二一般形式的柯西不等式

1、一、柯西不等式的简介1、柯西简介1柯西(Cauchy),法国数学家、力学家。是第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础建立其完整理论的数学家。柯西在大学期间，就开始研读拉格朗日和拉普拉斯的著作。柯西最重要的数学贡献在微积分、复变函数和微分方程等方面。他提出的关于极限论”方法，把整个极限过程用不等式描述，后来经过改进形成的a-6方法一直沿用至今。止匕外，他还给出了如今通用的函数连续性概念，给出定积分的第一个确切性定义等。同时，柯西对力学和大文学，著作也非常丰富。共出版了7部著作和800多篇论文，以分析教程和关于定积分理论的报告最为著名。柯西具有极其崇高的学术价值。他是世界

2、著名数学家.是数学分析严格化的开拓者，复变函数论的奠基者，也是弹性力学理论基础的建立者。他是仅次于欧拉的多产数学家。他的全集，包括789篇论著，多达24卷，其中有大量的开创性工作。举世公认的事实是，即使过了将近两个世纪后，柯西的工作和现代数学的中心位置仍然非常接近。他引进的方法，以及独一无二的创造力，开创了近代数学严密性的新纪元。本文所要研究的柯西不等式就是柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式。柯西不等式的形式多种多样，证明方法很多，并且应用广泛，值得研究。2、柯西不等式及其推论2.1 一般形式的柯西不等式柯西不等式是数学中基本而且重要的不等式。在推广新课标

3、理念下，人教版选彳4-5不等式选讲将柯西不等式纳入了选修课程系统中。其表达形式为：定理：设a1,a2,langb,ibn是实数，则Q：+a22+.+an2h2+b22+bn2)之(a1bl+a2b2+anbn2,当且仅当bi=0(或ai=0或aibi=0li=1,2,3.,n)或存在一个数k使得ai=kb(i=1,2,3.,n)时等号成立。以上不等式称为一般形式的柯西(Cauchy)不等式。分析：1.在柯西不等式中，为了书写比较方便一般写为£ajfbi2>(Zabi)2o2 .在柯西不等式中，因为当bi=0(i=1,2,3.,n)时显然等号成立，当bi#0(i=1,2,3.,n

4、)时，我们也可将条件句=kbi(i=1,2,3.,n)写成分式的形式曳=竺一.=三(i=1,2,3.,n)。等号成立是柯西不等式中一个非常重要的部分，b1b2bi因此对等式成立的条件要分析透彻。3 .柯西不等式形式优美并且具有非常重要的应用价值，在不等式证明及数学竞赛解题中应用广泛。这个不等式限制条件少，ai,bi(i=1,2,3.n)可以为任意实数，并且其低维形式(二维形式、三维形式)在高中数学中应用较多。此外，还有几种比较常用的柯西不等式形式。二维形式：若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2b2+d2巨(ac十bd:当且仅当ad=cb时，等号成立。三维形式：若a1,a2,an；Db,bn

5、是实数,其中i=1,2,3,则2222222(aa2a3)bib2b3广匕a2b2a3b3当且仅当bi=0(i=1,2,3)或包=空=0(>#0其中i=1,2,3)时等号成立。b1b2b3向量形式：设P是两个向量，则.制斗叫耳。当且仅当P是零向量，或存在实数k使得«=kP时等号成立。二维形式的三角不等式：设*1,*2,乂，丫2wR,那么Jx：+y：+&2+y22至4(x1X2)2+(y1y2)2成立。在高中教材中，先是给出我们二维形式的柯西不等式，然后才归纳出一般形式的柯西不等式的。教材要求我们不仅要掌握柯西不等式，而且还有领略这些不等式(尤其是二(三)维形式的柯西不等

6、式)的数学意义、几何背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养，培养数学兴趣。下面在证明了一般形式的柯西不等式后，还会进一步对二维形式的柯西不等式作进一步分析。二维形式的三角不等式是根据两点间的距离公式以及三角形三边的关系得到的。是从几何角度解释了柯西不等式，同时也能够用柯西不等式进行证明。2.2常用柯西不等式推论2柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，它的结构对称和谐，具有极强的应用性，证明简洁，深受人们的喜爱。因此，本文将此定理作进一步剖析，参考大量的资料总结出高中常用的几种推论，不管是解题上还是在数学思想上对我们都会有所裨益。1r'n:nn推论一：对任意的两组实数a

7、i、b(i=1,2,.,n),有a形bi2>Zaib当且仅当bi=0砧ai=0或aib=01=1,2,3.,n)或存在一个数k使得ai=kbi(i=1,2,3.,n)时等号成立。推论二：设aiwR,bi>0(i=1,2,3(1<i<n)等号成立。nn2(-.ai)n),则工二之ybiqbi1当且仅当bi=冏推论三：设ajbi同号且不为0(i=1,2,3.nnn(二ai)aii1niTbi"aibii1当且仅当b1=b2=b3=.=bn°2推论四：一+之n(aiwR：i=1,2,3，n).aa2a3anaa2.an推论五：设aiwR,有n(a12+a2

