2019-2020学年福建省厦门一中高二上学期10月月考数学试题(解析版)

1、第1 1页共 2222 页2019-2020 学年福建省厦门一中高二上学期10 月月考数学试一、单选题i i.已知命题“P q”为假，一q为假，则下列说法正确的是（）A.P真，q真B.P假，q真C.P真，q假D.P假，q假【答案】B B【解析】先由“P q”为假，得到p,q至少有一个为假；再由q为假，得到q为真，进 而可得出结果 【详解】因为命题“Pq”为假，所以P,q至少有一个为假；又q为假，所以q为真，因此P为假. .故选 B B【点睛】本题主要考查由复合命题的真假判断原命题的真假，熟记复合命题真假的判定条件即可，属于常考题型 22 2抛物线y = -8x的焦点坐标是（）【答案】C C【解

2、析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可得出焦点坐标【详解】221因为y = -8x2可化为xy,81所以2p，且焦点在y轴负半轴,8（1）因此焦点坐标为10,-I 32丿故选 C C【点睛】A. 0,-2B. 21、（1C.C.,D.D. -一,0132丿1 32丿a2b2第 2 2 页共 2222 页本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型第3 3页共 2222 页3 3 .曲线方程,x2+（y 4）2、.x2+（y4）2=10的化简结果为（【答案】D D【解析】根据题意得到给出的曲线方程的几何意义，是动点x,y到两定点的距离之和等于定值，符合椭圆定义，然

3、后计算出相应的a,b,c得到结果. .【详解】曲线方程.x2+ y 4 - ,/x2+ y4 $ =10，所以其几何意义是动点x,y到点0,-4和点0,4的距离之和等于10，符合椭圆的定义 点0,-4和点0,4是椭圆的两个焦点 2 2因此可得椭圆标准方程 每务=1 a b 0，其中2a = 10,所以a= 5a bc=4，所以ba2-c2=32 2所以曲线方程的化简结果为 壬=1.=1.259故选 D D 项 【点睛】本题考查曲线方程的几何意义，椭圆的定义，求椭圆标准方程，属于简单题4 4 .命题p : x y = 3，命题q: x = 1或y = 2，则命题P是命题q的（ ）A A 充分不必

4、要条件B B.必要不充分条件C C 充要条件D D既不充分也不必要条件【答案】A A【解析】【详解】/命题p : x y = 3，命题q : x = 1或y = 2,15q：x = 1且y=2,p：x+y=3,q=P,反之不成立，例如x= -,y=-.22所以非 p p 是非 q q 的必要不充分条件，因此命题P是命题q的充分不必要条件.故选 A A.25252 2y x B.B.=1=12592 2y x D.D.x xA.A.21616a2b2第 2 2 页共 2222 页2 25 5 已知双曲线W -1的左、右焦点分别为F1、F2，直线I过F1，与双曲线的左第5 5页共 2222 页支交

5、于AB两点，若AB =5，且双曲线的实轴长为8，则iABF2的周长是()A.A. 1616B.B.18C.C.21D.D.26【答案】D D【解析】根据双曲线的定义得到AF2- AFj=2a,BF2 BF,|=2a,再由题中条件，即可求出结果. .【详解】因为直线I过R，与双曲线的左支交于A,B两点，AB = 5，且双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义可得，AF2| AF,=2a=8，BF2| |BF28，所以AABF2的周长AF?|+|BF2+|AB| =|AF+|BF,+16+|AB|=2| AB+16 = 26. .故选 D D【点睛】本题主要考查双曲线中焦点三角形的周长问题，熟记双曲线的

6、定义即可，属于常考题型【考点】 椭圆与双曲线的几何性质.7.如图，过抛物线 y2=2px(p 0)焦点 F 的直线I交抛物线于点 A,B，交其准线于点C,若BC =2 BF ,AF |=3|,则此抛物线的方程为-1，则双曲线2yb2=1=1 的渐近线方程1A.A.y xB.B.y - -2x2C.C.y = 4x1D.D.y x4【答案】A A【解析】 【详解】椭圆的离心率e=Ca22. 2即 _ 二口_2 2a a所以双曲线b2二1的渐近线为y =丄故选 A A 2第6 6页共 2222 页2亠2小2329A Ay = 3xB B.y =9xC C.yxD D.yx22【答案】A A【解析】

