函数极限的习题课ppt课件

1、函数极限习题课函数极限习题课一、基本内容一、基本内容二、例题选讲二、例题选讲一、主要内容一、主要内容函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限

2、数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(limxf1、基本初等函数、基本初等函数1幂函数幂函数)( 是常数是常数 xy2指数函数指数函数)1, 0( aaayx3对数函数对数函数)1, 0(log aaxya4三角函数三角函数;cosxy ;sin xy 5反三角函数反三角函数;arccos xy ;arcsin xy ;cot xy ;tan xy ;arctan xy ycotarcx2、初等函数、初等函数 由常数和基本初等函

3、数经过有限次四则运算由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数表示的函数,称为初等函数称为初等函数.3、分段函数、分段函数在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为分段函数称为分段函数. 的的无无理理数数时时当当的的有有理理数数时时当当函函数数)1 , 0(0)1 , 0(1)(:xpqxpxRRiemann., 0, 0 axNnNn恒恒有有时时使使4、极限的定义、极限的定义axnn lim定义定义 ).1(N 2 Nxx1

4、x2x1 Nx3x 2a a a X XA定定义义 ).2(X Axfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当.)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当Axfxx )(lim0定义定义 ).3( )(xfy AAA0 x0 x0 xxyo左极限左极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定

5、理理无穷小无穷小:极限为零的变量称为无穷小极限为零的变量称为无穷小.).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或记记作作5、无穷小的性质、无穷小的性质定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.),()()(lim0 xAxfAxfxx 定理定理30)(lim0 xxx 定理定理4(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理).limlim,lim, 则则存存在在且且设设定理定理1. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim

6、,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设6、极限的运算、极限的运算)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 定理定理2准则准则 如果当如果当),(00rxUx (或或Mx )时时,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在,且等于且等于A.准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.(夹逼准则夹逼准则)7、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(lim

7、exxx 10)1(lim; 1sinlim 某某过过程程.)1(lim1e 某某过过程程8、两个重要极限、两个重要极限9、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限;f.极限的运算极限的运算;g.两个重要极限及两个收敛准则两个重要极限及两个收敛准则;h.用定义验证用定义验证.例例1.)16(log2)1(的定义域的定义域求函数求函数xyx

8、解解, 0162 x, 01 x, 11 x 214xxx, 4221 xx及及).4 , 2()2 , 1(即即二、例题选讲二、例题选讲例例2).(. 1, 0,2)1()(xfxxxxxfxf求求其其中中设设 解解利用函数表示法的无关特性利用函数表示法的无关特性,1xxt 令令,11tx 即即代入原方程得代入原方程得,12)()11(ttftf ,12)11()(xxfxf 即即,111uux 令令,11ux 即即代入上式得代入上式得,)1(2)1()11(uuuufuf ,)1(2)1()11(xxxxfxf 即即 xxxxfxfxxfxfxxxfxf)1(2)1()11(12)11()

9、(2)1()(解联立方程组解联立方程组. 1111)( xxxxf例例3.211211211lim22 nn求求解解 nnu22211211211设设 nnu22211211211211211 则则 12211n2211211211lim22 nn从从而而例例4).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求时时当当解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x), 那么那么xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242原原式式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x

10、.)0lim,1(12 nxxn时时当当例例5.11311211lim222 nn求求解解.11311211 222 nun设设.)1)(1(3)13)(13(2)12)(12(222 nnnnn21 .2111311211lim222 nn)sin1ln(arctanlim 1)(0 xxx xxxsinlim0 例例6求下列极限求下列极限=1.11sin1lim 2)(20 xxexx202sinlimxxxx .21 )1ln(coslim 3)(202xxexx )1ln(cos1)1ln(1lim2202xxxexx.23 xxxxxsin4cos13lim 4)(20 xxxxxs

11、in42cos13lim0 =3.2312lim 1)(4 xxx例例7求下列极限求下列极限11lim 2)(21 xxx 1311lim 3)(31xxx 31242)4(2lim 4 xxxxx分分式式有有理理化化34 21lim 1 xx131lim321 xxxx 1121lim21 xxxxxx1 例例8求下列极限求下列极限xxxsinlim 1)(0 xxxsinlim xxxxsinlim00 .sin00 xx =1;=0;xxx2sin4lim0 ;2 xxx2sin4lim =2. xxx101lim ).2( ;1 exxx 11lim; e xxe lim (3). ;

12、 0 lim xxe由由于于. lim xxe不存在不存在.)0( ,lim (4). xxxxxnnnnn0 x1,nnnnnxxxx lim11lim22 nnnxx=-1;x=1,nnnnnxxxx lim=0;1x,nnnnnxxxx limnnnxx2211lim =1.xxxxx 0lim (5).xxxxxxx 0lim=1.xxxxx lim (6).42limxxxxxxx =1.)1( ,1lim (7). aaannn 1,1, 0lim aaann由于由于 1lim nnnaa1 , 0 a1, 111lim aann例例9 nnnn22111lim 求求1111222

13、2 nnnnnnnn11limlim 22 nnnnnnn1111lim 22 nnnn解解由于由于又又故故例例10，设设nnnnnnbabbaaba 1111,2, 0.lim lim nnnnba 证明证明证明证明，显然显然11 nnba，1 nnaa，111 bbbann ，111 baaann ,lim lim 均存在均存在与与从而从而nnnnba .lim limbbaannnn 22lim lim1babaaannnnn 也有也有即即 a=b. 例例11用定义验证下列极限用定义验证下列极限. 0 10062lim ).1(3 nnn证证考察考察0 100623 nn100623 nn).6( ,233 nnn, 0 axn要使要使.)6( ,23 3即可即可只需只需 nnn 6, 6maxN只只需需取取 0 100623nnNn时时，总总有有当当.35 11lim ).2(22 xxx证证考察考察35