8、2+a32+.+an2触(a1+a2+a3+.+an)2.注：1、在上面此种形式也可以写成'ai<aibibin>(工ai)2。在解题时可以根据情i1况选择不同的形式。2、为方便书写，推论四也可写成Z1_ai(ai乏R：i=1,2,3,.,n),推论四也可写成n£a：之a/3wR+,i=1,2,3,.,n)因为这5个推论，均可通过柯西不等式证明，下面我们只做简单分析。对于推论一，只是柯西不等式的一个变形，不等式两边开方得到的一个比较常用的不等式。对于推论二和推论三类似，现以推论三为例。作这样一个变形：nannnna工Zbi>(Eai)2(因为bi>0(

9、i=1,2,3.n),而(£a)2=(£)2,因此可i4bii4i=1i=4i=1bi得到推论二(推论三)。对于推论四：由柯西不等式得：nnnZXai>(Z-=v,a")2,wR+,i=1,2,3.,n).imaiimi3.Hj一n1而(£-=yaj=n2,由此得证。y.ai对于推论五：可将式子看成222222222(111.1)aa2a3.an广ea?a3.an.n很明显，可以直接用柯西不等式证明。3、柯西不等式的证明证明柯西不等式的方法有很多种，为符合高中数学知识体系以及新课标的要求，提高学生的解题能力和思维方式，本文将给出以下几种证明方法。当

10、匕=0(或ai=0或aibi=0j(i=1,2,3.,n区寸，显然柯西不等式是成立的。因此下面的证明均不考虑这种情况。1)、用直接法证明：用直接法就是直接从表达式入手，观察有何特点。一般可以通过移项变形，让不等式包与一个常数比较(如与“1或0”比较)。在这我们采用将右边的式子除到左边(即与“1”比较)，此时就比较好证了。22不妨设Aai,B=2h,C=Eah,其中(i=1,2,3.,n),即证明此式AB主C2成立。AB/1C22_%aiB%bii4i4一2,C2B（此时将B,C看成常数即可变成下式）nai2Bnbi2='、三Wi4Ci-4B22naiBbi="(3-)i4C2

11、B（利用均值不等式可变成下式）22aiBbiC2Bnaibi=2-i=2yC因此有ABABr+1之2,IP->C2C2即“.a2iZbi（Zaibi）2其中。=1,2,3.,n欣立。柯西不等式得以证明。2）、用数学归纳法证明3:当n=1时，不等式左边=a12bl2,不等式右边=（a1b1）2,显然有a2b：=（ah）2,故不等式成立。当n=2时，不等式左边=(a12+a22)b|2+b22),2,2222222二abab2a?ba?b?,、22-(aQ)Zaha2b2(a2b2)=91"+a2b2)2=不等式右边。故不等式成立。当且仅当a2b1=a1b2,即曳="时等

12、号成立。b1b2假设当n=k时不等式成立。即：(a/+a22+.+ak2忖+b22+.+bk2泛(a1bl+a2b2+.+akbk)2222或"arbi,(-a,)2。=1,2,3.,k)当且仅当ai=kbdi=1,2,3.,k时等号成立。不妨设A=<a；B=<bi2C=<ai力那么当n=k+1时，不等式右边=(a：+a22+.+aJ+ak书2lb：+b22+.+bk2+bk书2)222222二.AaBbkiABAb.iBakiak.1bk.1-C2Abk12222,Bak1.ak1bk1_2_/I.2.2（应用推论一）-C+2JAB|ak4bk书+ak书bk书-C

13、+2|Cak由bk4+ak4bk书22=(Cak“bk1)=(aQa2b2a3b3ak。d)故当n=k+1时，不等式成立。综上所述，得知柯西不等式成立。数学归纳法在高中数学是必须掌握的一种方法，在证明题中，其他方法都比较难想到的话，一般都可以用数学归纳法来解决。应该说是一种比较受用的一种方法。因此选择数学归纳法来证明柯西不等式，让学生在明白如何证明的同时又重温了数学归纳法这种数学方法。3）、用向量法证明18:设a=仁1色仔3,.冏）B=（b1，b2,b3,.,bn卢Rn,其中a1，a?,.,an;b1，b2,.bn为任意两组实数。由向量的长度定义得W=qa12+a22+.+an2,耳=肛2丑2

14、2+.十bn2,根据向量内积的定义，可得a-P=|q|P|cos,其中8是a与P的夹角,其中aP=a1bl+a2b2+.+anbn.因为cos。1,所以,耳工风耳,因此（a12十a22十十an2fc12+b22+bn2）至（a1bl+a2b2+anbnf成立。体会：这种方法比较容易理解，主要根据数量积的定义及余弦函数的取值范围来证明的。可见，柯西不等式涉及范围及其广，也可以说明柯西不等式的应用范围非常广，很多问题都可应用到柯西不等式。4）、用二维随机变量的数学期望证明4:设二维离散随机变量二州的分布律分别为匕a1a2anp1/n1fn1nnb1b2bnP1/n1/n1n则由随机变量的数学期望公