7、 设 AgyjBgyAgyjBgyz），作 AMAM、BNBN 垂直准线于点 M M、N N,则 |BN|=|BF|BN|=|BF|,又 |BC|=2|BF|BC|=2|BF|,得 |BC|=2|BN|BC|=2|BN|,/ / NCB=30NCB=30有 |AC|=2|AM|=6|AC|=2|AM|=6,设 |BF|=x|BF|=x,贝 U U 2x+x+3=6?x=12x+x+3=6?x=1 ,k2x2pk22p x * k2p2= 02即有x1x2=卫，故：4故抛物线的标准方程为：y2=3x本题选择 A A 选项. .2 28 8双曲线C:-占=1 a,b 0的右焦点为F,P为双曲线C上

8、的一点，且位于a b第一象限，直线PO,PF分别交于曲线C于M,N两点，若POF为正三角形，则直线MN的斜率等于()久一运-2B.B., 3-2C C 一22D.D.2一 3 3【答案】D D【解析】记双曲线左焦点为F1，根据题中条件，结合双曲线定义，得到再设P(x, y),N(x, y)，得到M(-x,-y0)，由点差法求出而Xi卫=3, x2卫=1, ,由直线 ABAB: :2 2y=k X-卫，代入抛物PSy y。y - y。_ b2xx0 x - x。a2第7 7页共 2222 页得到b22kNMkNP=二二与-1 =3 2-、3，进而可求出结果. .a a【详解】本题主要考查双曲线中

9、的直线斜率的问题，熟记双曲线的定义与简单性质即可, 考题型 记双曲线左焦点为Fi，因为POF为正三角形,所以OP J FF12，即.FiPF =90,PFFi=60,则有PF =c，PF 3c.由双曲线定义可得：.、3c_c =2a，设P（Xo，y）,N（x,y），则M（-Xo，-y）,所以2X2a2 2乞y i2 _ h? _12*b2，两式作差可得笃yo1a亍12Xo2a2y_ b2b即X Xo.2id 即k kNM NPaX_Xo2与-仁3 2.3，a属于常又kNP=矗，则第8 8页共 2222 页、多选题第9 9页共 2222 页9 9 已知ABC为等腰直角三角形，其顶点为A, B,C

10、，若圆锥曲线E以代B焦点，并经过顶点C，该圆锥曲线E的离心率可以是（）J J2 2A.A. 2-12-1B.-B.-C.C.、2D.D.、2 12【答案】ABDABD【解析】根据题中条件，分别讨论圆锥曲线是椭圆，与圆锥曲线是双曲线两种情况，结合椭圆与双曲线的特征，即可得出结果 【详解】 因为ABC为等腰直角三角形，其顶点为 代B,C，圆锥曲线E以A, B焦点，并经过顶点C，当c，时，离心率e4CA+CB丁2+1（iiii ）若该圆锥曲线是双曲线，根据双曲线的特征可得，则只有故答案为 ABDABD【点睛】21010已知点F是抛物线y =2px p 0的焦点，AB,CD是经过点F的弦且AB _CD

11、,AB的斜率为k，且k 0,C, A两点在x轴上方. .则下列结论中一定成立的是（）兀2c所以若该圆锥曲线是椭圆，当时，离心率ABCA CBABJIC二一,4此时，离心率e2cAB2aCA -CB本题主要考查双曲线或椭圆的离心率,熟记椭圆与双曲线的简单性质即可， 属于常考题第1010页共 2222 页【答案】ACAC【解析】先由AB的斜率为k,AB _ CD,得到kC -，设A(xyj,Bg,张,k再由抛物线的焦点弦公式求出AB，CD，最后根据题意，逐项判断，即可得出结果【详解】 因为AB的斜率为k，AB _ CD，所以kCD二-丄，k设AZ)，BS，AB的方程为宀卜气丿A.A.1 1-+-A

12、B CD12pB.B.若AF42 BF| =p，则k3uuu uuu uuir ujurC.C.OA OB二OC ODD.D.四边形ABCD面积最小值为16 p2AB的方程为y = k，联立直线与第1111页共 2222 页由；y=k卜刖可得,)2= 2 pxk2x2212 2p(k2+2)x+k2p2=0，4第1212页共 2222 页因为AB_CD，所以四边形ABCD面积故选 ACAC【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，熟记抛物线的简单性质, 置关系即可，解决此类题型，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，弦长公 式等求解，属于常考题型三、填空题1111 双曲线3x2y2=9的

