哈工大物理第3章动量和动量守恒

1、第第3章章 动量和动量守恒动量和动量守恒tF d dFrdMtdMdd(m )Ftv21tt12vv)(ddvmtF2121)(ddttvvvmtF)2(d1221vmvmtFtt21tttFId平均冲力的概念：平均冲力的概念：21d)(1_ttttftFF恒力21d)(ttttftF恒力F tt1t2tftpFddPtFdd 2121ddttPPPtFdddIF tp2121dttIF tpp合力的冲量合力的冲量动量的增量动量的增量作用于质点的合力的冲量等于质点动量的增量作用于质点的合力的冲量等于质点动量的增量 - 船行船行“八面风八面风”21ftppp 船对风ff 风对船船对风f与水的阻力

2、相平衡与水的阻力相平衡为船前进的推动力为船前进的推动力IIf 龙骨龙骨f阻f1p2pp 帆帆V1v2vf/ /f风对船 fm 船对风f风风2121dtxxxxtIFtpp2121dtyyyytIFtpp2121dttIFtppzzzzdddIF tp2121dttIF tpp0dtPRImgk tmgk vjik2PTbaIImmm ivvv22TPIm iIRm imgkvvv2mviTIPI计算冲量举例计算冲量举例ab gmTavbvfF1112ddPFft2221ddPFft1m1v2m2v3m3v4m4v1m2m12f21f1F2F12121221ddddPPFFfftt 2121PP

3、tFF dd12121221ddddPPFFffttiFijfipiijijiptfFdd ）（ iiiijijiptfFdd(）2112ffi j fj i fi j1212()ddFFtPP iijijf0jiijffddiiiiFtp iiiijijiptfFdd(）ddFtp合合外外2121dttFtpp合合外外质点系的动量定理：质点系的动量定理：作用于质点系的合外力的作用于质点系的合外力的冲量等于系统动量的增量。冲量等于系统动量的增量。ddFtp合合外外2121dttFtpp合合外外i j fj i fi j 例例 一柔软链条长为一柔软链条长为l,单位长度的质量为单位长度的质量为 .

4、链条放在桌上链条放在桌上,桌上有一小孔桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下链条一端由小孔稍伸下,其余部分堆在小其余部分堆在小孔周围孔周围.由于某种扰动由于某种扰动,链条因自身重量开始落下链条因自身重量开始落下 .求链条求链条下落速度与落下距离之间的关系下落速度与落下距离之间的关系 . 设链与各处的摩擦均设链与各处的摩擦均略去不计略去不计,且认为链条软得可以自由伸开且认为链条软得可以自由伸开 . 解解: 以竖直悬挂的链条和以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统桌面上的链条为一系统,建建立如图坐标立如图坐标由质点系动量定理得由质点系动量定理得ptFddexm1m2OyyyggmF1ex则则则则tdd

5、vyyg 两边同乘以两边同乘以 则则 yydvvvyyyyyygyddddd2t vvvyyyyyyg002dd21 gy32v232131vygy m1m2Oyy)d(d vytyg)d(dvyp又又ptFddexiivmPi3-2 3-2 动量守恒定律动量守恒定律说明说明ddFtP合合外外2121dttFtpp合合外外iixm恒量viiym恒量viim恒量zv0ixF 0iyF 0izF tttdtvmmmdtvmmmudtl01221012210211012tmxv dtlmm 12112mxxllmm vv)(mMmuMmMmuMvvmMumvvvvvvuMmvvvuMMutmtat6

6、ddlim0ABuvA0()cos()m M vMvm v u0cosmuvvMm0cosmuvvvMm ,svt 0sinvmusMmg 0sinvtg0vvuoxy中国长征系列火箭中国长征系列火箭 3-3 3-3 火箭飞行原理火箭飞行原理-变质量问题变质量问题 粘附粘附 主体的质量增加（如滚雪球）主体的质量增加（如滚雪球） 抛射抛射 主体的质量减少（如火箭发射）主体的质量减少（如火箭发射） 还有另一类变质量问题是在高速（还有另一类变质量问题是在高速（v c）情况）情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也可以改变下，这时即使没有粘附和抛射，质量也可以改变 随速度变化随速度变化 m = = m(

7、v)，这是相对论情形，不在本节，这是相对论情形，不在本节讨论之列。讨论之列。变质量问题（低速，变质量问题（低速，v c c）有两类）有两类：下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。一一. 单级火箭单级火箭研究对象研究对象:t 时刻火箭和尚存的燃料时刻火箭和尚存的燃料经过经过 dt 时间，火箭喷出质量为时间，火箭喷出质量为 dm 的气体，的气体，其喷出速度其喷出速度相对相对火箭为火箭为定值定值 u ,t +dt 时刻时刻:喷出气体的质量等于火箭质量的减少量，喷出气体的质量等于火箭质量的减少量，对地对地的速度的速度为为v(1)选地面作参考系选地面作参考系