15、式得ncE一aini41nE="aibin又因为E(W/<E"2E"2,1n2所以(-Saibi)2nynnn即(Eaibi)2<(工a；)bi2),柯西不等式得以证明4i1i1i1体会：用数学期望来证明柯西不等式是一种比较新颖的做法，既能证明不等式，还加强了我们对随机变量数学期望之间的运算。将高中概率联系在一起，是新课改的一个重要方向，又是高考中的一新热点。我们要想证明柯西不等式，可以考。虑作差，即证明：-aibiy-0j1nn工aibnn工aibiiZajbja人jTnn22二aibjnni3jW-ahajbji丑j丑nn'、2i£

16、;j£2aibnn2x-x-22jajbiiTj£nn一2二二aibjajb)iWjTnn1一.2222二-aibj-2aibjajbiajbi2iTjT2aibj-ajbi-02-Caibi)22I_2一I_2_.2因此得证:Za,IZbj-aa,bi|20。即£ai£bk-人jg)I)a：a；当且仅当a,bj-ajbi=0(i,j=1,2,3，,n)时，即曳=_L(i,j=1,2,3,.,n)时等号成立。bibj体会：用作差法证明比较简单，就是两式作差变形，作差后，通过配方、变形等手段进行化简，最终利用平方式的非负性来证明作式子与0的大小关系。作差法

17、证明不等式是一种非常有效的方法，目标明确。此种方法容易理解，较为常用。也可以用作商法来证明柯西不等式，在这里就不作证明了，判断时只需与“1”进行比较。这里可以参考文献3。5)、用构造二次函数法(判别式法)证明：构造函数f(x)=(a1x+b1f+(a2x+b22+(anx+bn)2=a2a；THanx22a1bla2b2IHanbnx。2b；川b：2222由于aa2a3.an0因此f(x)A0恒成立，需AW0,即：=4(a1bl+a2b2+a3bs+.+anbnf-4a：a22a32.an2t12b22b32.bn20.即是(a12+a22+.+an2lb：+b22+.+bn2)>(a1

18、b1+a2b2+.+anbn)2当且仅当aix+bj=0(i=1,2,3.,n),即曳=阻=.=包时等号成立。b1b2bn体会：，这种方法是通过判别式AW0来解决的。先根据平方式具有非负性，然后利用二次函数恒小于零。这种在高中数学解题中是经常用到的，归纳这种的原因有两个。第一，熟悉解题方法；第二，一些著名数学定理也是通过我们熟悉的方法来证明的，因此我们要大胆的用简单的方法去研究一些复杂的数学问题。6)、用线性相关证明：设Rn为向量空间(n维空间)。若设a=(a但自,.,an)B=(b也他,.,3卢Rn,在n为欧式空间里，对于任意的2向量a、P,有不等式P)。,叼文日)，当且仅当a与P线性相关时

19、，等号成立，根据向量内积的定义可知：222.2.2.22(a1+a2+.+an21+b2+.+bnQ(a1bl+a2b2+.+anbn)成立。当等号成立时，d与P线性相关，即存在实数k,1,使得kot+p=0。有=九"或ot=RP,(其中九=*=)，即有的=曳.=成立。kb1b2bn故柯西不等式得以证明。7)、用构造数列来证明14:证明：构造这样的数列：Sn)2222222Sn=aibia2b2anbn)一向a?.an口b2bn则有Sni-Sn2222.2.2.2Fab1a2b2.anbnanibni-aia2.an1bb2.bni2222.2.2.2-a1bla2b2.anbnj-

20、la1a2.anb1b2.bn222.2.2.2.222anibn1albia2b2.anbn-aa2.斗bi-bib2.bnani=kaibn由22aibian书bn书+(bian+2"+«anbn由22anbnan书bn书十(bnan书)2»变形整理可得：Sn+-Sn=Qibn书一“204+灯书一bz14f+十。书-02口J因此Sn+-Sn0(nWN)。所以数列Vn单调减小，从而有对一切n>1,<Sn<Sn_i<.<Si=0o即，W0.故不等式成立。分析：这是结合数列来证明不等式的，关键是构造了一个每项逐渐减小的数列，然后当n趋于

21、无穷小的时候，肯定存在一项Si=0。即是有Sn<0.因此就可以证明柯西不等式。以上七种证明柯西不等式的方法是我查阅资料并加上自己的理解整理得到的，此外，还有很多证明柯西不等式的方法，在这里就不一一作介绍了。这充分体现了柯西不等式的重要性和证法的多样性。因为高中教材中给出了二维形式的柯西不等式，并且应用的也比较多，下面我们分析二维形式的柯西不等式的数学意义、几何背景及其证明方法。二维形式：若a,b,c,d者B是实数，则(a2+b2/c2+d2)之(ac+bdj当且仅当ad=cb时，等号成立。证明：a2b2c2d2=a2c2b2d2a2d2b2c2,a2c2b2d2a2d2b2c2=(acb