13、焦距为_x1x2二P(k22)k212x1x2p4所以AB二Xi2 2p(k +2)2p(k +1)x2p2 p2，kk同理可得CD12心1)穿2p(1 k2)则有1AB+CD1亍，所以 A A 正uuu uuuOA O = x1x2y1y22k2 x1诗x2诗I x2122p12qp kx1x-x1x2-pp21k2p222 2P (k 2)一3p2与k4UULT uuir无关，同理OC ODuuir uuir32丄uuu uuu uuu uuirp，故OA OB =OC OD，C正确;4AF，BF|=4p23，由xip2X2p1=%X22(%X2)-12p2P2(k22)2k2解得 k k

14、 = =、3，故 B B 错;SABCDJ|AB2CD1 2p(k21)当且仅当k22p(1 k2)=2p2(k21)2kk2= 2p2k272_8p2 k 即k =1时，等号成立；故 D D 错;以及直线与抛物线的位第1313页共 2222 页【答案】4、.3【解析】将双曲线方程化成标准方程，所以a?= 3,b?=9, ,根据c2=a2+b2可得. .【详解】2 2由3x2_y2= 9得:-=1,39所以a2=3,b2=9, ,所以c2=a2b2=3 9 =12, ,所以c =2、3, ,所以焦距2c =4、.3. .【点睛】本题考查了双曲线的几何性质 ，属基础题. .2 21212 抛物线

15、y2=8x的焦点到双曲线 乞-比=1的渐近线的距离为 _2 2【答案】、.2【解析】分析：由题意求得抛物线的焦点为（2,02,0）,再求得双曲线的渐近线为x_y=O,根据点到直线的距离公式可得所求.详解：由抛物线y2=8x可得其焦点为（2,02,0）,2 2又双曲线xy1的渐近线方程为x一y = 0,2 2所求距离为d二2点睛：本题考查抛物线的焦点坐标、双曲线渐近线方程的求法和点到直线的距离，主要考查学生的运算能力，属容易题.1313 命题“X。 R,2xo-3axo 9：0”为假命题，则实数a的取值范围是 _. .【答案】-2、.2丄a乞2、2【解析】 试题分析：由题意可得命题：_x，R,

16、,2x23ax亠9二0为真命题所以也=（3a24汉2父9兰0, ,解得-242a|MF2若MF1=|旺=2c = 4,则MFi= J（ X。+2 ）=Jx+4x+4+59X0=3 + 3X0= 4,3解得Xo，代入椭圆方程可得215，所以M若MF2|=时2=2c=4,则MF1x2-4xo45x2=3-?Xo =4，显然不满足题93意，舍去故答案为【点睛】本题主要考查椭圆中满足条件的点的坐标，熟记椭圆的简单性质即可，属于常考题型X22221616.已知P为椭圆y =1上一个动点，直线I过圆x - y-6i=2的圆心与圆相io交于A, B两点，贝UPApB的最大值为 _ .【答案】482【解析】先

17、由题意得到圆X2 y-6 =2的圆心为C o,6，再由题意，结合向量运uur mu2urnUJU2算得到JUA UUJ _PA PB-PA-PBPC2-2，再求出椭圆上的动点与圆心4距离的最大值，即可求出结果 【详解】2记圆x2+(y6) =2的圆心为C(0,6 )，2因为直线I过圆X2 y-62的圆心与圆相交于A, B两点,所以uur uju2uuJJJ2JJJ JJJPA PB - PA - PB PA PB二-4UUJ21 UJU22=PC - AB -PC -2,42设Pxo,yo，因为P为椭圆和上一个动点，则宀1，八1,第1616页共 2222 页第1717页共 2222 页所以PC

18、2=x2+(y。6$ = 9y：12y+46,22当yo =- 3时，PCmax=50,32因此PA PB的最大值为PCmax-2 = 48. .故答案为48【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，熟记平面向量数量积的运算法则，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型. .四、解答题11717 .已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点为斤11,0，离心率为e，过点Fi的2直线I交椭圆于代B两点，(1)(1) 求椭圆 E E 的方程：(2)(2) 若直线AB的倾斜角为135度，求AB联立椭圆方程3x24y2-10,得到7x28x-8 =0,易知C,设A为， ,B X2,y2,【答案】(1 1)2 2x y

19、1432424(2)(2)石【解析】(1 1) 根据题中条件,得到c = 1，再由离心率求出a = 2，进而得到b的值，从而可求出椭圆方程;(2(2)由题中条l的方程为y - -x 1，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理，以及弦长公式，即可求出结果【详(1(1)由条件知,1c=1，又由离心率e知a=2,2= =33，椭圆的方程为2 2xy1. .(2(2)由条件知,直线l的方程为y = -x 1,第1818页共 2222 页88则由韦达定理，,住7故AB = Jk2+1Nx2= J2+ x2f _4炖2= V2 J64十32=24f 4977【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及求椭圆的弦

