第三讲有效前沿与最优证券组合

1、第三讲有效前沿与最优证券组合第1页，共35页。有效前沿的定义：定义定义3.1 设S是N种证券的选择集，如果其中存在一个子集F(p)，具有如下性质：1.在给定的标准差（或方差）中，F(p)中的证券组合在S中具有最大的期望收益率。2.在给定的期望收益率中，F(p)中的证券组合在S中具有最小的标准差（或方差）。则称F(p)为有效前沿（efficient frontier），简称前沿（边界）。 第2页，共35页。3.1 N种风险证券组合的有效前沿（一）两种风险证券组合的有效前沿两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为 a 和 b，方差和协方差分别为对任一组合p= (x，1-x)，x0，1 ，证券组合p

2、的期望收益率和方差如下： rrbabaab,22baprxrxr)1 (_22222(1)2 (1)pabababxxxx 第3页，共35页。讨论证券组合P的有效前沿形状1） 2）3） 1ABBApxx)1 ( 1AB(1)pABxx 11AB2_2pprD_pFrG 0)/()2(2_22BABAABBArrD第4页，共35页。2种和3种风险证券的有效前沿 r p B rp C ab=-1 2 ab=1 4 3 C D 1 B A AO p O p 图3.1 图3.2第5页，共35页。例题两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为 a=4.6% 和 b=8.5% ，方差和协方差分别为求这两种风

3、险资产的有效前沿。rr%7 . 4,%)33. 6(,%)62. 5(2222baba4.6%(1) 8.3%prxx22222(5.62%)(1)(6.33%)2 (1) 4.7%pxxxx第6页，共35页。N种风险证券的有效前沿 r p O p 图3.3 E第7页，共35页。（二)N中风险证券组合泽的有效前沿设市场上有N种风险证券，它们的收益率和方差为有限值 ，这些收益率的方差-协方差矩阵V为正定矩阵 ，N种证券的期望收益率为： N种证券组合P表示为： 证券组合期望收益率和方差分别为TNrrrr),.,(_2_1TNxxxX),.,(21_rXrTpVXXTp2第8页，共35页。 按有效前

4、沿的定义，求有效前沿即要求解下规划问题：VXXT21min_, .pTrrXts1IXT第9页，共35页。构造拉格朗日函数一阶条件： 12TLX VX_()(1)TTprX rX I_0TLVXrIX_0TpLrX r10TLX I 第10页，共35页。由于V为正定阵，V的逆矩阵存在。求解得 _1_11_11()()()1()()TTpTXVrIrr Vrr VIIVrI VIDrABDArCpp/ )(/ )(_1TAI Vr_1TBr Vr1TCI VI02ABCD第11页，共35页。对于另一个指定的 ，在前沿上的证券组合为： IVDrABrVDArCXppp1_1_qrIVDrABrVD

5、ArCXqqq1_1_第12页，共35页。两个证券组合的协方差为令 ，则得前沿上的证券组合方差为：),cov(qprrDCpr (CAqr)(CAC1) qprr2p(DCpr2)CAC1第13页，共35页。 Cp/121/)/(22CDCArp A/C MVP O (1/C)1/2 ppr第14页，共35页。32 允许对无风险证券投资的有效前沿无风险证券（例如国库券等）的期末收入是确定的。因此这种证券的方差为零，从而它和任何一种股票的协方差也为零。我们把无风险证券简称为债券。 第15页，共35页。一种风险证券和一种无风险证券股票A和债券以 记投入债券的比例，则 是购买股票的比例。证券组合的期

6、望收益率和标准差分别为： 1x211xx _11(1)pfArx rx r1(1)pAx第16页，共35页。一种风险证券和一种无风险证券得证券组合的期望收益率 和标准差的关系： _()/pfAfAprrrr第17页，共35页。图3.5 prfrpB A C 。 ArAO 第18页，共35页。两种股票A和B，及一种债券 有效前沿为从(0，rf)出发，与双曲线AB相切的射线 frprpr C A Dp B O e 第19页，共35页。N 种股票及一种债券 问题 s.t 构造拉格朗日函数： 1min2TX VX_(1)TTfpX rX I rr12TLX VX_(1)TTfpX rX I rr第20

7、页，共35页。 一阶条件：_()0fTLVXrr IX_()0TpffLrrXrr I第21页，共35页。 得证券组合的投资比例 其中证券组合的方差为 或_1()()/pfpfXVr r I rrH_12()()2TffffHrr IVrrBr Ar C_22() /TppppfXVXrrH_()/ppfrrH第22页，共35页。切点证券组合(tangency portfolio) 切点证券组合e的投资比例 _()efADrCC ACrffCrAArB1/221()efDC ACrC22_12(/)()(/)feffA CrCDXVr r IC H A Cr第23页，共35页。 切点的证券组合

8、 1()(/)fefVrr IXC A CrffCrAIrrV)(1第24页，共35页。3.3 最优证券组合N种风险证券的情形设投资者的效用函数为 ，并设 和 ，下标1，2分别表示对U的第1，2个变元求导。 意味着对给定的风险 ，投资者认为期望回报率越大越好。 意味着对给定的期望回报率 ，投资者认为风险 越小越好。 2( ,)ppU r10U 20U 10U 2ppr20U pr2p第25页，共35页。 这时投资者的问题可表述为 s.t max(,)TTU X r X VX1TX I 第26页，共35页。 构造拉格朗日函数一阶条件 (,)(1)TTTLU X r X VXX I_1220TLU

9、 rU VXIX10TLX I 第27页，共35页。 一阶条件变形得：从而得出：_1122UXVrU 122VIU11212TTUI XI VrU 122TI VIU 212UAUC第28页，共35页。 把代回X中可得最优投资比例 ：*122AUXU ArV111212AUVIUC122dAUXU 1212gAUXU 第29页，共35页。 定理3.1 当市场上只有风险证券时，任何投资者的最优证券组合都是由 和 的凸组合构成的。 又最优证券组合O*是投资者的无差异曲线和有效前沿的切点，故有：推论1 任何效用无差异曲线和有效前沿的切点都是由 和 的凸组合构成的。 有效前沿又可以看成由所有切点组成，因而有：推论2 有效前沿上任何一点都是 和 的凸组合。第30页，共35页。最优证券组合存在无风险证券的情形 设 N种风险证券和一种债券，在风险证券上的投资比例为X，在无风险证券上的投资比例为（1 XI），从而证券组合的期望收益率第31页，共35页。 证券组合的期望收益率 投资者的问题可表示为： (1)TTpfrX rX I r()TffrXrr Imax(),)TTffU rXrr IX VX第32页，共35页。 一阶条件最优投资比例为 在债券上的投资比例为(1 X*I) 12()20fTUU rr IU V