22、d)2(ad-bc)2,二(a2+b2c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2,又丁(ad-bc)2之0,因此(a2+b2Jc2+d2巨(ac+bdf成立。等号成立的条件，显而易见当ad-bc=0时，即a=£取等。bd首先，从形式上来看，不仅在排列形式上律明显，具有简洁。对称的美感；而且在数学和物理中也有重要作用。从数字上看，它反映了4个实数之间特定的数量关系。它是一般柯西不等式的最简单的形式，因此证明一般柯西不等式的证明方法二维的同样能够证明。上面是高中教材中的证明方法，比较简单。根据二维形式的不等式，我们还可以继续变形得到下面的两个式子。对于(a2+b2Kc2+d2县(a

23、c+bd)2,可以得出.a2b2c2d2=a2b2c2d2至d（ac+bd2=ac+bd；当且仅当ac=bd（或a=£）时取得等号。bdVa2+b24c2+d2=a/+|b«|c|2+|d/(应用两次柯西不等式)之ac+|bd;当且仅当a=b,|c=d|时，取得等号。因此，对于任意实数a,b,c,d,都以下不等式成立:Ya2+b27c2+d2之ac+bdVa2+b2vc2+d2之ac+|bd。对于上面得到的两个不等式结论，应该掌握，在高中解题中经常会用到。对于一个代数结果进行最简单的诠释，往往要借助直观的几何图形，下面我们来看一下这个不等式的几何意义。如图1,设在平面直角坐

24、标系中有向量OA=a=(a,b),OA=P=(c,d),两个向的夹角为6,0<0<n。根据向量的数量积的定义，我们有afPcose.所以aP|=cc|P|cos0.因为cos。，1,所以|a.耳«阿耳,用平面向量的坐标表示不等式。可以得到ac+bd<va2+b2Jc2+d2.两边平方可得：(ac+bd)2<(a2+b2)(c2+d2)。即可得到二维形式的柯西不等式，由此可知，二维形式的柯西不等式是向量形式的不等式的坐标表示。若向量5P中有零向量，则ac-bd=0,即可等号成立。若向量口，P都不是零向量，则当gs耳=1,也即是向量P共线时(ot=kB,k#0),

25、等号成立。因此这就是二维形式的几何意义，且我们也从中得到了它的向量形式，即口用E网用当且仅当a(或P)是零向量，或a=kB,k#0时，等号成立。以上就是柯西不等式的二维形式的几何意义及其简单的理解。一个重要且基础的不等式都会有很多推论和推广的。因此，我们不仅要知道定理的内容、证明方法，而且还要知道它的推论、推广。更重要的是要知道如何运用这些不等式。柯西不等式的运用非常广泛，下面就探讨柯西不等式的几类应用。二、柯西不等式的应用柯西不等式作为基础而重要的不等式，其价值是不可估量的，它在解决一些实际问题或推导一些数学结论上非常的有用如果能灵活巧妙地运用它，就可以使一些较为困难的问题迎刃而解，亦可使一

26、些复杂繁琐的题目简单化，从而可以拓宽解题思路，节省解题时间，提高效率，尤其是在国际数学竞赛上但是，柯西不等式的运用非常灵活并且技巧性强，很多时候都找不到突破口，无法直接入手。因此，在应用柯西不等式解题时，首先要分析其结构，其次能创造条件灵活运用柯西不等式。创造条件就是如何构造柯西不等式中出现的两个数组ai和bi(i=1,2,3,.n)。下面通过具体的例子介绍柯西不等式在以下几类问题中的应用，希望能对大家有所帮助1、在证明不等式中的应用在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算,所以经典不等式是数学研究的有力工具。作为经典不等式的柯西不等式，在证明不等式成立时，方法简洁，

27、思路清晰。运用柯西不等式证明某些不等式可以将看似无头绪的难题不攻自破，清楚明了。下面针对例题进行仔细分析。111例15已知a>b>c.,求证：+>0.a-bb-cc-a一1111n2证明：一一一(aiR,i=1,2,3.,n).aa2a3anaa2.an又abc.'a-b:>0,b-c>0,c-a>0满足推论四中条件，_21124r之=a-bb-ca-bb-ca-c，一11_当且仅当一J=J,而a>b>c.因此等号不成立，a-b2b-c2111413c+>+=>0Oa-bb-cc-aa-cc-aa-c故不等式十十>0成立

28、。a-bb-cc-a分析：证明这一个问题比较简单，只需用推论四即可。在选择应用柯西不等式还是其推论时，一定要看清不等式的结构，适合应用哪个结论。在这个题里面我们一定要注意根据题的要求来使用柯西不等式及其推论。题中不等式有三个式子，而我们只对两个式子用柯西不等式推论来放缩，原因很简单，如果全部放缩了的话，分母为0,是无意义的，因此在应用过程中一定要注意式子是否有意义。例27设a,b,c亡R*,且a+b+c=1,求证：a2+b2+c2之9abc.证明：因为因a+b+c=1,此由柯西不等式可得:333a2+b2+c2=(a+b+c)(a2+b2+c2)之(aVa+bv'b+clc)2=(a2

