第四章_线性空间_S1_线性空间的概念[1][1]

1、第四章第四章 线性空间线性空间4.1 线性空间的概念线性空间的概念4.1.1 线性空间的定义和例子线性空间的定义和例子210 x 一数域一数域下面的方程有解吗？下面的方程有解吗？在在自然数、整数、有理数、实数自然数、整数、有理数、实数范围内无解。范围内无解。在在复数复数范围内有解：范围内有解：0i 可见，在不同的讨论范围内，得到的回答不一样。可见，在不同的讨论范围内，得到的回答不一样。 常见的讨论范围常见的讨论范围：有理数的全体，实数的全体，：有理数的全体，实数的全体，复数的全体。复数的全体。Q（有理数），（有理数），R（实数），（实数），C（复数）（复数） 在代数中，我们常把有共同性质的对象

2、在代数中，我们常把有共同性质的对象一起一起讨论。讨论。 关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的数的代数性质代数性质。定义定义：数域数域是指这样的数的集合：它是指这样的数的集合：它至少至少包包 含含0和和1两个数，且对数的加、减、乘、除（除数不为零）两个数，且对数的加、减、乘、除（除数不为零）四则运算是四则运算是封闭封闭的（即所得结果仍在该集合中）。的（即所得结果仍在该集合中）。以下用以下用 F(或或P) 泛指一般的数域。泛指一般的数域。二、线性空间的定义二、线性空间的定义几个例子几个例子解析几何解析几何中，二（三）维向量及其运算中，二（三）维向

3、量及其运算 ： 向量的基本属性：可以按向量的基本属性：可以按平行四边形平行四边形规律相加，规律相加，也可以与实数作数量乘法。也可以与实数作数量乘法。 不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的。两种运算来描述的。 所有所有n阶实矩阵阶实矩阵：也定义了加法和数量乘法：也定义了加法和数量乘法n维向量维向量作为特殊的矩阵，也有类似运算规律作为特殊的矩阵，也有类似运算规律 定义在区间定义在区间a,b上的连续函数的全体构成集合上的连续函数的全体构成集合 Ca,b: ijijijijabab ijijk aka( ), ( ) , f xg xC

4、a b( )( ) , f xg xC a b( ) , ()kf xC a bkR有有 所考虑的对象虽然完全不同，但是它们都有一所考虑的对象虽然完全不同，但是它们都有一个个共同点共同点，那就是它们都有，那就是它们都有加法加法和和数量乘法数量乘法两种运两种运算。当然，随着对象不同，这两种运算定义也不同。算。当然，随着对象不同，这两种运算定义也不同。 为了抓住它们的共同点，把它们为了抓住它们的共同点，把它们统一起来统一起来研究研究，因而引入线性空间的概念。，因而引入线性空间的概念。 线性空间的定义线性空间的定义定义定义1. 设设V是一个非空集合，是一个非空集合，F是一个数域，是一个数域，在集合在

5、集合V中定义元素之间的中定义元素之间的加法加法运算，使得任运算，使得任意意,V ，都有，都有+V ；在；在F与与V的元素之的元素之间定义了一个间定义了一个数量乘法数量乘法运算，使得任意运算，使得任意kF及及V ，都有，都有kV 。并且加法和数量乘法满。并且加法和数量乘法满足下列运算规律，则称足下列运算规律，则称V为数域为数域F上的线性空间上的线性空间。【按所定义的线性运算构成数域【按所定义的线性运算构成数域F上的线性空上的线性空间（或者向量空间）】简称间（或者向量空间）】简称V是是F上的线性空间上的线性空间，V的元称为的元称为向量向量。 (1) (2) ()()(3) (4) ,(5) 1(6

6、) ()(7) ()(8) ()()F V0VV0VV0设 、， 、，对，都有，都有称为 的负元，记做。 实数域实数域R上的线性空间简称为上的线性空间简称为实空间实空间，复数域，复数域C上上的线性空间简称为的线性空间简称为复空间复空间。 说明说明: 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性线性运算运算 向量空间中的向量向量空间中的向量不一定是有序数组不一定是有序数组 线性空间的要点是：给定一个非空集合线性空间的要点是：给定一个非空集合V和一个数和一个数域域F，定义两种运算，定义两种运算“+”和和“”，且这两种运算满，且这两种运算满足运算规律足运算规律

