九年级数学上册一元二次方程考点探究新版苏科版

1、一元二次方程考点探究【考纲要求】1 .理解一元二次方程的概念.2 .掌握一元二次方程的解法.3 .了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用.4 .会列一元二次方程解决实际问题.【命题趋势】结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，-元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知识综合命题时常为解答题.【考点探究】考点一、一元二次方程的有关概念【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A.x2+J=0B.ax2+bx+c=0C.(x-1)(x+2)=1D.3x2-2x

2、y-5y2=0解析：由一元二次方程的定义可知选项A不是整式方程；选项B中，二次项系数可能为0;选项D中含有两个未知数.故选C.答案：C方法总结方程是一元二次方程要同时满足下列条件：是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数为2;二次项系数不等于0.容易忽略的是条件和.触类旁通1已知3是关于x的方程x25x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根是()A.-2B.2C.5D.6考点二、一元二次方程的解法2【例2】解方程x4x+1=0.分析：本题可用配方法或公式法求解.配方法通常适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程.对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代

3、入公式求解.解：解法一：移项，得x24x=1.配方，得x2-4x+4=-1+4,即(x2)2=3,由此可得x2=±y3,x1=2+3,x2=2，3.解法二：a=1,b=4,c=1.b2-4ac=(-4)2-4X1X1=12>0,x=4-2方法总结此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法.选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速.2触类分通2解方程：x+3x+1=0.考点三、一元二次方程根的判别式的应用【例3】关于x的一元二次方程x2C.n4mk>0D.n-4mk>

4、0考点四、一元二次方程根与系数的关系例4已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个实数根x1,x2.(1)求k的取值范围；(2)若|xdx2|=x1x21,求k的值.解：(1)依题意，得b2-4ac>0,IP-2(k-1)2-4k2>0,解得kw；(2)解法一：依题意，得xi+x2=2(k-1),xiX2=k2.以下分两种情况讨论：当Xi+X2>0时，则有Xi+X2=XiX21,即2(k-1)=k2-1,解得k1=k2=1.丁k<2,.k1=k2=1不合题意，舍去.当Xi+X2<0时，则有Xi+X2=(X1X21),即2(k1)=(k21).解得k1=1

5、,k2=-3.+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是()A.0B.8C.4±2D.0或8解析：b2-4ac=(mr2)24(nu1)=0,解得m=0,m=8.故选D.答案：D方法总结由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b2-4ac=0,从而得到一个关于m的方程，解方程求得m的值即可.一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况.2触类加！3已知关于x的一兀二次万程mx+nx+k=0(m0)有两个头数根，则下列关于判别式n24mk的判断

6、正确的是()22A.n-4mlkC0B.n4m仁01-kk=-3.综合可知k=-3.解法二：依题意，可知xi+x2=2(k-1).,1一由(1)可知k<2，-2(k-1)<0,即xi+x2<0.2(k-1)=k2-1,解得匕=1,k2=3.J.,cx1+x2,x1x2的形kw2,.k=-3.方法总结解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含式，然后把x1+x2,x1x2的值整体代入.研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：aw0,b24ac>0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件.触类旁通4若x1,x2是一

7、元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则x1x2的值是()A.4B.3C.4D.3考点五、用一元二次方程解实际问题【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加.据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆.若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x,由题意，得6.4(1+x)2=10,解得x1=0.25,x2=2.25.x2=2.25V0,故舍去，x=0.25=25%.10X(1+25%)=12.5.答：2011年的年产量为1

8、2.5万辆.方法总结此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤.解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程.最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去.触类旁通5商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元.据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加件，每件商品盈利元(用含x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元?【经典考题】1.用配方法解方程x2+4x+1

9、=0,配方后的方程是()A.(x+2)2=3B.(x2)2=3C.(x-2)2=5D.(x+2)2=52.已知关于x的一元二次方程x2+2xa=0有两个相等的实数根，则a的值是()A.1B.-1C.1D1443.已知关于x的一元二次方程x2bx+c=0的两根分别为x=1,x2=2,则b与c的值分别为()A.b=1,c=2B.b=1,c=2C.b=1,c=2D,b=-1,c=-24. 一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x,根据题意，下面列出的方程正确的是()A.100(1+x)=121B.100(1-x)=121C.100(1+x)2=121D.1

