函数模型及应用

1、要点梳理1.三种增长型函数模型的图象与性质y= =ax( (a1)1)y=log=logax( (a1)1)y= =xn( (n0)0)在在(0,+)(0,+)上上的增减性的增减性_增长速度增长速度_相对平稳相对平稳增函数增函数增函数越来越快越来越慢函 数性 质2.8 函数模型及应用基础知识 自主学习2.三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数y=ax (a1)与幂函数y=xn (n0) 在区间(0,+)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定 范围内ax会小于xn，但由于y=ax的增长速度_y=xn 的增长速度,因而总存在一个x0,当xx0时有_.图象的变化图象的变化随随x增大逐增大逐渐

2、表现为与渐表现为与_平行平行随随x增大逐增大逐渐表现为与渐表现为与_平行平行随随n值变值变化而不同化而不同y轴x轴快于axxn （2）对数函数y=logax (a1)与幂函数y=xn (n0) 对数函数y=logax (a1)的增长速度,不论a与n值的 大小如何总会_y=xn的增长速度，因而在定义 域内总存在一个实数x0,使xx0时有_. 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增 函数,但它们的增长速度不同，且不在同一个档次 上,因此在（0,+)上，总会存在一个x0,使xx0时 有_. 3.函数模型的应用实例的基本题型 (1)给定函数模型解决实际问题; (2)建立确定性的函数模型解决问

3、题; (3)建立拟合函数模型解决实际问题. 慢于logaxxnlogax4.函数建模的基本程序 基础自测1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控,除了应征税 外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元, 不收附加税时,每年大约销售100万瓶，若每销售 100元国家要征收附加税为x元(税率x%),则每年销 售量减少10 x万瓶,为了使每年在此项经营中收取的 附加税额不少于112万元,则x的最小值为_. 解析 解得2x8,则x的最小值为2. ,)(1121007010100 xx依依题题意意22.已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度要损失 10%,要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强 度的 以下,

4、则至少需要重叠_块玻璃板. 解析31.log,.,%)(.4103131903110190 xxx即即由题设知由题设知113.某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成 本500万元与年广告成本200万元两部分.若年利润 必须按p%纳税,且年广告费超出年销售收入2%的部 分也按p%纳税,其他不纳税.已知该企业去年共纳税 120万元.则税率p%为_. 解析 利润300万元,纳税300p%万元, 年广告费超出年销售收入2%的部分为 200-1 0002%=180(万元), 纳税180p%万元,共纳税 300p%+180p%=120(万元), p%= =25%.25%414.某医院为了提高服务

5、质量,进行了调查发现：当还 未开始挂号时,有N个人已经在排队等候挂号.开始 挂号后排队的人数平均每分钟增加M人.假定挂号 的速度是每窗口每分钟K个人,当开放一个窗口时, 40分钟后恰好不会出现排队现象,若同时开放两个 窗口时,则15分钟后恰好不会出现排队现象，根据 以上信息,若要求8分钟后不出现排队现象,则需要 同时开放的窗口至少应有_个.解析 设要同时开放x个窗口才能满足要求,则 N+8M8Kx 由、得 代入得60M+8M82.5Mx,解得x3.4.即至少同时开放4个窗口才能满足要求. . 215154040KMNKMN,. MNMK6052【例1】某公司试销一种成本单价 为500元/件的新

6、产品,规定试销 时销售单价不低于成本单价,又 不高于800元/件.经试销调查,发 现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一 次函数y=kx+b的关系(如图所示).典型例题 深度剖析(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元.试用销售单价x表示利润S,并求销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？ 解 (1)由图象知,当x=600时,y=400;当x=700时,y=300,代入y=kx+b中,得y=-x+1 000 (500 x800)., 00011700300600400bkb

7、kbk解解得得(2)销售总价=销售单价销售量=xy,成本总价=成本单价销售量=500y,代入求毛利润的公式,得S=xy-500y=x(-x+1 000)-500(-x+1 000)=-x2+1 500 x-500 000=-(x-750)2+62 500 (500 x800).当销售单价为750元/件时，可获得最大毛利润 62 500元,此时销售量为250件. 跟踪练习1 电信局为了配合客户的不同需要，设有 A、B两种优惠方案.这两种方案应付话费(元)与通 话时间(分钟)之间的关系如下图所示(实线部分) (MNCD). (1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多 少元？ (2)方案B从5

8、00分钟以后,每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内方案B才会比方案A优惠？ 由图表知识,分别求得两种方案的解析式，通 过解析式即可求解. 解 由图知,M(60,98),C(500,168),N(500,230).MNCD,设这两方案的应付话费与通话时间的函数关系式分别为fA(x)、fB(x),分析 .,)(,)(500181035000168608010360098xxxxfxxxxfBA则则(1)通话两小时的费用分别是116元和168元.(2)fB(x+1)-fB(x)=0.3(x500),或由直线CD的斜率的实际意义知方案B从500分钟以后每分钟收费0.3元.(3)由图知:当0 x

