2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学(二)试题(解析版)

1、2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学(二)第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1 .已知集合内=出忱=2口 一 Ln EN) , E =6,则n ()A. - B.C. I I D.【答案】B【解析】【分析】由A与B,求出两集合的交集即可【详解】因为集合 A = x|x = 2n-l,n N =一135,7,所以AnR=TJ35壬,故选：【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2 .下列各式的运算结果为21的是()A. ； 土 丁厂 一 4 B.C. ； + D.1【答案】D【解析】

2、【分析】利用复数形式的代数运算化简各选项即可得到答案【详解】 十 ，1+ = ”0；日十阿. .1 1i(2 I i)-l =2i I T -I3i =-+ 3i = -i + 3i = 2i.故选：运点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设 4= a-blZ2 =，+ digbc"R),则勺= 十 bi)(c - d) = ac - bd + 3d 十 bc)izi a - bi (a bi)(c - di) (ac + bd) - (be - ad)i .z2 c - di (c - di)(c - di) c2 _ j23 .现有甲、乙两台机床同时生产直径为40mm的零件，各抽测

3、10件进行测量，其结果如下图，则不通过计算从图中数据的变化不能反映的数字特征是()A.极差 B.方差 C.平均数 D.中位数【答案】C【解析】【分析】根据频数分布折线图逐一进行判断即可.【详解】由于极差反映了最大值与最小值差的关系，方差反映数据的波动幅度大小关系，平均数反映所有数据的平均值的关系，中位数反映中间一位或两位平均值的大小关系，因此由图可知，不通过计算不能比较平均数大小关系.故选：【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小，方差或标准差越小，则数据分布波动较小，

4、相对比较稳定4 .已知在底面为菱形的直四棱柱ABCD-AFiCQi中，一4口 = 4出口1 = 4,若462 = 6。"则异面直线Eg与AD1所成的角为()¥A. B.C.D.【分析】 连接Bq交BE于点。丫9/用4, J/BOC （或其补角）为异面直线Bg与AD所成的角，转化到三角形中即可求出【详解】连接BD,BC,Dtu丁四边形ABCD为菱形，4BAD = 60、AB = 4,八ED = 4.又ABD%为直角三角形，"BD； = ED。DD；,得”4,四边形BCCRi为正方形.连接8C1交于点。“ Bg II AD】，J.ZBOC （或其补角）为异面直线与AD

5、所成的角，由于BCCE为正方形，乙B0C = 9U° ,故异面直线BC与.XD所成的角为驮。.故选：【点睛】求异面直线所成角的步骤 ：1平移，将两条异面直线平移成相交直线.2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角.3求角 在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角.4结论.5 .如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为20,则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为14 .现从1234,5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）【答案】B【解析】【分析】由“和谐图形”得到满足题意的情况共两种，利用

6、古典概型概率公式即可求出【详解】由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为20-14 = 6 .从1,13, 4, 5中任取两个数字的所有情况有（1,“口、3）。）（1§, （23，（24）,（25）, （3,纵（五5）44,5）,共I。种，而其中数字之和为6的情况有 （1,51伍4）,共10种，所以所求概率P = g 故选：1.基本事件总数【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数:2.注意区分排列较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举;与组合，以及计数原理的正确使用.

7、6 .已知函数厂fg在区间内单调递增，且=若L"唱? b = f0/，C = ©,则;ibc的大小关系为（）A. ：.-B.卜IC. I 、'D.：'I：、'【答案】B【解析】【分析】利用奇偶性把自变量转化到同一单调区间即可比较大小【详解】," = 口1电3）”1啥）以吟） 2且】口出3；,027工 M 2T =：，: 10段2-1二0.又（X）在区间（-8,6内单调递增，且f（x）为偶函数， 在区间（口,十内单调递减，.故选：【点睛】对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号 /