10、00(1-x)2=12125. 一兀二次方程x-2x-3=0的解为.6. 把一张边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.要使折成的长方体盒子的底面积为484cm：那么剪掉的正方形的边长为多少?折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由.(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.若折成的一个长方体盒子的表面积

11、为550cm；求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况).【模拟预测】1 .关于x的方程(n22)x2+(m2)x=0是一元二次方程的条件是()A.m#2B.m#±2C.2D.m士22.用配方法解方程x22x5=0时，原方程应变形为()A.(x+1)2=6B.(x+2)2=9C.(x-1)2=6D.(x-2)2=93 .已知关于x的一元二次方程(a1)x22x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()A.a<2B,a>2C.a<2且awlD.av24 .关于x的方程x2+px+q=0的两根同为负数，则()A.p>0且q>0B.p&

12、gt;0且q<0C.p<0且q>0D.p<0且q<05 .若x=2是关于x的方程x2xa2+5=0的一个根，则a的值为.6 .孔明同学在解一元二次方程x23x+c=0时，正确解得xi=1,x2=2,则c的值为触类旁通5.解：(1)2x50-x(2)由题意，得(50-x)(30+2x)=2100,化简，得x2-35x+300=0,解得xi=15,x2=20.1 .该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去.2 .x=20.答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.【经典考题】|1. A原方程变为x2+4x+4-4+1=0,所以(x+2)2=3.22.

13、B因为万程有两个相等的实数根，则24(a)=0,所以a=-1.3. Db=x+x2=12=1,c=x1x2=2.所以列方4. C因为每次提价的百分率都是x,则两次提价后价格是原价的(1+x)：程为100(1+x)2=121.25. 3或一1解方程：x2x+1=4,.(x1)2=4,x-1=+2,x1=3,x2=-1.6.解：(1)设剪掉的正方形的边长为xcm,则(402x)2=484,即402x=±22,解得x1=31(不合题意，舍去)，x2=9.，剪掉的正方形的边长为9cm.侧面积有最大值.2设男掉的正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为ycm,则y与x的函数关系式为y=4(40-2

14、x)x,22即y=8x+160x=8(x10)+800,当x=10时，y最大=800.即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方体盒子的侧面积最大为800cm2.(2)在如图的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为xcm,从而有2(402x)(20x)+2x(20x)+2x(402x)=550,解得Xi=-35(不合题意,舍去)，X2=15.，剪掉的正方形的边长为15cm.此时长方体盒子的长为15cm,宽为10cm,高为5cm.【模拟预测】1. D由题意知，n22W0,得±42.222. C因为x2x5=x2x+16=0,所以(x1)2=6.3. C因为原方程有两个不相等的实数根，所以判

15、别式(一2)24(a1)>0,且a1w0,解得av2且aw1.4. A因为方程两根为负，所以两根之和为负，即一p<0,所以p>0;两根之积为正，即q>0.5. +7p因为把x=2代入原方程得a2=7,所以a=±7.，c一、，6. 2因为a=1,一=x1x2=2,所以c=2.a,67. -因为a+b=6,ab=5,5-11所以二十b=a+b6ab565.8. 解：提取公因式，得(x2)(x+1)=0,解得x1=2,x2=-1.9. 解：(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意，得5(1x)2=3.2.解方程，得xi=0.2,x2=1.8.因为降价的百分率不可能大

16、于1,所以x2=1.8不符合题意,符合题目要求的是xi=0.2=20%.答：平均每次下调的百分率是20%.(2)小华选择方案一购买更优惠.理由：方案一所需费用为3.2X0.9X5000=14400(元)，方案二所需费用为3.2X5000-200X5=15000(元).14400V15000,，小华选择方案一购买更优惠.7.已知一元二次方程x26x5=0的两根为a,b,则1+：的值是ab8.解方程：x(x2)+x2=0.9.菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选