29、+b2+c2)23333333又因为a2+b2+c23Va2b2c2,33所以a233、+b2+c2,1333之3g护d=9abc成立。1一-一当且仅当a=b=c=时取得等号。3分析：巧添因式就是在待证不等式的一边或者在待求最值得代数式乘上或加上一个因式（数），使得它的结构转化为柯西不等式（或它的推论）的结构形式。从而实现应用柯西不等式来解决问题。在应用柯西不等式时我们经常采用这种方法。这道证明题是在a+b+c=1为条件下来证明不等式成立的。在做这样的题时，我们可以巧妙的运用“1”来解决此问题。这道题的妙处就是利用了这一点，在不等式左侧乘上了一个“1”，不改变式子的值，从而实现应用柯西不等式来

30、证明。（1984列宁格勒数学竞赛题）设2匕2R+且a+b+c=1,求证：a3b+b3c+c3a之abc.9这道题与例2类似，读者可根据例2自行证明。例310如果x,y,z之1且工+1+=2,证明:xyzxyz_x-1y-1z_1.证明：考虑柯西不等式的推论一x；x-1y-1z-1*/*xyz-.x-1y-1-zz-1.,xyz因为=+口+=3一1+1、=1xyz<xyz)所以,x+y+z之Jx-1+Jy-1+vz-1成立。分析：在做这道题之前首先要分析这个不等式有什么特点。首先注意到因此其中肯定能化简成这种形式。此时，我们可以猜想，如果用柯西不等式的话，那么应用它的推论1,因此考虑柯西不

31、等式的推论一，ta；i1n之工aib根据柯西不等式的结构形式得:a1=x,b1=£,a2=y,b2xy-1但是我们添加的这一项a3=z,b3=.这样，我们就可以应用柯西不等式了z3+匕1+J是不是与工+工+1=2有关呢？当然是有关的xyzxyzx-1y-1z-1xyzC111=3+【xyzJ=1,因此我们巧妙的应用柯西不等式的推论1证明了这个看似复杂的难题。2、在证明恒等式中的应用例110已知a«1b2+b$1-a2=1,求证:a2+b2=1。证明：由柯西不等式，得(aV1-b2+b+'1-a2)2<I2+(1-a2b2+(1-b25当且仅当二二=土式时,上式

32、取等号。-1-a2a.ab=1-a2,1-b2,a2b2=1-a21b2,.a2b2=1。分析：利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取的等号时充分必要条件来达到目的的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获的证明。我们根据式子的特征来选择所要增添的项，在给出的式子中肯定涉及了柯西不等式中的ai和b1,只要选择合适，构造出来的就可以是个常数。此题中的a1=a,b1=v1-b2,a2=V1-a2,b2=b。44A例2已知A,B为锐角，且cosf+吗£=1,求证:sinBcosBjiAB=-22A证明：构造两组实数c0sdsinBsin2A;sinA,cosB.由柯西不等式，得:cosB

33、44A.4飞电+”小*、sinBcosB)2A2AcosA.,sinA-sinB+cosB、sinBcosB4A.4A因为竺q+snq=i,所以有i=i是包成立的。从而等号成立的条件为:sinBcosB2“cosAsinB,2sinA2222rcosB=sinB即cosAcosB=sinAsinBcosB又因为A,B为锐角，所以得到cosAcosB=sinAsinB,cos(A+B)=0所以AB=三.2分析：这是一道关于证明三角函数的恒等式，同样也是利用了等号成立的条件来证明的。证明过程中最重要的就是找出柯西不等式中的两个实数组,然后再适当的选取他们的顺序，就很容易解决这道题了。3、在解决最值

34、问题中的应用例115已知a,b,c£R/a+b+c=1,求J4a+1+U'4b+1+T'4c+1的最大值。解：由柯西不等式得.4a1.4b14c-1三K；4a11.4b11.4c11<J4a14b14c1X21212=21当且仅当a=b=c=1时，取得最大值再。3分析：这是在已知一次形式的条件下，去求根式的最大值问题。在这个问题中我们巧妙地运用了“1”，联想柯西不等式我们构造这样两组数组：,J4b+1,J'4c+1,1,1,1,因止匕，我们可以将式子变形为：4a+141+J4b+1父1+J4c+1父1)。然后应用柯西不等式，求得最大值，且等号成立的条件：

35、14a+1=d4b+1=<4c+1,即a=b=c=1时，取得最大值。3例216已知：设x+y+z=1,w=2x2+3y2+z2的最小值。解：由目标函数可构造向量a=(j2x,V3y,z)由条件可得aF=x+y+z,可设一:,1,由柯西不等式可得:fVmFy'/H1I.2.acos8+sin日=1,mn=sin8+cos-72-2262c226#2x+3y+z>./即：2x+3y+z>。.1111等号成立的条件是：尊=邓，代入x+y+z=1即可得到6=-.11所以x=3,y=2,z=9.取得最小值工。11111111分析：这是一类求最值的题型，在已知一次形式的条件下，求

