微积分教案8-6ppt课件

1、12高高),(yxfz D3播放播放4xzyoD),(yxfz 用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积5i),(ii.),(lim10iiniiM xyo6niiiif1,Ddyxf,Ddyxf,niiiif10,limyxf,dyxf,dxy与Dniiiif1,7Ddyxf,;,Ddxdyyxfdxdyd面积元素xyo8DDdfxfkdyxkf,DDDdyxgdyxfdyxgyxf,21

2、21,DDDDDdyxfdyxfdyxf.1 DDdd ),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf .),(),( DDdyxfdyxf 9 DMdyxfm),( ),(),(fdyxfD10 deIDyx )(2212222 byax)0(ab 在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(aDyxede deDyx)(22 ab.2aeab 区域区域 D的面积的面积 , ab11, bxa ).()(21xyx X型型其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba)(2xy abD)(1xy Dba

3、)(2xy )(1xy 12zyx)(xA),( yxfz)(1xy)(2xy)()(21),()(xxdyyxfxAbaDdxxAdxdyyxf)(),(.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得13,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 143D2D1D.321 DDDD15 xdyyxfdx1010),(xy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(.16 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2xy 222xxy 原式

4、原式 102112),(yydxyxfdy.17a2aa2)0(),(20222 adyyxfdxaaxxaxaxy2 = ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a18 Ddxdyyx)(2两曲线的交点两曲线的交点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 19 Dydxdyex22 dyey2无无法法用用初初等等函函数数表表示示 积积

5、分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 20 yxydxedyI212141 yyxydxedy121 dxexy不能用初等函数表示不能用初等函数表示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 21, yxz,xyz , 1 yx, 0 x. 0y所所围围立立体体在在xoy面面上上的的投投影影是是, 10 yx,xyyx 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 DDxyddyxV

6、)(22AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr rdrdd.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdyxf23.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(, ).()(21 rAoD)(2r)(1r24 Ddxdyyxf),(10 ,11| ),(2xxyxyxD1 yx122 yx在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.

7、)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd25AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(26 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd. Drdrd ).(0 rDoA)(r,2 027dxdyeDyx 22在在极极坐坐标标系系下下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 28 02dxex0, 0,| ),(2221yxRyxyxD0, 0,2| ),(2222yxRyxyxD0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DS

8、D 1D2DSS1D2DRR2,1221DyxdxdyeI记,2222DyxdxdyeI,22SyxdxdyeI),1 (421ReI);1 (4222ReIRyRxdyedxeI0022而;)(202 Rxdxe21, 022IIIeyx);1 (4)()1 (4222220RRxRedxee即故故当当 R时时,4 I;4)(202dxex即.202dxex29dxdyyxD)(22 ,222yyxyyx422 , 03 yx03 xy32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy

9、30 Ddxdyyxyx2222)sin(41| ),(22 yxyxD由由对对称称性性，可可只只考考虑虑第第一一象象限限部部分分， 注注意意：被被积积函函数数也也要要有有对对称称性性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 31（在积分中要正确选择积分次序）（在积分中要正确选择积分次序）.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdyxf32计计算算下下列列二二重重积积分

10、分1; 1, 1),(,)()1(22 yxyxDdyxD其其中中 .),()0 ,(),0 , 0(,)cos()2(的的三三角角形形闭闭区区域域和和是是顶顶点点分分别别为为其其中中 DdyxxD . .2, 2,)()2(22所所围围成成的的闭闭区区域域及及是是由由直直线线其其中中xyxyyDdxyxD 下列二重积分下列二重积分画出积分区域，并计算画出积分区域，并计算2;,)1(2所所围围成成的的区区域域是是由由两两条条抛抛物物线线其其中中xyxyDdyxD 33其中积分区域是：为二次积分化二重积分,),(3DdyxfI;4) 1 (2所围成的闭区域及抛物线由直线xyxy.)0(12,)2

11、(所围成的区域及双曲线由直线xxyxxy分次序分次序改换下列二次积分的积改换下列二次积分的积4;),(1010 ydxyxfdy）（;),()2(2202dxyxfdyyy ;),()3(22221 xxxdyyxfdx.),()4(ln01 xedyyxfdx所围成的立体体积及求由曲面22222625yxzyxz34.1,)1ln(62222一一象象限限的的闭闭区区域域及及坐坐标标轴轴所所围围成成的的在在第第是是由由圆圆周周其其中中利利用用极极坐坐标标计计 yxDdyxD 计算下列各题计算下列各题7所围成的闭区域；所围成的闭区域；及曲线及曲线是由直线是由直线其中其中）（1, 2.122 xy