8、，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式（组）的问题，若RX）为偶函数，则f（X）= f（-X）=氏因），若函数是奇函数，则f（-x） = -f（x）.7 .执行如图所示的程序框图，则输出的 值为（）rn百是,:，/*£/rtr=jw+3|-1=1 A. B. C. ' D.【答案】C【分析】m的值.模拟程序的运行，可得程序框图的功能，结合已知进而计算得解【详解】初始值：S= Lni = 2,第一次运行：m = 2,S = 1 工(2-1) = I;第二次运行：m = 4,S = 1 * (4-1) = 3;第三次运行：m = 3 x (6-3) = 9;第四次运行：m=WS

9、 = 9 x(8-9)=-9<0,运行终止，因此输出.故选：【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题 .解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序，(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可】 兀8.关于函数氏x)=国1飙于+ 3的图象或性质的说法中，正确的个数为( 函数f(x)的图象关于直线x = g对称；兀1 兀将函数的图

10、象向右平移：个单位所得图象的函数为 y = 2sin(-x -卜-);TL 5兀函数在区间上单调递增；若f(x)="贝U=；.2 33A. B. C. : D.【答案】A【解析】【分析】I 洱其令/ 1 1 = ,4麻得到对称轴，即可作出判断；根据平移变换知识可知正误；求出其单调增区间即可作出判断;利用配角法即可得到结果.辄算【详解】令-X-I - = -+则> E 71),解得x = I 2k兀(k £ Z), 26 25当k=】时，得到x = ,故正确；虱1JT过1将函数f(x)的图象向右平移二个单位，得y = 2smHx-；-) + - = 2sin-x ,故错

11、误；32 362,711 兀 元47t2兀令；4<-x2kjc(k e Z) =>14k范 < x < k7c(k e z),故错误;回、 J .玉右 2sin(-x -+ -) = a,2 o7L 1 乳吠0 =故选：.【点睛】函数y = Asin(»x十中)十E(A > 0,co > Oj的性质.加(2)周期T = -由3x +中=一4k克& E Z)求对称轴 上兀兀7C3兀(4)由二;+及兀Mm工一 "三+ 2kxk E Z)求增区间 油；卜2k五W乂 ,-<p< 1 2k其(k w Z)求减区间 22229.某

12、几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为(何视图A. B.溟:;铝C. D d D.嗔七【答案】C 【解析】【分析】由三视图可得该几何体为同底面不同棱的两个三棱锥构成，补成正方体即可求出该几何体外接球的面积【详解】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为&a的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为 a的正三棱锥，另一个是棱长为 虚6的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为 &的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以2R =技- f 0 =忑日=1< = £1,所

13、以该几何体外接球面积 S = mV = 4於乂（£ = 3/%, 22故选：【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切 问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.（2）若球面上四点P, AB,C构成的三条线段PAPRPC两两互相垂直，且PA= a,PB= b,PC= c, 一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2= a2+ b2+ c2求解.10.已知F是抛物线c：/= 16x的焦点，过F点作x轴的垂线与抛物线在第一象限的交点为P,过P点作直线x = -6的

14、垂线，垂足为M ,直线x = -6与x轴的交点为K ,在四边形KFPM内作椭圆E,则面积最大的椭圆E的内接矩形的最大面积 为（）A.斗回 B. . C. D.【答案】D【解析】【分析】明确四边形KFPM的边长，在其内作面积最大的椭圆应与各边相切，可知所作的椭圆的长半轴长为短半轴长为4,利用三角换元知识即可得到最值.【详解】由 y2 = 16x ,得 p = S ,即 £ = 4 ,则 F（4,。）,当 x = 4 时，y° = 16*4 = 64 =¥=*,所以 |PM| = 1商,则四边形KFPM为边长分别为10与宫的矩形，故在其内作面积最大的椭圆应与各边相切，

15、可知所作的椭圆的长半轴长为5,22短半轴长为4,又在椭圆 二十内作内接矩形的最大面积记为 S,易知S = 2absm 20 < 2ab （ 8为参数），因 a b3此币 tax = 2*5x4 = 40,故选：【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的