20、长，熟记椭圆的标准方程，以及弦长公式即可，属于常考题型 21818 .已知命题p:k2- k-6乞0，命题q:方程x2二4 - k表示焦点在x轴上的1 -k双曲线 (1) 命题q为真命题，求实数k的取值范围；(2) 若命题“P q”为真，命题“P q”为假，求实数k的取值范围. .【答案】(1 1)k 1,4(2 2)2,11U 3,44k0【解析】(1 1)由题意得到，求解，即可得出结果；(4-k门-k )0(2 2)先由题意，得到p,q一真一假，分别讨论P真q假，P假q真，两种情况，即可求出结果 【详解】(2)若命题“P q ”为真，P q”为假，则P,q一真一假,2 2)若P假q真，则k

21、：一2,或k 3,解：(1 1 )若q为真命题，则方程2x4_k 4_k 1-k_1中，4k 04 -k 1-k : 0，解得1,4；1 1)若P真q假，则一2乞k空3 k乞1,或k一4第1919页共 2222 页11 c k 4k 3,4综上，1-2,1 U 3,4【点睛】第2020页共 2222 页本题主要考查由命题的真假求参数的问题，会根据或且非的真假判断原命题真假即可， 属于常考题型 2244佃.已知双曲线C:笃-yy=1a,b.O与-1有相同的渐近线，且经过点a2bxf42M .2x2 ,(1) 求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程；(2)已知直线x一y m =0与双曲线C交

22、于不同的两点A, B,且线段AB的中点在圆x2y2=10上，求实数m的取值. .2【答案】(1 1)双曲线的方程为x1,离心率e = 3,其渐近线方程为y = _ . 2x 22 2 _ _【解析】(1 1)先由题意设双曲线 C C 的方程为-、= ,根据 M M .2.2.2.2，求出241 1=2=2，即可得双曲线方程；进而可求出离心率与渐近线方程；(2 2)联立直线AB与双曲线C的方程，设A X1, y1,B X2,y2，由中点坐标公式，韦达定理，以及题中条件，即可求出结果. .【详解】2 2(1(1) T T 双曲线 C C 与双曲线=1=1 有相同的渐近线,422 2设双曲线的方程为

23、乞一，24代入M M兀小，得,二,2故双曲线的方程为X2-壬= =1.1.2由方程得 a a =1=1,c =，故离心率er3其渐近线方程为y二2x. .(2)联立直线AB与双曲线C的方程,2宀-2 = 0y二x m第2121页共 2222 页经整理得x22mxm22 = 0，设A Xi,yi,B X2, y2，贝U AB的中点坐标为由韦达定理，x2= 2m,y y2= % m i亠i x2m = %屜2m = 4m,.AB的中点坐标为m,2m, 又Q m,2m在圆x2y2=10上,m24m2=10，. m -二、.2【点睛】 本题主要考查求双曲线的方程、离心率与渐近线方程，以及直线与双曲线位

24、置关系，熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质即可，属于常考题型 2020 如图，设点F 1,0，直线l:x - -1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ _ FP,PQ _ l. .(1)求动点Q的轨迹C的方程;(2)直线m过点F,与轨迹C交于A,B两点，过点A,O的直线与直线l : x = -1交于点D，求证：BD/x轴. .2【答案】(1 1) y y =4=4x x (2 2)详见解析 【解析】(1 1)先设Q x,y，由题中条件得到R 0,$，根据PF RQ，得到I 2丿uuu ujurPF RQ =0，进而可得出结果；4得到直线OA的方程为y x y。= 0，进

25、而求出y。(2(2)先由题意设f2A皿4,y。第2222页共 2222 页D -1,兰；再由点F坐标，得到直线AF的方程为y=；(x-1 )，联立抛物线、y丿y_4方程，结合韦达定理，求出B点纵坐标，进而可证明结论成立【详解】(1 1)由题中条件，设Q x,y，QQP _ I，且丨：x- -1，P -1,y又QPF与y轴交于R，故R 0,丄，I 2丿故轨迹C的方程为y2(2(2)设点A为直线m与轨迹C的交点，由(1 1)设Ao,yo，l4丿则直线OA的方程为y二兰x y。=0，yo一4一故B点纵坐标为-，与D点纵坐标相同，yo4又Qo,BD Px轴. .yo【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，