12、xyxDdyxD .),(,2222222byxayxDdyxD 是是圆圆环环形形闭闭区区域域其其中中）（ 35计算下列二重积分：计算下列二重积分：11, 1),(,)()1(22 yxyxDdyxD其中其中 解解 积分区域下图所示积分区域下图所示 Ddyx )(22 112211)(dyyxdxdxyyx 11112231 112)322(dxx1133232 xx38 xyD36.),()0 ,(),0 , 0(,)cos()2(的的三三角角形形闭闭区区域域和和是是顶顶点点分分别别为为其其中中 DdyxxD 解解积分区域下图所示积分区域下图所示 Ddyxx )cos( xdyyxxdx00

13、)cos( 00)sin(dxyxx 0)sin2(sindxxxx 0)cos2cos21(xxxddxxxxxx)cos2cos21()cos2cos21(00 .23 xyDo37下下列列二二重重积积分分画画出出积积分分区区域域，并并计计算算2所所围围成成的的区区域域是是由由两两条条抛抛物物线线其其中中2,)1(xyxyDdyxD 解解 积积分分区区域域下下图图所所示示 Ddyx xxdyydx210 dxyxxx23223dxxx)3232(41047 556 D38解解 积分区域如下图所示积分区域如下图所示 Ddxyx )(22 yydxxyxdy22220)(dyxxyxyy220

14、22323 2023)832419(dyyy203481412419yy 613 . .2, 2,)()2(22所所围围成成的的闭闭区区域域及及是是由由直直线线其其中中xyxyyDdxyxD yxoD39积积分分区区域域是是：其其中中不不同同的的两两个个二二次次积积分分）出出对对两两个个变变量量先先后后次次序序为为二二次次积积分分（分分别别列列化化二二重重积积分分,),(3 DdyxfI 所所围围成成的的闭闭区区域域及及抛抛物物线线由由直直线线xyxy4)1(2 解解 积分区域如下图所示：积分区域如下图所示：故故 dyxfID ),( xxdyyxfdx240),(或或dxyxfdyIyy 4

15、402),(yxoD40区区域域所所围围成成的的及及双双曲曲线线由由直直线线)0(12,)2( xxyxxy解解 积分区域如下图所示积分区域如下图所示故故dyyxfdxIxx 121),(或或 22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdyIxyDo41分次序分次序改换下列二次积分的积改换下列二次积分的积4 ydxyxfdy010),(1）（解解 ,010yxyD二二重重积积分分的的积积分分区区域域为为如下图所示：如下图所示：故故dxyxfdyy 010),( 110),(xdyyxfdxxyoD42dxyxfdyyy 2202),()2(解解 积分区域应为积分区域应为 yxyy

16、D220:2 xyxx240或或故故 yydxyxfdy2202),( xxdyyxfdx240),(如下图xyoD)2 , 4(43故故 22221),(xxxdyyxfdx 211210.),(yydxyxfdy 22221),()3(xxxdyyxfdx解解积分区域为积分区域为222 , 21:xxyxxD ,2 , 21yxx 或或1)1( , 2, 21022222 yxyxxxyx如下图xy)1 , 1(D244 xedyyxfdxln01),()4(积分区域为积分区域为解解.ln0 ,1:xyexD 如右图所示：如右图所示： xedyyxfdxln01),(dxyxfdyeey

17、),(10oxy1)1 ,(eD45.26252222的的立立体体的的体体积积所所围围成成及及求求由由曲曲面面yxzyxz 解解zyxzyxz消消去去由由 2222262,2622222yxyx 得得即即, 222 yx, 222 yxxoy面面上上投投影影区区域域为为故故立立体体在在如下图所示：如下图所示：面面对对称称，因因所所围围立立体体关关于于xozyoz,故故xyV14V 1)2(2642222Ddyxyx 2202220)2(12xdyyxdxdxx 2032)2(8 6 46.1,)1ln(62222一一象象限限的的闭闭区区域域及及坐坐标标轴轴所所围围成成的的在在第第是是由由圆圆周周其其中中利利用用极极坐坐标标计计 yxDdyxD 解解 Ddyx )1ln(22 10220)1ln(rdrrd 1022)1()1ln(212rdr 2)1ln()1(4101022 rdrrr )12ln2(4 xy11rD如下图