9、60时,fA(x)500时,fA(x)fB(x);当60fB(x)得 综合可得通话时间在 时方案B较优惠. .3880500 x),(3880【例2】某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投 入)为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本 (即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求 量为500台,销售的收入函数为 （万 元)(0 x5),其中x是产品售出的数量(单位:百台). (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量是多少时,工厂所得利润最大？ 对于一些较复杂的应用题,有时仅构造一个 数学模型还不能解决根本问题，须先后或同时构 造、利用几个数学模型才可. 252xxxR )(分

10、析解 (1)当x5时,产品能售出x百台;当x5时,只能售出5百台,故利润函数为L(x)=R(x)-C(x) )(.)(.)().()()().()(525012505027545250502555502505025222xxxxxxxxxxx(2)当0 x5时,L(x)=4.75x- -0.5,当x=4.75时,L(x)max=10.781 25万元.当x5时,L(x)=12-0.25x为减函数,此时L(x)2). (1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函 数,为什么？ (2)若f(1)=4,f(3)=6，求出所选函数f(x)的解析式 (注:函数的定义域是1,6.其中x=1表示4月1日,

11、 x=2表示5月1日,以此类推);(3)为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓 宽外销,请你预测该水果在哪几个月内价格下跌. 解题示范解 (1)因为f(x)=pqx是单调函数.f(x)=logqx+p是单调函数.f(x)=(x-1)(x-q)2+p中 f(x)=3x2-(4q+2)x+q2+2q. 3分令f(x)=0,得x1=q,x2= f(x)有两个零点,可以出现两个递增区间和一个递减区间,所以应选f(x)=(x-1)(x-q)2+p为其模拟函数. 8分,32 q(2)由f(1)=4,f(3)=6, 10分f(x)=(x-1)(x-4)2+4=x3-9x2+24x-12 (1x6). 1

12、2分(3)由f(x)=3x2-18x+240,解得2x4.函数f(x)=x3-9x2+24x-12在区间(2,4)上单调递减.这种水果在5、6月份价格下跌. 14分).(,)(舍舍去去其其中中解解之之得得得得24463242 qqppqp跟踪练习4 (2009青岛模拟)某民营企业生产A、B 两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投 资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术 平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资单位: 万元) 图1 图2 (1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数 关系式,并写出它们的函数关系式;(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两 种产

13、品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到1万元)？ 解 (1)设A产品的利润y1(万元)与投资x(万元)之间的关系式为y1=ax+b(a0),由x=1,y1=0.25和x=1.8,y1=0.45,得a+b=0.25,1.8a+b=0.45,a=0.25,b=0,y1=0.25x.设B产品的利润y2(万元)与投资x(万元)之间的关系式为y2= (k0),由x=4,y2=2.5,得k=1.25.xk所以A、B两种产品利润与投资的函数关系式分别为y1=0.25x, (x0). (2)设将10万资金投资B产品x万元,A产品(10-x)万元,则利润 令

14、t= ,x=t2.y=-0.25t2+1.25t+2.5=-0.25(t2-5t)+2.5=-0.25(t-2.5)2+4.062 5.又0 x10, 当t=2.5时,即x=6.25时,y取得最大值ymax=4.062 5,10-6.25=3.75.所以,当投资A产品约4万元,B产品约6万元时,所获利润最大,最大利润约为4万元. .xy2512 xy2512. .)(.xxy25110250 x.,100 t高考中以解答题为主,考查数学建模能力以及分析问题、解决问题的能力,属于中、高档题,偶尔也会在填空题中考查.解应用问题,首先,应通过审题,分析原型结构,深刻认识问题的实际背景,确定主要矛盾,

15、提出必要假设,将应用问题转化为数学问题求解;然后,经过检验,求出应用问题的解.从近几年高考应用题来看,顺利解答思想方法 感悟提高高考动态展望方法规律总结一个应用问题重点要过三关,也就是要从三个方面来 具体培养学生的分析问题和解决问题的能力. (1)事理关:通过阅读,知道讲的是什么,培养学生独立获取知识的能力.(2)文理关:需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数学关系.(3)数理关:在构建数学模型的过程中,要求学生有对数学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型,完成由实际问题向数学问题的转化.构建了数学模型后,要正确解出数学问题的答案,需要扎实的基础知识和较强的数理能力

16、. 一、填空题1.(2009广东揭阳调研)计算机的价格大约每3年下 降 ,那么今年花8 100元买的一台计算机,9年后 的价格大约是_. 解析 9年后的价格大约是 .)(元元3003110083 300元32定时检测2.(2010江苏南通一模) 从盛满20升纯消毒液的容 器中倒出1升,然后用水加满,再倒出1升,再用水加 满.这样继续下去,则所倒次数x和残留消毒液y之间 的函数解析式为_ 解析 所倒次数1次,则y=19 所倒次数2次,则 所倒次数x次,则 201919 y.)()(xxy2019202019191 xy)(201920 3.(2009扬州期末) 某电信公 司推出手机两种收费方式:

17、A 种方式是月租20元,B种方式 是月租0元.一个月的本地网内 打出 时间(分钟)与打出 费s(元)的函数关 系如图,当打出 150分钟时,这两种方式 费 相差_. 解析 如题图,当打出 150分钟时，这两种方 式 费差为线段BD的长度,根据相似三角形的性 质可得 BD=10. ,1005020 BD10元4.(2009苏、锡、常、镇调研) 某市出租车收费标 准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过 3 km按起步价收费);超过3 km但不超过8 km时, 超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过 的部分按每千米2.85元收费,每次乘车需付燃油附 加费1元,现某人乘坐一次出

18、租车付费22.6元,则此 次出租车行驶了_千米. 解析 设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元, 由题意得, 8+1, 0 x3 f(x)= 9+(x-3)2.15, 38, 令f(x)=22.6,解得x=9. 95.(2010山东烟台模拟) 某医药研究所开发一种新 药,如果成年人按规定的剂量服用,据检测,服药后 每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间 的关系用如图所示曲线表示.据进一步测定,每毫升 血液中含药量不少于0.25毫克时,治疗疾病有效,则 服药一次治疗该疾病有效的时间为_小时.解析 本小题考查函数与不等式.由图知答案.,.)(,)()(51612501211043 t

19、tftttft解之得解之得则则161546.(2010河南新乡模拟)甲、乙二人沿同一方向从A 地去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1 v2),甲一半的路程使用速度v1，另一半的路程使用 速度v2;乙一半时间使用速度v1,另一半的时间使用 速度v2.关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时 间的函数图象及关系,有如图中所示四个不同的图 示分析(其中横轴t表示时间,纵轴s表示路程),则其 中可能正确的图示分析为_. 解析 因为开始时甲、乙的速度是相同的,所以其图象的前一段是重合的,故排除;又v1v2,反映在图象上即后一段的增长率大于前一段的增长率,图象增长得快,只有符合题意. 答案 7.

20、(2009江苏盐城二模) 水池有两个相同的进水口 和一个出水口,每个口进出水速度如图甲、乙所示, 某天0点到6点该水池的蓄水量如图丙所示(至少打 开一个水口):给出以下三个论断: 0点到3点只进水不出水; 3点到4点不进水只出水; 4点到6点不进水也不出水. 则一定正确的论断是_. 解析 从丙图可知在0点到3点,蓄水量由0增加到6， 因此是两个进水口同时打开了,且出水口没有打开,故正确;从3点到4点,蓄水量由6减少到5,减少了1,所以是一个进水口和一个出水口同时打开了,故错误;从4点到6点,蓄水量不变,由于题设要求至少打开一个水口,故在该时段内是打开了两个进水口和一个出水口,故错误. 答案 8

21、.(2010连云港模拟) 某商场宣传在节假日对顾客 购物实行一定的优惠,商场规定: 如一次购物不超过200元,不予以折扣; 如一次购物超过200元,但不超过500元,按标价予 以九折优惠; 如一次购物超过500元的,其中500元给予九折优 惠,超过500元的给予八五折优惠;某人两次去购物, 分别付款176元和432元,如果他只去一次购买同样 的商品,则应付款_元. 解析 由题意知付款432元, 实际标价为432 =480 元, 如果一次购买标价176+480=656 元的商品应付款 5000.9+1560.85=582.6 元. 910582.69.(2010苏州模拟) 鲁能泰山足球俱乐部为救

22、助失 学儿童,准备在山东省体育中心体育场举行一场足 球义赛,预计卖出门票2.4万张,票价有3元、5元和 8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张. 设x 是门票的总收入,经预算,扣除其他各项开支 后,该俱乐部的纯收入为函数y=lg 2x,则这三种门 票的张数分别为_万张时可以为失学儿童 募捐的纯收入最大. 解析 该函数模型y=lg 2x已给定,因而只需要将条 件信息提取出来,按实际情况代入,应用于函数即可 解决问题. 设3元、5元、8元门票的张数分别为a、b、c,则 a+b+c=2.4 ab=0.6 . x=3a+5b+8c 代入有x=19.2-(5a+3b) =13.2(万元),当且

23、仅当 时等号成立,解得a=0.6,b=1,所以c=0.8.由于y=lg 2x为增函数,即此时y也恰有最大值.故三种门票的张数分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大. 答案 0.6、1、0.8 ab152219 . 6035.abba二、解答题10.(2009江苏台州模拟)我市有甲、乙两家乒乓球 俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同. 甲俱乐部每张球台每小时5元;乙俱乐部按月计费, 一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元， 超过30小时的部分每张球台每小时2元 .小张准备 下个月从这两家俱乐部中的一家租一张球台开展活 动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时. (1)设在甲俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费 为f(x)元(15x40),在乙俱乐部租一张球台开展 活动x小时的收费为g(x)元(15x40),试求f(x) 和g(x);(2)你认为小张选择哪家俱乐部比较合算?请说明理由. 解 (1)f(x)=5x,15x40.(2)若15x30,当5x=90时,x=18,即当15x18时,f(x)g(x),当x=18时