36、二次形式的最小值。同样，我们巧妙地运用了“1”，构造出了柯西不等式中的两个数组。与上一题类似。那么我们还可以用柯西不等式的向量形式来求解，上面详细介绍了求解过程。在我查阅大量文献后，了解到了在求最值问题中，有几个类型，在本文就不一一展开说明，有兴趣的可参考文献16。4、在三角函数中的应用例112(2008年浙江卷(理)若cos口+2sinu=-北，则tanot=(.11_A、一B、2C、D、-222分析：这是一道高考题，选择题我们可以用排除法，也可以用直接法。利用cosa+2sincc=-#和sin2cc+cos2a=1求解得到since和cosx,就可以解决这个问题了，但是这种解法比较繁琐。

37、下面我们将用柯西不等式来证明。(cosa+2sina)2<(12+22)(cos2a+sin2a)=5,又因为cosa+2sina=-V5,所以有(-眄2=5W5恒成立，等式成立的条件是'二工,因此可得到cos二sin;tan口=2。故选B。2,2例1已知日为锐角，a,bWR,求证：(a+bf£一+一cos-sin-bsin丁=ab,sin证明：设m=-a,b,n=(cos“sin),则micosHsin9J因为a+bcose)sin日)【coseJ(sinB)2b2所以(a+bj<2十2，当且仅当tanQa=cot6,b,等号成立。cos2sin/分析：待证的不

38、等式右边是平方和的形式，且分母满足sin%+cos2e=1,-八-一、，一'ab'因此可构造向重m=,In=（cos9,sin6）,应用柯西不等式的向<cos9sin6）量形式来证明。这一证明充分应用了sin（+cos28=1这一隐含条件，我们应当认真分析，广泛联想才能发现的条件，许多题目中只有恰当地利用隐含条件，才能顺利、简洁地求解。、在数列与不等式中的应用例112已知数列圾的首项&=|，*=熟”住.，（D求Gn的通项公式;(2)证明：对任意的x>0,an-,'4-xIn=1,2,3.,(3)证明：a1+a2+.+an2n>n11X1-x23

39、n分析：本题是2008年陕西（理的）一道递推数列与不等式综合的压轴题。第（1）、（2）题比较简单，我们在这只看第（3）题的解法。在第（3）题中要应用第（2）题中的结论来证明，是容易想到的，但是在过程中有些地方是不容易想到的，因此，如果能联想到柯西不等式的推论即可巧妙的解决这个问题，现用推论四：21111n+.+之gwR,i=1,2,3.,n）.来证明。aa2a3anaa?ann一12解：由（1）可知，an=13>0,且L=1+J,由柯西不等式得:3n2an3n,、,11a2,an)(1+)>n2,所以an2naa2.an一-1十十1十an1二一+之十.1+工：323naia2>

40、;,1一n1n3n故不等式得以证明。由此可见，柯西不等式虽然只是来自新课程教材的选修内容，但是从上面的例题中可以看出，以柯西不等式为背景的题，已经慢慢的进入到高考试题中来，涉及到的技巧也很巧妙，经常出没在高考压轴题中，从这方面可以反映出一个学生的思维能力和对数学的掌握能力。因此，灵活的运用柯西不等式求解是越来越重要了，学生掌握柯西不等式的应用技巧也成为了必然趋势。作为教师，对柯西不等式的应用要引起高度重视。6、在解析几何中的应用22例117已知椭圆C:、+2=1与直线1：6x+8gy48=0相切，求点169的坐标。解：设切点p（xo，yo）,则有22点W）在椭圆上：于巳=1,点p(x0,y0)

41、还在直线l上：6x0+8d3y0-48=0由柯西不等式得：48=6x08-3y0=24为243比43-"皿足十J.X0y（）当且仅当生=今等号成立，即y0=32x。,代入直线方程得2424.34X。=2,y0=2.故切点p的坐标为2等222J分析：在高考数学试题中，圆锥曲线的题是必不可少的，而柯西不等式常常在这其中出没。解决这样的问题。因此，能够灵活的运用柯西不等式及其推论是非常重要的。本题中在构造柯西不等式时利用了恒等式等号成立的条件。按照常规思路，相切就要求切点，即联立方程组解出切点坐标，但是工作量非常的大，因此如果能够联想到运用柯西不等式，那么问题就会变得简单了。止匕外，柯西不

42、等式还在很多方面有应用，如在解方程组，在平面几何中都有着重要的应用。在这里，本文就不在一一介绍了，如果有兴趣，可查阅相关文献。在上述柯西不等式的应用中主要是围绕高考试题中来举例的。我认为，在高考试题中，已经有很多题尤其是压轴题中涉及不等式的基本都会用到柯西不等式。因此，我查阅相关文献，根据自己的理解，整理出来，供大家参考。三、柯西不等式在中学数学中的价值体现1、在高中教材中的作用柯西不等式选自选修45不等式选讲中的第三讲柯西不等式与排序不等式。不等式选讲是对以前所学的不等式内容的拓宽、深化，通过不等式的证明、不等式的几何意义、不等式的文化背景，从不等式的数学本质上加以剖析，从而提高学生的逻辑思