7、(1)(8)。 线性空间中的加法线性空间中的加法“+”与数量乘法与数量乘法“”可能与通常可能与通常的的“+”和和“”不同。不同。 要证明某非空集合要证明某非空集合V对于给定的两种运算能构成数对于给定的两种运算能构成数域域P上的线性空间，需上的线性空间，需逐条验证逐条验证“+”和和“”的封闭的封闭性及运算规律性及运算规律(1)(8)成立；要证明某非空集合成立；要证明某非空集合V对对于给定的两种运算不能构成数域于给定的两种运算不能构成数域P上的线性空间，上的线性空间，只须只须证明加法运算不封闭，或数乘运算不封闭，或证明加法运算不封闭，或数乘运算不封闭，或(1)(8)中有一条不满足即可。中有一条不满

8、足即可。 给定给定V及及P，一般可用，一般可用多种多种不同的方法定义出不同的不同的方法定义出不同的线性空间。线性空间。( ).1m nm nm nRMR实数域上的全体矩阵，对于矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作（或）例0101() = ( ) | ,2, .nnnnnn nP xP xp xaa xa xa aaRL所有次数不超过是自然数 的实系数多项式的全体，关于通常多项式的加法以及实数与多项式的乘法构成一个实线性空间，记作。即：例 , ,.a bC a b定义在区间上全体实连续函数，关于通常函数的加法及实数与函数的数量乘法，构成一个实线性空间，记为例3。例例4. n元实系数齐

9、次线性方程组的全体解向量（元实系数齐次线性方程组的全体解向量（Rn的一个子集合），按照的一个子集合），按照n维向量的加法及它与实维向量的加法及它与实数的乘法两种运算也构成一个实线性空间，称数的乘法两种运算也构成一个实线性空间，称为齐次线性方程组的为齐次线性方程组的解空间解空间。特别，当齐次线。特别，当齐次线性方程组只有零解时，它的解空间只有一个性方程组只有零解时，它的解空间只有一个元元零元，只有零元的空间称为零元，只有零元的空间称为零空间零空间。例例6 次数等于次数等于n(n1)的实系数多项式的全体，对于的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法，能否构成数域多项式的加法和数量乘法，能否

10、构成数域R上的上的线性空间线性空间?,1nnxVxV Q(1)1nnxxV 解：解：， 但但V对加法运算对加法运算不封闭不封闭，从而，从而V对于指定的对于指定的 运算不构成运算不构成R上的线性空间。上的线性空间。例例5 实实(复复)数域按本身的加法和乘法构成自身上的数域按本身的加法和乘法构成自身上的 一个线性空间。一个线性空间。 例例7 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间V2 x (1 x2 xn)T | x2 xn R 解：解： V2不是向量空间不是向量空间 因为若因为若 (1 a2 an)T V2 则则2a (2 2a2 2an)T V2 12,x xSSxx211212

11、()2A xxAxAxbb12xxS例例8. 问当问当0 时，非齐次的线性方程组时，非齐次的线性方程组AX=的解的解的全体的全体是否构成线性空间？是否构成线性空间？证：证：（反证法）若（反证法）若S是线性空间，是线性空间，则则，有，有，于是，于是所以所以S不是线性空间。不是线性空间。 ,|nCXAXXS例例9 设设,Fkaakk,VRFRabab, a bV, a bVababV，定义，定义，。证明。证明:V对于指定的运算构成数域对于指定的运算构成数域F上的线性空间。上的线性空间。证证：由题意，：由题意，故故V对加法和数乘封闭。对加法和数乘封闭。下面验证八条线性运算规律下面验证八条线性运算规律

12、: 对任意对任意a, b, c R+, k, l R,(1) a b = a b = b a = b a ;(2) (a b) c = (a b) c = (a b)c= a(b c) = a (b c) =a (b c) ;(3) 存在零元存在零元1 R+, 对任意对任意a R+, 有有a 1=a 1=a;(4) 对任一元素对任一元素a R+, 存在负元素存在负元素a-1 R+, 有有a a 1= a a 1 =1;(5) 1a = a1 = a ;,Fkaakk(8) k (l a) = ka l = (al)k = ak l = (k l) a;(7) k (a b) = k (a b)