16、取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.11.在山怔中，内角的对边分别为包b总若AABC的面积为S ,且a =】，4S = I?十1 ,则AABC外接圆的面积为 （ ）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】由余弦定理与面积公式结合条件可得/A的值，然后利用正弦定理可得 AABC外接圆的直径，进而得到外接圆的面积【详解】在AABC中，由余弦定理，得=+ c，2bccosA,既有ZbccosA = h* l c2 a2 = b3 I c3-,又由面积公式，得1 、 r兀S = -bcsinA,即有 4s = ZbcsinA,又 4s = tT

17、+ c=T ,所以 bccosA = 2bcsuiA ,所以 binA 二 I .因为0 < A < te ,所以 A =-,2 4a工】在又由正弦定理，得 =2R,其中R为3ABC外接圆的半径，由曰=及A = 5,得r =L=一正一万，所以外接圆sinA4 sinA 2 台 故选：.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：(1)知道两边和一边的对角，求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角)；(2)知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；(3)证明化简过程中边角互化；(4)求三角形外接圆半径.12

18、 .已知函数 心<)是定义在区间(。,一技上的可导函数，。的为其导函数，当X)。且x至2时，(x-2) 2f(x) + xf(K：)|<0, 若曲线y = fg在点町)处的切线的斜率为-4,则f的值为()A. B. C. ' D.【答案】A【解析】【分析】令g (x) =x2f (x),讨论x>2, 0vx<2时，g (x)的单调区间和极值点，可得 g' (2) =0,即有f (2) +f '(2) =0, 由f'(2) =-4,即可得出.【详解】当 x>0 且 时，(x-2)2f(x)+ xf&)U0,可得 x>2

19、时，- xf(x)4 0;。父工<2 时，2f(x) - xf (x) > 0 , 令g(x) = x*f(x) ,k E 十 oo),则g(x) = 2xf(x) + x" £(x) = x2f(x)十 xf(x),可得当 口 v/ < 2 时,g(x) > 0 ;当x a 口 时,g(x) < 0 , 所以函数 正)在” 2处取得极大值，所以 名=4f1於=。，又心=4,所以2) = 4 .故选：【点睛】用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助f(x)函数常根据导数法则进行：如f (x)<

20、 f(x)构造驱卢不；如f&)-必<0构造驱尸如xfr(*)uf(x)构造 e,g(x)=；如 xf&)十 f(x) <。构造纲: xf(K 1 等.X第R卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13 .已知向量a = （x,x-2）,其中xER,且a + 6与a垂直，则x的值为3【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解,其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程,得至U a,c【解析】【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出； 4 ，再由；+1与u垂直，能求出实数 x的值.【详解】 由题可知，：a - b = （1十x2）,因为a+b与a垂直，所以（1十x） x

21、 1十（-x） （-2） = 0,即I十x十2x = 0,即茂=一, 故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题.2 214 .过双曲线三三=1 （曰,。力0）的右焦点尸作渐近线的垂线，垂足为P,且该直线与丁轴的交点为Q,若IFPI7OQI （。 a- b-为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围为 1 - J5【答案】【解析】【分析】由|FP|c|OQ可得的式。从而得到双曲线的离心率.bb|bc|【详解】不妨设渐近线方程为y=x,右焦点F9G）,则点F（c.O）到渐近线y

22、= 中的距离为I印=, = b .又在方程aa/十bbacacac 下,.y=，-(x-c)中，令 x = 0,得丫 = 丁，所以 Q(07).由 |FP<OQ|,可得 FP| < |OQ| ,可得卜七ac<0 -a %而 故答案为： £-ac<0,即 abbb,I + J5将已" e 1 < 0<,又21十有因为已 】，所以1U£ : -.的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：求出 a,c,代入公式u = *；a只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转