43、维能力、分析问题、解决问题的能力。这本教材主要内容包括绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式及证明不等式的基本方法。主要考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明及其应用。要求学生了解证明不等式的基本方法如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等，会用这些方法证明一些简单的不等式。考查学生的推理论证能力和分析问题解决问题的能力。那么对于柯西不等式的学习，就符合本教材的目标。因为在柯西不等式中蕴藏着很多的证明方法和数学思想方法。还有柯西不等式的作用不仅仅是在这本教材中，在整个高中教材中都有着非常重要的作用。1.1 与新课标的要求一致在数学教学目标上，新课程标准提出了知识与技能、过程与方法

44、、情感态度与价值观的三位一体的目标，把过程性目标、情感体验目标摆在与知识技能目标同等重要的地位。把知识性目标与发展性目标有机结合，体现在“知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度”四个方面。注重在素质教育目标下关注学生的发展，关注学生的“学”，淡化了某些非数学本质的术语和概念，打破了“以学科为中心”的传统观点，更体现了以人为本的人性味道。但在实际的教学过程中应如何把握好发展性目标，处理好3者的关系却是数学教师面临的又一现实性挑战。而柯西不等式就更好地体现了三基的要求。在知识与技能这一方面，要现在不仅要求学生掌握重要公式的结构形式，而且还理解其证明方法和几何意义。柯西不等式就体现的非常充分。因

45、为柯西不等式的推论、变形、推广有很多，证明方法也有很多种。在过程与方法中也发挥的淋漓尽致。因为其中蕴含了很多数学中重要的数学思想方法如转化法、换元法、构造法、数形结合法等等。还有就是充分体现了“再创造”过程，因为数学的“再创造”过程是一种创新性的活动，也是新课标的要求，要求教师在教学中应该培养学生的创新精神。柯西不等式的推导过程就显示了一种“再创造”的过程。柯西不等式的推导是从它最简单的形式：二维形式进行推导的。顺应学生思维展开的，然后再通过它的几何意义得到柯西不等式的向量形式，这样使学生更容易理解，并且也沟通了代数与几何的联系。那么创新就体现在柯西不等式的证明方法可谓是多种多样。若能够让学生

46、自己独立尝试证明，这样可以培养学生的创新思维，还能使学生的知识结构成为体系，能更好的运用、融合知识。1.2 展现数学文化普通高中数学课程标准在“课程基本理念”中指出“数学是人类文化的重要组成部分”。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求，设立“数学史选讲”等专题。而柯西不等式作为一个基础而重要的不等式，也有

47、着它的历史、应用和发展趋势。在教学过程中，作为教师，应当介绍柯西的一生，他是如何学习数学的，在数学方面是如何奋斗的。不仅让同学们了解他，掌握柯西不等式在解题方面的应用，还能了解数学文化。这样才能更好地理解柯西不等式，提高学生学习数学的兴趣。所以说在教学上，重视柯西不等式的历史价值，是培养学生学习数学兴趣不可缺少的重要课程。2、感受数学美数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的显现，是一种人的本质力量通过宜人的数学思维结构的呈现。它是自然美的客观反映，是科学美的核心。柯西不等式就具有数学美的多种特征。古希腊著名学者毕达哥拉斯(Pythagoras)对数学有很深的造诣，他认为万物最基本的元素是数，

48、数的和谐-这就是美。克莱因也曾说过数学是人类最高超的智力成就，也是人类灵魂最独特的创造。音乐能激发或挠慰情怀，绘画能使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。庞加莱也曾有对数学美的独特见解：数学家们十分重视他们的方法和理论是否十分优美，这并非华而不实的作风，那么到底是什么使我们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各个部分之间的和谐、对称、恰到好处的平稳。数学美来源于实践，是反映自然界在数量关系与空间形式上目的性和规律性的和谐统一。人们从实践中去寻找数学规律，去发现数学美。教师在给同学们上课时也应该展示出数学的美，给同学们以愉悦、兴奋的感觉，让学

49、生对数学产生兴趣，喜欢数学。但是，在现在的学生中有很多的学生很讨厌数学，我在大学期间有做一些家教，他们就是觉得数学没意思，很枯燥，数学太难，上课时也想听就是听不懂，然后没办法，听着听着就睡着了。那么这一现象是怎么产生的呢？我认为可能是他们没有从本质上发现数学的美，缺少发现的眼睛。那么这双眼睛就需要教师去充当，带领学生发现数学的美，对数学产生兴趣。那么我们如何在数学教学过程中展现数学美呢？作为一名教师，我认为现在教学中太重视应试教育了，都是为了高考而学习，好像失去了学习的本质。因此我认为在我们教学时，应该让学生在数学学习中能感受和欣赏数学美，因为只有发现数学的美，才会提升学生学习数学的兴趣，才会