26、以及直线与抛线位置关系，熟记求轨迹方程的一般步骤,uurQ PF _ RQ,. PFRQ=2X0，2故直线OA与丨：x= -1的交点D为-1,yo丿又：F1,0，-的方程为2X_X_ ，44yo2yo-4x-1，联立抛物线y?=4x，得:y。2yo-44yo2y。一4-yo，由韦达定理，A,B两点纵坐标乘积为-4，第2323页共 2222 页以及直线与抛物线的位置关系即可，属于常考题型2 2y x2121 如图，曲线C由上半椭圆G :22= 1(a . b 0, y _ 0)和部分抛物线a b2第2424页共 2222 页C2：y = -x T (y _ 0)连接而成，Ci,C2的公共点为A,

27、 B，其中Ci的离心率为(H)(H)过点B的直线I与Ci,C2分别交于P,Q(均异于点 代B),若AP丄AQ,求直【答案】(I)(I)a=2,b=：1；( ( n n二门.22【解析】试C2: y =_x 1(-0)公共点为A, B，得b= 1，设C2的半焦距为c，由e = E 及a 2a2_ c2= b2=1，解得a = 2;2(2(2)由(1 1)知，上半椭圆 G G 的方程为吐x2=1(y_0), B(1,0)B(1,0)，易知，直线 I I 与x4轴不重合也不垂直，故可设其方程为y = k(x -1)(k =0),并代入Ci的方程中，整理得:2 2 2 2(k 4)x -2k x k

28、-4 =0,k2由韦达定理得xpx厂严，又k 2 48 kB(1,0)，得，从而求得严，2继而得点P的坐标为(一428kk2+4k2+4)，同理，由厂逬一1)(0)得点Q的坐标为)y=x2+i(y0)(-k -1,-k2-2k)，最后由APAQ =0, ,解得k =-8，经检验k二-8符合题意，故33第2525页共 2222 页直线I的方程为y=-8(x-1). .3试题解析：(1 1)在Ci方程中，令y=0，得A(-b,O), B(b,O)在C2方程中，令y=0，得A( -1,0), B(1,0)所以b =1设C2的半焦距为c，由e =C 3及a2- c2= b2= 1，解得a= 2a 2所

29、以a=2，b=12(2 2)由(1 1)知，上半椭圆C1的方程为工X2=1(0)，B(1,0)B(1,0)4易知，直线I与x轴不重合也不垂直，设其方程为y = k(x-1)(k 0)代入 G G 的方程中，整理得:2 2 2 2(k24)x2-2k2x k2-4= =0 0()()设点P的坐标(xP, yP)8:k =0,k -4(k2) = 0，解得k-3-经检验，k符合题意，3故直线I的方程为y - -(x -1)3由韦达定理得xPxB2k2k24又 B(1,0)B(1,0)，得xPk2-4k24，从而求得yp-8kk24所以点P的坐标为k2_48k(k24,k24)y = k(x 1)(

30、k式0)一2同理，由2得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k)y = x +1(y兰0)2k.AP2(k, 4)，AQ=k(1,k2)k 47 AP _ AQAP AQ= =0 0，即-2k2k24k -4(k2) =0第2626页共 2222 页【考点】椭圆和抛物线的几何性质；直线与圆锥曲线的综合问题22222.如图（1 1）,平面直角坐标系中，|_1C的方程为（x 1） + y2=4,LD的方程为（2 2）如图（2 2），过A点作L P的两条切线h,l2，若圆心在直线x二mm= 3上的epoLP与LIC外切，与LD内切. .（i）当m - -3时，求证：eP%勺半径为定值;（ii）在（i）

31、的P,eQ均与LI C外切，与L D内切，且L P的圆心为“3，求证：若e P,e Q的反演圆” eP,e Q%相切，则e P,e Q也相切。2 2【答案】(1 1) =1=1 33（2 2）（i）详见解析（ii）详见解析2也同时与1门2相切，则称ePL P的一个 反演圆”第2727页共 2222 页【解析】(1 1)设LP的半径为r，根据题意得到PD|=4 r,PC|=2 + r，根据椭圆定义，即可判断出p点轨迹，从而求出轨迹方程；(2 2)(i)设P(Xo,y。)，得到L P的半径为r = PC 2=1型，设3AP：y=(x3 )，由题意得到m,(m_3)y0，过A点的L P的切线方程为X。-3iX。3 y = k x -3,由点到直