二次函数知识点及其应用的总结

1、1二次函数知识点总结知识结构框图一、 二次函数的概念形如y =ax2 bx c（a,b,c是常数，a0）的函数，叫做二次函数，其中x, 是自变量，a、b c 分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a=0，而 b, c 可以为零二次函数的定义域是全体实数.二、 二次函数的一般表达式1、 一般式：y =ax2 bx c（ a ,b, c 为常数,a = 0）；2、顶点式：y二a（x -h）2 k（ a ,h,k为常数,a = 0）其中h b, k =4ac_b；2a4a3、 双根式：y =a（x-xj（x-x2）（其中 8=0,石，乂2是 y

2、=ax2bx - c 与 x 轴交点的横坐标）二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式， 通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以 写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b2-4ac_0 时，抛物线的解析式

3、才可以用 交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化三、次函数y =ax2 bx c的图像性质（轴对称图形）1. 当a 0时，抛物线开口向上,2对称轴为bx =2a顶点坐标为1_b_ 4ac -b2J2a 4a3四、二次函数的图像与各项系数之间的关系1.二次项系数 a2二次函数y =ax bx c中，a作为二次项系数，显然a. 当a 0时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大; 当a：:0时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大.总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.2.一次

4、项系数b在二次项系数 a 确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴. 在a 0的前提下，当b 0时，一匕：0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2a当b =0时，一2 =0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b 0时，P.O，即抛物线对称轴在y轴的右侧.2a 在a：0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时，0，即抛物线的对称轴在y轴右侧;2a当b =0时，P =0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b 0时，一b：0，即抛物线对称轴在y轴的左侧.2ay轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与总结起来， c 决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，

5、只要 a , b, c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.当 x 时，y 随 x 的增大而减小；2a当 x ._2 时，y 随 x 的增大而增大；当2ax时，y有最小值4ac 一22.当a：0时，抛物线开口向下，对称轴x -舟，顶点坐标为b 4ac-b22a 4a当法时，y随x的增大而增大；当时，y随 x 的增大而减小；当bx =2a时,y有最大值4acb24a总结起来， 在 a 确定的前提下, 总结：b决定了抛物线对称轴的位置.3.常数项 c当c - 0时，抛物线与当c =0时，抛物线与 当c：: 0时，抛物线y轴交点的纵坐标为正；y轴交点的纵坐标为0;y轴交点的纵坐标为负.4五、二次函

6、数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一兀二次方程 ax bx c =0 是二次函数y =ax bx c当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图像与 x 轴的交点个数：1当二 b?4ac0 时，图像与 x 轴交于两点 A Xi,0 , Bx?,0（为，其中的 x，x是一元二次方程 ax2 bx c =0 a = 0 的两根.人，x?和的一半恰好是对称轴的横坐标.2当厶=0时，图像与x轴只有一个交点；3当.：0时，图像与 x 轴没有交点.1当a 0时，图像落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y .0 ;2当a：0时，图像落在 x 轴的下方，

7、无论 x 为任何实数，都有 y：0 .2. 抛物线 y =ax2 bx c 的图像与y轴一定相交，交点坐标为 （0 , c）；3.二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图像与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者 依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；2 _y 二 ax bx c 中 a , b , c 的符号，或由二次函数中 a ,b, c 的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。六、二次函数的几个特殊的基本形

8、式1.二次函数基本形式： y =ax2的性质:根据图象的5结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结：6a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a =0向上（0 ,。）y轴X0时，y随 x 的增大而增大；X0时，y随 X 的增大而减小；X =0时，y有最小值0a 0向上（0，c）y轴x0时，y随 X 的增大而增大；X0时，y随 X 的增大而减小；X=0时，y有最小值 c a 0时，y随 x 的增大而减小；X0时，y随 X 的增大而增大；X一0时，y有最大值 c 23.y=a x-h 的性质:7结论：左加右减。总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上(h，0)X=hxh时，y随 x 的增大而增大；x ch时，y随 x 的增大而减小；x = h时，y有最小值0.a h时，y随 x 的增大而减小；x ch时，y随 x 的增大而增大；x = h时，y有最大值0.4.y 二 a xh $ k 的性质:8总结:a 的符号开