50、喜欢上数学，这样成绩才能有所提高。还有就是在教学时不仅要让同学感受数学外在的美，而且还要欣赏它内在的美。因为数学上的许多东西，只有认识到它的正确性，才能感觉到它的美好。“美观”的数学对象，也必须进入到“美好”的层次。美妙的感觉是需要培养的。因此，教师要给学生一些创新、探究、以至发现的机会，体验发现真理的快乐。例如：三角形的3条高线、3条中线、3条内角平分线都会交于一点，这是十分美丽，十分美好的，同时也是令人惊奇的结论。发现它会人让觉得数学非常的奇妙。那么在我们教学时，先不告诉学生结果，要让学生自己亲自作图，也可以让同学们自己通过多媒体构造他们的图形，让学生自己发现这些一下子看不出来的“真理”。

51、可以想象，学生自己发现一个数学真理该会是多么的惊喜。一旦体会到了数学的“美妙”，就会对数学产生由衷的兴趣，那么学好数学也就不是什么难事了。以下是柯西不等式体现出的数学美。2.1简单美艺术家们追求的美中，形式美是其中特别重要的内容，他们在渲染美时，常常运用不同形式，如泰山的雄伟，华山的险峻，黄山的奇特，峨眉的秀丽，青海的幽深，滇池的开阔等。数学家们也十分注重数学的形式美，美国数学家柏克曾提出过一个关于审美度的公式审美度=秩序/复杂度，即人们对数学的审美感受程度，与数学表现出的秩序成正比，与数学表现出的复杂性成反比。因此，按审美度要求，数学的表现形式越简单就越美。而柯西不等式不仅符号简单、形式简n

52、nn单，而且语百表达、证明方法也简单。表达形式：Za：£b：之(£abj)2o1rj1iT-还有证明方法非常简单，非常美妙。如用构造二次函数条证明时，f(x巨0,只需w0.证法简单巧妙。又如用向量法证明只需用向量的数量积的定义来证明，再根据cose|Mi来证明，结合图像就更容易理解。2.2对称、和谐美柯西不等式具有优美的对称形式：如柯西不等式Za21bj2>(ZaM)2、丘£近bj2>|Zab(i=1,2,.,n)、”耳工网耳等。虽然表达形式，问题涉及的角度不同，但是它们都非常对称，和谐，统一。将(a：+a22+.+an232+b22十十bn2泛(a1

53、bl+a2b2+.+anbnf改写成这种形式Zaj2Zbj2之ajbj)2(i=1,2,.,n),看起来来就不那么繁杂了。因此,有时我们可以根据研究问题中解析式结构的对称性，由一个结论迅速地得出相似结论，这不仅能缩减冗长繁琐的计算或证明过程，而且给人以对称美的享受。柯西不等式具有和谐统一的形式，数学中的和谐美是指数学内容与内容之间、内容与形式之间、部分与整体之间存在着内在的联系或共同规律，从而形成本质上的严谨与统一。柯西不等式具有二维、三维等形式，它们都可以统一用一种统一形式来表示；而且还可以用向量的形式表达出来。3、数学思想的体现8高中数学课程标准中要求获得必要的数学基础知识和基本技能，理解

54、基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。因此在教学过程中，教师的任务不仅仅是将数学中的定理，结论等表层的知识传递给学生。而应该让学生在掌握和理解了一定的外在知识后，进一步去发现数学中的精髓即数学思想方法。只有这样，学生的数学素养才能有所提升。因此，在讲解例题时，我们要将这道题的本质，用的什么方法，什么数学思想阐述清楚。新课标中柯西不等式的引入，将课标的要求体现的淋漓尽致。因此柯西不等式在中学中的应用中渗透了很多数学思想方法，这些数学思想方法对学习具有重要的指导意义。3.1 换元思想在证明柯西不等式的时候，用直

55、接法证明时有过这样的变形：A=Zai2,B=£bi2,C=£aibi(i=1,2,.,n),即证明此式AB之C2成立。在我们之前的式子包含了很多的项，直接展开并比较左右两边大小是非常麻烦的，因此我们采取了上述换元的方法，这样就就比较方便简洁了。还有在用构造二次函数时，我们同样也应用了换元的思想。换元这一数学数学方法，具有丰富的内涵，在中学数学解题中经常会用到这种方法。仔细体会这些内容，挖掘这些思想方法，对我们以后的学习有重要的指导意义。那么在解题过程中，当一个问题的叙述比较繁琐，式子的结构特征比较复杂时，我们如果能够通过分解变形，进行适当的换元，就可以将复杂的问题变成几个简单的问题了。从而将复问题的结构特征变得简洁、直观、形象，这样解决起问题效率就会提高。3.2 联想思想联想思想：联想是由当前感知的事物特征回忆起有关事物特征的相似、相近或相同的特征的心理现象。联想可以沟通数学中的已知和未知、新知与就知的联系，它不仅对掌握数学知识、发展思维能力有着积极的意义，而且也有利于提高解题能力和解题速度。由此及彼的联想，能够拓宽我们的思路，开阔我们的视野，启发我们的思维。纵向横向的联想，往往能迸发出创造性思维的火花。在学习过程中，我们理解基础知识以后，在实际