13、 = (a b)k = ak bk(6) (k+l) a = ak+l = ak al= ak bk = ka kb;所以所以, R+对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间.= ak al = ka l a .线性空间线性空间V具有的性质具有的性质证明证明: 假设假设01, 02是线性空间是线性空间V中的两个中的两个零元素零元素.1. 零元素是唯一的零元素是唯一的.则对任何则对任何 V有有, +01= , +02= ,由于由于01, 02 V, 则有则有 02+01=02, 01+02=01.所以所以01=01+02=02+01=02.则有则有 + =0, + =0,2. 负元素

14、是唯一的负元素是唯一的.证明证明: 设设 的负元素为的负元素为 与与 ,所以所以= . = +0= +( + ) =( + )+ =( + )+ =0+ 因此因此, 将向量将向量 的负元素记为的负元素记为 .3.存在加法的逆运算存在加法的逆运算减法，而且减法，而且 对于线性空间中的向量组，我们也要讨对于线性空间中的向量组，我们也要讨论它们的论它们的线性组合、线性相关、线性无关线性组合、线性相关、线性无关以以及向量组的及向量组的极大线性无关子组极大线性无关子组与与秩秩等概念。等概念。前面有关向量的性质和讨论都可以推广到线前面有关向量的性质和讨论都可以推广到线性空间来。性空间来。 () 4.等式等

15、式 0 =0; (1) = ; 0=0 成立成立5. 如果如果 = 0, 则则 = 0 或或 = 0. nP x21, ,nx xx例例 证明线性空间证明线性空间中向量组中向量组线性无关。线性无关。012,nkk kk20120nnkk xk xk x(0,1,2, )tktn0120nkkkk21, ,nx xx时，时，(1)式对一切式对一切x的值都成立。这就证明了的值都成立。这就证明了线性无关。线性无关。 证证 设有设有n1个实数个实数，使得，使得(1)成立，即对于成立，即对于x的一切值都成立。的一切值都成立。但由多项式但由多项式理论知道，如果某个理论知道，如果某个不等于零，不等于零，则则

16、(1)至多对有限个至多对有限个 x 的值成立。的值成立。因此仅当因此仅当4.1.2 子空间子空间定义定义2 设设V是是F上的一个线性空间，上的一个线性空间，L是是V的一的一个非空子集，如果个非空子集，如果L对于对于V中所定义的加中所定义的加法和乘数两种运算也构成法和乘数两种运算也构成F上的一个线上的一个线性空间，则称性空间，则称L为为V的子空间的子空间 例例1 在线性空间中，由单个的零向量所组成的在线性空间中，由单个的零向量所组成的 子集合子集合0是一个线性子空间，它叫做是一个线性子空间，它叫做零子空间零子空间。例例2 线性空间线性空间V 本身也是本身也是V 的一个子空间的一个子空间.叫做叫做

17、V 的的平凡子空间平凡子空间 其它的线性子空间叫做其它的线性子空间叫做非平凡子空间非平凡子空间。 例例3 Pnx 是线性空间是线性空间Px的子空间。的子空间。 例例4 几何空间中，过原点的平面上所有向量几何空间中，过原点的平面上所有向量 构成几构成几何空间何空间R3的一个子空间。的一个子空间。判定子空间除了定义以外，有无更判定子空间除了定义以外，有无更加简单的方法呢？加简单的方法呢？ 设设V是线性空间，则定义的两种运算满足：是线性空间，则定义的两种运算满足：(1) (2) ()()(3) (4) ,(5) 1(6) ()(7) ()(8) ()() 0VV0VV0，对，都有，都有 根据线性空间

18、的定义，为使根据线性空间的定义，为使L自身构成一线性空间，自身构成一线性空间，主要条件是要求主要条件是要求L中的元对原有运算的封闭性，以及中的元对原有运算的封闭性，以及规则规则(3)与与(4)成立。成立。 ,L kFkL,L LLL a)应有应有b)c) 0在在L中中d) 若若有有，则，则是多余的，它们是条件是多余的，它们是条件a)中中 k 取值取值0和和1的特的特殊情形。殊情形。,L kF kL定理定理：若：若L是线性空间是线性空间V的非空子集且关于的非空子集且关于V的线性的线性是封闭的（即若是封闭的（即若，则，则），则），则L是是V的子空间。的子空间。,LnR120nxxx12,nx xx例：例：中所有满足中所有满足的向量的向量构成的集合构成的集合L，是否构成，是否构成Rn的线性子空间？的线性子空间？【是】【是】例：设例：设12,m 是数域是数域F上线性空间上线性空间V中的一组