23、化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式），即可得e （e的取值范围）.兀15 .已知曲线J的方程为（艾-I?卜&-疗=1 ,过平面上一点R作J的两条切线，切点分别为耳，且满足4XPW=§.兀记P的轨迹为C:,过平面上一点P/乍G的两条切线，切点分别为 A2,B2,且满足rA2P2B2 = -3EP.的轨迹为g ,按上述 规律一直进行下去，记% =内岛-4面，且与为数列 区的前口项和，则满足 - 5n > 0的最小正整数n为. 【答案】5【解析】【分析】由题意可知轨迹J分别是半径为12481&32,2”的圆，故 = 一，求出学，解不等式足当-5n。即可.【详解

24、】由题设可知轨迹分别是半径为124K16、32rd的圆.因为% = ©玛-1而皿所以为=1电=2阚=47口_白4 = 8,4=2" I,所以5口 =%I日/ % = 1 2 7十十产1二二艺-1.由>0,得N-TuaO2 1二2口>511+1,故最小的正整数口为土故答案为：5【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，考查数列递推公式、两点间距离公式、直线与圆相切的性质、 勾股定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.16 .某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具

25、共3。个，生产一个遥控小车模型需10分钟，生产一个遥控飞机模型需12分钟，生产一个遥控火车模型需 分钟，已知总生产时间不 超过32。分钟，若生产一个遥控小车模型可获利160元，生产一个遥控飞机模型可获利180元，生产一个遥控火车模型可获利120元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是 元【答案】【解析】【分析】依题意，每天安排生产x个遥控小车模型，丫个遥控飞机模型，则生产（30r-y）个遥控火车，根据题意即可得出每天的 利润；先根据题意列出约束条件， 再根据约束条件画出可行域， 设/ = 4。乂+60y十3600 ,再利用z的几何意义求最值.【详解】设每天安排生产 x个遥控小

26、车模型，y个遥控飞机模型，则生产（30r-y）个遥控火车Ox12y 8（30-x-y）<320,模型，依题得，实数 f满足线性约束条件30-x-y > 0,目标函数为z= 16以十ISOy+l20（30-x-y）,x > 0,y > 0,X i2y < 40,化简得 x-y<30, z = 40x+ 60y + 3600, x > 07y > 0,伊42y W 40,作出不等式组 x十睦30,表示的可行域（如图所示）： tx>O7y >0,2作直线坛丫 = -9-6。，将直线（向右上方平移过点P时，直线在y轴上的截距最大，由H二罂得联

27、室所以心,此时二眦=40 乂 20 + 国父 10 + 3600 = 5000 （元）.故答案为：5000【点睛】本题考查线性规划的实际应用，在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件，由约束条件画出可行域，分析目标函数Z与直线截距之间的关系，使用平移直线法求出最优解，还原到现实问题中.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .设正项等比数列 均与的前n项和为已知与口6,通三8.（1）记=1。8式$3 2）,判断：数列、是否成等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由；I 2017（2）记i =-，数列的前n项和为耳，求满足T >

28、; 的最小正整数n的值.biibu -n 14036【答案】（1）见解析（2） %n = 4035【解析】【分析】（1）设等比数列能J的首项为如，公比为q,求出丐进而得到 工，结合等差数列定义即可作出判断；（2）由（1）可知，% =-二一.利用裂项相消法求出 11，即可求出最小正整数n的值.II n+ 1 n-2【详解】（1 ）设等比数列 同的首项为札,公比为q,由» = 6内=8 ,个（1 I 0） = 6,2得 2_s对=2内=（舍）.t 如q *3当q = 2时，力=2,所以aj(l -qn) 2(1 - 2") 所以1-2所以贝鬼=1吗& 2) =二n十1

29、,所以 + 二广2,因此%+ = (n + 2) -(十 1) = | ,且瓦=2,故数列%是首项为2,公差为I的等差数列(2)由(1)可知,则11I I -.bnb|T + j (n + IX11 + Z) n 十 1 n 十 2111 I11+ c = (- -) (- - -)Ji "' + (-) =-n 2 33 4n+1 n+22 n+2人 1120171令->=>,2 n + 2 4036 4036 n-2解得 n > 4034,又nEN*,所以而=4°35.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，

