三角形四心的向量表示

1、2.5.2 平面向量应用举例平面向量应用举例平面几何中的常用向量结论平面几何中的常用向量结论ABDC三角形四心的向量表示三角形四心的向量表示外外重重三角形四心的向量表示三角形四心的向量表示内内垂垂例例1、已知、已知O是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不是平面上不共线的三个点，动点共线的三个点，动点P满足满足则则P点的轨迹一定通过点的轨迹一定通过ABC的（的（ ）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心)(ACABOAOP点拨：由点拨：由得出得出 由平行四边形法则和共线定理可得由平行四边形法则和共线定理可得AP一一定经过定经过ABC的重心。的重心。)(ACABOAO

2、P)(ACABAPC变式变式1、已知、已知P是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不是平面上不共线的三个点，点共线的三个点，点O满足满足则则O点一定是点一定是ABC的（的（ ）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心点拨：点拨：由由得出得出 故故O是是ABC的重心。的重心。300POPAPBPCPOPAPOPBPOPCAOBOCO 13POPAPBPC 13POPAPBPC C变式变式2、已知、已知O是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不是平面上不共线的三个点，动点共线的三个点，动点P满足满足则则P点的轨迹一定通过点的轨迹一定通过ABC的（的（ ）A 外

3、心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心)0)sinsin(，CACACBABABOAOP点拨：在点拨：在ABC中，由正弦定理有中，由正弦定理有令令则则由平行四边形法则和共线定理可得由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过一定经过ABC的重心。的重心。CACBABsinsinCACBABtsinsin)0)(，tACABtOAOP)(ACABtAP)0)sinsin(，CACACBABABOAOPC例例2、已知已知O是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不共是平面上不共线的三个点，动点线的三个点，动点P满足满足则则P点的轨迹一定通过点的轨迹一定通过ABC的（的（ ）A 外

4、心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心)0)coscos(2，CACACBABABOCOBOP点拨：取点拨：取BCBC的中点的中点D D，则，则由已知条件可得由已知条件可得又因为又因为所以所以所以所以DPDP是是BCBC的垂直平分线，所以的垂直平分线，所以P P点的轨迹一定经过点的轨迹一定经过ABCABC的外心。的外心。2OCOBOD)0)coscos(，CACACBABABDP()()0coscos-+AB BCAC BCBC DPBCBCABBACC DPBC )0)coscos(，CACACBABABDPA外心的向量表示外心的向量表示结论结论2：ABC所在平面一定点所在平面一定

5、点O，动点，动点P满足满足 P点轨迹经过点轨迹经过ABC的外心的外心结论结论1：O是三角形的外心是三角形的外心 或或OCOBOA222OCOBOA)0)coscos(2，CACACBABABOCOBOP例例3、已知已知O是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不共是平面上不共线的三个点，动点线的三个点，动点P满足满足则则P点的轨迹一定通过点的轨迹一定通过ABC的（的（ ）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心)0)coscos(，CACACBABABOAOP点拨：由已知等式可知点拨：由已知等式可知在等式的两边同时乘以在等式的两边同时乘以即即故点故点P P的轨迹一定通过

6、的轨迹一定通过ABCABC的垂心。的垂心。)0)coscos(，CACACBABABAPBC()()0coscosAB BCAC BCBC APBCBCABBACC BCAP )0)coscos(，CACACBABABOAOPD变式变式3、已知、已知O是平面上一点，是平面上一点，A,B,C是平面上不共是平面上不共线的三个点，点线的三个点，点O满足满足则则O点一定是点一定是ABC的（的（ ）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心OAOCOCOBOBOA点拨：点拨：OA OBOB OC 0-OA OB OB OC 0-OA OCOB 0CA OB 同理可得同理可得CAOB CBOA

7、ABOC D垂心的向量表示垂心的向量表示结论结论1 1：O O是是ABCABC的垂心的充要条件是的垂心的充要条件是OAOCOCOBOBOA结论结论2、动点、动点P满足满足P点的轨迹经过点的轨迹经过ABC的垂心的垂心)0)coscos(，CACACBABABOAOP例例4 4、已知已知O O是平面上一点是平面上一点, ,A A、B B、C C是平面上不共线是平面上不共线的三个点的三个点, ,(a,b,c(a,b,c是是ABCABC的的A,B,CA,B,C所对的三边所对的三边) )点点O O满足满足则则O O点一定是点一定是ABCABC的（的（ ）A A 外心外心 B B 内心内心 C C 重心重

8、心 D D 垂心垂心点拨点拨：由已知条件可得：由已知条件可得同理可得同理可得0OCcOBbOAa0+aOAb OA ABc OA AC ()abc OAbABcAC ()abc OBbBAcBC ()abc OCbCAcCB 则则O O点一定是点一定是ABCABC的内心的内心B 例例5 5、已知非零向量已知非零向量 与与 满足满足且且 ，则，则ABCABC为（为（ ）A A 三边均不相等的三角形三边均不相等的三角形 B B直角三角形直角三角形 C C等腰非等边三角形等腰非等边三角形 D D等边三角形等边三角形点拨：点拨：从从 可知可知 的平分线的平分线垂垂直对边直对边BCBC，故，故ABCAB

9、C为等腰三角形；为等腰三角形；可知可知cosA= cosA= ，所以，所以 =60 =60，故故ABCABC为等边三角形。为等边三角形。ABAC0)(BCACACABAB21)(ACACABAB0)(BCACACABABBAC21)(ACACABAB21A从从D例例6 6、已知已知O O是平面上一点是平面上一点, ,A A、B B、C C是平面上不共线是平面上不共线的三个点的三个点, ,点点O O满足满足则则O O点一定是点一定是ABCABC的（的（ ）A A 外心外心 B B 内心内心 C C 重心重心 D D 垂心垂心0CBACCACAOCBCBCBABAOBACACABABOA四心逐个四心逐个突破突破BABCO,:,.OAa OBb OCcBCcb CAab ABba 则证：设证：设例例7、已知已知O为为ABC所在平面内一点，且满足所在平面内一点，且满足:问：问：O是是ABC的的_心。心。222222| .OABCOBCAOCAB 化简：化简