利用函数性质判定方程解的存在

1、引例引例 解方程：解方程：（2）2230 xx （1）一、设问激疑，创设情景一、设问激疑，创设情景（3 3） 032 xx有没有根？有没有根？ 有几个根？有几个根？根在什么区间内？根在什么区间内？012x12x 21x123,1xx 1, 321xx这一节我们就讨论如何利用方程与函数的关系求方程的实数解.0)x(f)x(fy 方程方程函数函数图图像像12)( xxf2230 xx32)(2xxxf-1012xy1-12-2-43-11 2OxyOy二、启发引导，形成概念二、启发引导，形成概念21012x12x 21x123,1xx 1, 321xx方程方程函数函数y y= =axax2 2 +

2、 +bxbx+ +c c( (a a0)0)的图象的图象函数的图象与函数的图象与x x轴的交点轴的交点OyxOxyOxy没有交点没有交点判别式 0= 00)的根的根两个不相等的两个不相等的实数根实数根x1 、x2有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根x1x2x1两个交点两个交点 (x1,0)，(x2,0)一个交点一个交点(x1,0)问题问题2:2:其他函数与方程之间也有同样结论吗？其他函数与方程之间也有同样结论吗？问题问题1:1:从该表你可以得出什么结论？从该表你可以得出什么结论？一元二次方程的实数根一元二次方程的实数根二次函数图象与二次函数图象与x x轴交点的

3、横坐标轴交点的横坐标二、启发引导，形成概念二、启发引导，形成概念 一般地，我们把函数一般地，我们把函数y=f(x)y=f(x)的的图像与图像与x x轴交点的轴交点的横坐标横坐标称为这个函数的称为这个函数的零点零点函数零点的定义：函数零点的定义：二、启发引导，形成概念二、启发引导，形成概念函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标函数y=f(x)的零点等价关系等价关系零点是一个点吗？零点是一个点吗？函数一定有零点吗？函数一定有零点吗？注意注意方程f(x)=0的实数根小试小试牛刀牛刀我的零点是我的零点是1，-2和和3我的零点我的零点是是10不好意思，不好意思，我没有零点我没有零点我的零点在我的零点在

4、哪里？哪里？23)(xxfx练习：判断下列函数是否有零点，若有，求出零点。（1）（2）（3）)3)(2)(1()(xxxxf1lg)(xxf13)(xxf（4）三、讨论探究，揭示定理三、讨论探究，揭示定理探究探究: :在什么情况下，函数在什么情况下，函数f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)一定存在零一定存在零点呢？点呢？设问设问1 1：将河流抽象成将河流抽象成x x轴，将小马前后的两个位置视为轴，将小马前后的两个位置视为A A、B B两点。请问当两点。请问当A A、B B与与x x轴怎样的位置关系时，轴怎样的位置关系时，ABAB间的一段连续不断的函数图象与间的一段连续不断的函数图象

5、与x x轴一定轴一定会有交点（即小马的运动轨迹一定经过小河）？会有交点（即小马的运动轨迹一定经过小河）？ 探究探究1：（小马过河）（小马过河）观察下列两组画面观察下列两组画面, ,请你推断一下哪一组一定能请你推断一下哪一组一定能说明小马已经成功过河？说明小马已经成功过河？ 设问设问2 2：结合所画图像，试用恰当的数学语言表述小马在什么情况下一定结合所画图像，试用恰当的数学语言表述小马在什么情况下一定成功过河呢？成功过河呢？用用f f（A A）f f（B B）00来表示来表示 探究探究2 2：观观察察f(x)=2x-1f(x)=2x-1的图象的图象0.50.5附近的函数值变化情况附近的函数值变化

6、情况观察观察f(x)=xf(x)=x2 22x2x3 3的图的图象象-1-1附近的函数值变化情况附近的函数值变化情况: :0yx探究探究3 3：有有有有有有a 0 b c dyx0_)()(1bfaf）（0_)()(3dfcf）（0_)()(2cfbf）（观察函数 的图像)(xfy )(或在区间 上 （有/无）零点 ba,)(或在区间 上 （有/无）零点 cb,)(或在区间 上 （有/无）零点 dc,探究探究4 4：若函数 在区间 上有定义，而且满足 ，则函数 在区间 内一定存在零点吗？)(xfy ba,0)()(bfaf)(xfy ba,abxy0ab0yxab0yx请观察下列图像：函数零点

7、存在性定理：函数零点存在性定理：xyOxyObaabcc如果函数如果函数y y= =f f( (x x) )在区间在区间 a a, ,b b 上的图象是连续不断的一条曲线上的图象是连续不断的一条曲线，并且有并且有f f( (a a) )f f( (b b)0)0，那么函数，那么函数y y= =f f( (x x) )在区间在区间( (a a, ,b b) ) 内至少内至少有一个零点即存在有一个零点即存在c c(a a, ,b b) )，使得，使得f f( (c c)=0)=0，这个，这个c c也就是方也就是方程程f f( (x x)=0)=0的根的根x 1 2 3 4 5 6 7f(x) 23

8、 9 7 11 51226那么函数在区间那么函数在区间11，66上的零点至少有（上的零点至少有（ ）个）个A. 5A. 5个个B. 4B. 4个个 C. 3C. 3个个D. 2D. 2个个CA练练1 1、已知函数、已知函数f(x)f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：的图象是连续不断的，有如下对应值表：四、知识应用，尝试练习四、知识应用，尝试练习练练2 2、函数、函数 的零点所在的大致区间为（的零点所在的大致区间为（ ）A. A. （-1,0-1,0） B. (1 B. (1，2) C. (02) C. (0，1)1) D. (0 D. (0，0.5)0.5)23)(xxfx练3 判定方

9、程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2.yx25-1O解:函数f(x)=(x-2)(x-5)-1 f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1 f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1 f(x)的图像开口向上的抛物线,所以抛物线与横轴在(5,+)内有一交点,在(-,2)内也有一个交点.方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2x1x21.观察下面的四个函数图像,指出在区间(-,0)内,方程fi(x)=0(i=1,2,3,4)哪个有解?说明理由.堂上练习2.判定方程4x3+x-15=0在1,2内实数解的存在性,并说明理由.堂上练习解解 考

10、虑函数f(x)=4x3+x-15,有 f(1)=-100 函数f(x)=4x3+x-15图像是连续曲线, 所以函数f(x)在区间1,2内有零点. 即方程4x3+x-15=0在区间1,2内有实数 解.3.指出下列方程存在实数解,并给出一个实数解的存在区间: . 0lg2 ; 011xxxx堂上练习由表可知由表可知f(1)0，从而，从而f(0)f(1)0， 函数函数f(x)在区间在区间(0,1)内有零点内有零点由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域R内是减函数，所以内是减函数，所以它仅有一个零点它仅有一个零点列出列出x、f(x)的对应值表：的对应值表：例例 求函数求函数f(x)= 的零点的个数的零点的个数.解解问题:如何说明零点的唯一性？如何说明零点的唯一性？ x01234567 8f(x)-7/4.1 1- -0.5-23/8 -63/16 -159/32法法1：五、观察感知，例题学习五、观察感知，例题学习2xx108642-2-451 2346xyOf(x)=2xx解法解法2：.y=2x6Ox1 2 3 4yy=x将函数将函数f(x)= 的零点的个数的零点的个数2xx2x函数函数y= 与与y=x的图象交点的个数的图象交点的个数转化为转化为 试求函数试求函数 的零点的个数的零点的个数.23)(xxfx一个关系