30、突破这一难点的方法是根据 式子的结构特点，常见的裂项技巧:11/11 11 f厂1hl 11(1)n(n + k) -kn'n<k)； 血 + k 卜加 3 ' ”)；(3) l)(2n -1 ' 2n+ J； (4>n(n-b l)(n+2)(JTT iXn - 2)此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1底面ABCD, PA = AB=2, BC =4UBCD = ；,以E为圆心，为半径的圆过证明：BEJ平面PAE；(2)若AD =由，求三棱锥P-ADE的体积.【答案】(1)见解

31、析(2) j【解析】【分析】I(1)要证BE1 平面 PAE,转证 AE _LEB. PA_LBE 即可；(2)三棱锥 P - ADE 的体积/, aed = ?aaed PA,在，AH D 中 利用解三角形知识求出其面积即可 .【详解】(1)由PA，底面ABCD,可知PA_LBE.又以E为圆心，1为半径的圆过点A,C,所以兀L又因为士BCD = 3，BC =心, 所以 . .在NAEE 中，有 Al? I EB2 = AB2, 所以乙AEE = 9。;即 又AE 口 PA = A, 所以BE _L平面PAE.（2）由（1）可知，LEB = 9。"所以.又由已知及（1）可知，BC =

32、垃隧=木,所以 在AAED 中，设ED = x,则由余弦定理,得 AE。ED2 - 2AE - EDccsZ.AED ,即，即 3x'.2#x.6 = O,解得 I由1=1. sin/-.AED = ccsZ-BEC ,由31 I由企所以.'.2 232因为PA_L底面ABCD, II 12 Ji所以三棱锥一正的体积心一回飞京谢- PA = -x-x2=y ,一、柢故三棱锥P - ADH的体积为.【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法一一分割法、补形法、等体积法.割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用

33、割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形（或三棱锥）的高，而通过直接计算得到高的数值.19.下表是某学生在4月份开始进人冲刺复习至高考前的5次大型联考数学成绩（分）；联考次工wrr )J2345效学分数y(0<jCI50)1171271251341425D4Q却却lom O t th ik 11 11(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据，用

34、最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;若在4月份开始进入冲刺复习前，该生的数学分数最好为高考的数学成绩，并以预测高考成绩作为最终成绩，求该生分数取整数)116分，并以此作为初始分数，利用上述回归方程预测,. . 1 、 ， 、 , . . . - 、 ， 、 , J ll=U4月份后复习提局率.(复习提局率卷面总分附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为i& =-I【答案】(2)y = 5一7x+lll.920%【解析】【分析】(1)把所给的5对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图;6的公式，求得结果，再把样本中心工=6代入线性回归方程yH6 (分),(2)根据

35、所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数点代入，求出台的值，得到线性回归方程；根据上一问所求的线性回归方程，把 净提高分为146 -116 = 30 (分)，即可估计该生 4月份后复习提高率.【详解】(1)散点图如图：分数)J50FOr 2 i 4 5-1 2 + 3 4 + 5 (2)由题得，x =；_117 i 127 125 134 4 142、v = =129Z% =2苫"$5，取5 "f = 45，5xy = 5 篦 129 = 1935,i = 1i = L所以1992-193555-45= = 5 7, A= 129.5.710故y关于x的

36、线性回归方程为y =5.7x十111.9.由上述回归方程可得高考应该是第六次考试，故工=6 ,则y = 5.7乂6十 111.9 = 146.1 = 146 (分)，故净提高分为146-116 =前(分)，所以该生的复习提高率为150【点睛】求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算n n是一条重4'.£乂：,£乂前的值；计算回归系数 £8;写出回归直线方程为 = Bx + a;回归直线过样本点中心 i = l 口】要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势20.已知函数氏 x) = Inx