8、d()(d )(d )vv+ vvmuMmMd ,Mm 剩余质量为剩余质量为dvv对地对地速度为速度为(2)dd0vMu MddvM略去二阶小量略去二阶小量称为称为喷气速度喷气速度动量守恒动量守恒dd mMd()(d)(d )+vvvvMuMMMddddddvvvvvvMMuMMMMM选正向选正向t 时刻时刻: 火箭火箭+燃料燃料=M或者或者dd vMuM设火箭点火时质量为设火箭点火时质量为 Mi，初速度为，初速度为 vi , 燃料烧完后质量为燃料烧完后质量为 Mf , 末速度为末速度为 vf ，对上式积分，则有对上式积分，则有ddffiivMvMMu,Mvlnifv -vifMuM 火箭火箭

9、增加的速度增加的速度0lnvMuMsm/5000uv1. 化学燃料最大化学燃料最大 u 值为值为实际上只是这个理论值的实际上只是这个理论值的50% . 这个这个 u 值比带电粒子在电场作用下获得的速度值比带电粒子在电场作用下获得的速度 3 108 m/s 小得多小得多 , 由此引起人们对离子火箭由此引起人们对离子火箭 , 光子火箭的遐想光子火箭的遐想. 可惜它们喷出的物质太少可惜它们喷出的物质太少, 从而推动力太小从而推动力太小 即所需加速过程太长即所需加速过程太长 .初速为初速为0时时提高提高 v 的途径：的途径：dd0vMu M2. 0ln,vMM0vMM大， 大， 1122lnlnlnn

10、nnuNuNuN .12v =v + v+ vlniifMuMfv -v123lnu( N N N )vdtdmuF箭对气tmuFFdd 气气对对箭箭3-5 3-5 质心质心 质心运动定理质心运动定理与质量分布有关的一个代表点，它的与质量分布有关的一个代表点，它的位置在平均意义上代表质量分布的中心。位置在平均意义上代表质量分布的中心。一一. . 质心质心ccccccc 板上点板上点C的运动轨迹是抛物线的运动轨迹是抛物线 其余点的运动其余点的运动=随点随点C的的平动平动+绕点绕点C的的转动转动1r2rxzyocrm1mim2ciriiiCmmmrmrmrmr212211mrmmrmriiiiic

11、 niiniiicmxmx11质量离散分布的物体质量离散分布的物体质量连续分布的物体质量连续分布的物体mrmrcd1mxmxcd1 niiniiicmymy11 niiniiicmzmz111dcyy mm1dczz mm质心是以质量为权重的质心是以质量为权重的“平均位矢平均位矢”crmrmmrmriiiiicoabmmx12cxab ()2cmam abxmcx加权加权“平均位矢平均位矢”二二. .质心运动定理质心运动定理1r2rxzyoCrm1mim2cir 由由质心位矢质心位矢对时间求一阶和二阶导数可得对时间求一阶和二阶导数可得质心速度质心速度质心加速度质心加速度ddvviiccmrtm

12、22ddiicicmaratm质点系的动量：质点系的动量：iiipmviiimmmvcmviicm rrm将质点系总动量对时间求导，将质点系总动量对时间求导，ddddccPFmmatt合外vcFma合外即即说明：说明：作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统质心加速度的乘积统质心加速度的乘积-质心运动定理质心运动定理ddFtp合外cPmv质点系的质点系的质心质心仍按质点的运动规律仍按质点的运动规律作抛物运动作抛物运动. 请讨论下面问题：请讨论下面问题：炮弹爆炸炮弹爆炸抛出鎯头抛出鎯头COxCx2m22mm1x212211mmxmxmxC01xCxx22

13、iivmPi0F合外ddFtP合外CFm a合 外iixF0constcx.v质点系动量守恒和质心匀速运动等价！质点系动量守恒和质心匀速运动等价！光滑冰面上匀速运动的钣手光滑冰面上匀速运动的钣手0cca vmMdcc方法一：方法一： 质心法。质心法。系统：人与船系统：人与船水平方向：不受外力水平方向：不受外力所以所以质心始终静止。质心始终静止。 质量质量M=200千克、长千克、长 l =4米米 的木船的木船 浮在浮在 静止的水静止的水面上，一质量为面上，一质量为m=50千克千克 的人站在船尾。的人站在船尾。若若人从船尾人从船尾走到船头，走到船头，xx2x1x2x1yMmMxmxxc 21MmxMxmxc 212121xMxmMxmx MmMxmxxc 21MmxMxmxc 212121xMxmMxmx 1122xxmxxM dlmMd m.8042005050 lMmmd0MVmvmVvM 00TTmV d tvd tM dlMmd lMmmd vVVv【解【解】 ：地面参考系，对：地面参考系，对(m+M) 000cxcxiixvvF,0MmXMxmxcXxxMmxmX