体所产生的电位，已知球内是介电常数为位，已知球内是介电常数为 的电介质，球外是真空的电介质，球外是真空。解解 因为电荷球对称分布，当取球心为原点的球坐标系因为电荷球对称分布，当取球心为原点的球坐标系时，它所产生的电位仅是时，它所产生的电位仅是r r 的函数，故电位方程为：的函数，故电位方程为：221222221(),()1()0,()ddrrard

9、rdrddrrardrdr 2132,()8,()QrABraarCDrar 2132,()8,()QrABraarCDrar 边边界界条条件件21121200000084rararararDrAQCBaaQCrr 时，则时，应有限，则解得：解得：084QQBaa22213020(),()84,()4QrQarraaaQrar第二节第二节 恒定电流电场的基本规律恒定电流电场的基本规律一一. . 恒流电场的基本方程恒流电场的基本方程I导电导电媒质媒质电介质电介质1. 1. 导电媒质外的电介质中导电媒质外的电介质中BEt D0E0D0Bt积分形式积分形式微分形式微分形式d0lEld0SDs恒流电场

10、在电介质中恒流电场在电介质中是保守场，可引入电是保守场，可引入电位位 ，即：，即：E=-E=- I导电导电媒质媒质电介质电介质2. 2. 在导电媒质内在导电媒质内0E电荷守恒定律的微分形式：电荷守恒定律的微分形式：Jt 电流连续性方程电流连续性方程0t0J 积分形式积分形式微分形式微分形式d0lEld0SJs0E0J 恒流电场在导电媒质恒流电场在导电媒质中是保守场，可引入中是保守场，可引入电位电位 ，即：，即：E=-E=- 电导率为无限大的导体称为电导率为无限大的导体称为理想导体理想导体。电导率为零的媒质，电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为不具有导电能力，这种媒质称为理想介质理想介

11、质。 71017.671080.531071010.451071054.3111071057.112107101510媒媒 质质电导率电导率(S/m)媒媒 质质电导率电导率银银海海 水水4紫紫 铜铜淡淡 水水金金干干 土土铝铝变压器油变压器油黄黄 铜铜玻玻 璃璃铁铁橡橡 胶胶JE 在外源的作用下，大多数导电媒质中某点的传导电流密度在外源的作用下，大多数导电媒质中某点的传导电流密度 J 与该点的电场强度与该点的电场强度 E 成正比，即成正比，即欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式二二. . 恒流电场的电位方程恒流电场的电位方程0E 媒质中媒质中0J JE20恒流电场的电位方程恒流电场的电位方程E

12、 介质中介质中0DE 20 三三. . 恒流电场的边界条件恒流电场的边界条件（推导过程和电磁场边界条件的推导方法类似）（推导过程和电磁场边界条件的推导方法类似）恒流电场的电位方程恒流电场的电位方程1.1.不同导电媒质分界面上的边界条件不同导电媒质分界面上的边界条件1212ttnnEEJJ121212nn1212()0 ()0nEEnJJ 另一种表示方法另一种表示方法2.2.导电媒质和理想介质（导电媒质和理想介质（ ）分界面上的边界条件）分界面上的边界条件012120ttnnEEJJ1212()0 ()0nEEnJJ 或或 在导电媒质表面：在导电媒质表面：1nsD1sn D或或3. 3. 具有漏

13、电电流的两非理想介质分界面的边界条件具有漏电电流的两非理想介质分界面的边界条件121212ttnnnnsEEJJDD121212()0 ()0 ()snEEnJJnDD 121122nnnnJJEE121122nnsnnsDDEE12212()snJ四四. . 电容和电导电容和电导电容电容qCU电导电导IGU例例2 2 设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面之间的电阻。计算两个端面之间的电阻。 Uyxtabr0(r,)0解解 显然，必须选用圆柱坐标系。设显然，必须选用圆柱坐标系。设两个端面之间的电位差为两个端面之间的电位差为U，且令，且令 当角度当角度 时，电位时，电位 。001当角度当角度 时，电位时，电位 。2U2电位电位 仅与角度仅与角度 有关，电位满足的方程式有关，电位满足的方程式0dd22此式的通解为此式的通解为 21CC 利用给定的边界条件，求得利用给定的边界