37、1 x"-,x, a ER.(1)若函数Rx)在定义域内单调递增，求实数 a的取值范围；(2)证明：方程E(x) = 有且只有一个实数根.【答案】(-6,4於(2)见解析【解析】【分析】,1 I2(1)依题意，得= - + 2x - 丁 “恒成立，即a W - + 4x在区间(0,十内恒成立；Inx1(2)方程f(x) =。有且只有一个实数根即证明函数虱x) = q- +箓的图象与直线y = j!有且只有一个交点.令Inx际)=+ x,研究其图象变化趋势即可.X【详解】(1)由题得，函数f3的定义域为 及-吟,1由 f(x) = 1nx x - ax,1 I得 2x-a,】 I依题意

38、，得f(x)=2x - 1芝。恒成立,2所以n<-+ 4工在区间(0, 一党内恒成立, K所以.2F2而一 + 4x22 J-4n = 4淄，当且仅当-=4x,XkX即K = 时，等号成立，2故a£(3 4k)向=4在， 人因此实数a的取值范围为(.汽4忑.7(2)令圾k)=。，即 Inx x- ax =。，2口 J1nx即,h x(x E (0, - 8),也就是证明函数 虱制=当+工的图象与直线y = 3有且只有一个交点Inx由 g(x) + x,Xx2 - 1 nx + 1+ 12 K记，所以X X人，.由令(p(x) = 0=2x - 1 = 0=N =,当x&

39、(0,当时，(p'(x)<O,q>(X)在区间(0,当内单调递减；志 ,、应 、当xE(一.十g)时，q>(K)AO,tP(乂)在区间(一 J电内单调递增， 上二,2J2 J2所以当x = 一时，中(xi有有极小值仅一)=一In I 1 >0, 2222故式)> 0,Inx因此g(x) + x在区间一吟内单调递增，X又因为当X E十co),且XT。时,鼠X)T-0,当XT十漪时，g(x)T十6 ,InxI因此函数g(x) = q-4x的图象与直线y=,有且只有一个交点,故方程f(x) = 0有且只有一个实数根.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法

40、和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.x V.21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：-+=b > 0)的离心率为,且椭圆的短轴恰好是圆乂，-丁=4的一 a2 b-3条直径.(1)求椭圆C的方程(2)设.%,外分别是椭圆1c的左，右顶点，点P是椭圆【'上不同于名,多的任意点，是否存在直线 x = m,使直线AF交直线x = m于点Q,且满足七心一 T ,若存在，求实数1H的值；

41、若不存在，请说明理由.V" V，39【答案】(1) (2) hi9 45【解析】【分析】<5 c Ja'-b(1)由e=2L=_=vL_L, 2b=4,联立解出即可得出； 3 a a(2)由题意知,设口海城，直线AF的方程为¥=J(x+3),则+ 3>，又点以过四。在椭圆C均-/1九上,Qg式m + 3).从而 A2P - ArQ = (x0-3M-m - - =0x- 393 /故存在实数HI的值.【详解】(1)由题可知，b = 2.联立 c 而=I 55 n J = 9 c* = 5 ,t=T j 下3 22故椭圆C的方程为- + -=. 94(2)

42、由题意知，%(-瓦OA18c；),设乳际端,则直线的方程为V =(k+ 3).飞士3设存在直线x = m满足条件，为 则当x = m时，v = (m + 3),所以,.又点式如几)在椭圆C上,所以4= K1)，所以为P = &y3,yj,A±Q= (m3), Xq + 3-y0A2P A2Q =的- 3ny0) (m - 3,(m -3)问十？= (x-3)(m-3)+ + 3) x0 MAV m 4(3-3(3 +%)-()-3Xm -3)+ (m +3)9的 + 3)=(% - 3)(m - 3)+ *x； *3 i“ 3)513；-： -<:v- - j.因为kp% ' %&=，所以 A；P，A；Q =。，513即因)-3X-m -) = 0,又由题可知工0#3, 51339所以-m - 一 =一,935所以存在m = g满足条件.【点睛】解决解析几何中探索性问题的方法存在性问题通常采用“肯定顺推法”.其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，