光的波动模型

1、第二章第二章 光的波动模型光的波动模型定态光波及其数学描述平面波和球面波波的复振幅表达式波的相干叠加波动光学的建立w1678年，Huygens提出光的波动学说。w1801年，TYoung在光通过双孔的实验中，首次观察到了光的干涉现象。w1808年，Malus观察到了光的偏振现象，说明光是横波。w1865年，Maxwell提出电磁波理论。后来证实光是电磁波。光的电磁波模型2.1定态光波及其描述一、波动的特征w波，振动的传播。振动在空间的传播形成物理量在空间的分布，形成波场。 w波动的最基本特征是具有周期性光波场具有时间和空间两重周期性 w波场中任一点：具有振动的周期性，即时间周期性，用振动的周期

2、T描述。 w任一时刻：波场具有空间分布的周期性，即物理量在空间作周期分布，用波长描述。 简谐波的数学描述w最简单的是简谐波，其振动可以用三角函数表示，在一维情况下，为 x)v(cos)(),(0 xtPAtPU表示沿X方向传播的余弦波vxcos)(),(0kxtPAtPUx2x2xkcos)(),(0tkxPAtPU振动取决于位相，所以振动的传播就是位相的传播。v22/2k0),(tkxtP0),(kxttP2时间内的频率，圆频率（角频率）2长度内的频率，角波数，波矢波的位相，与时间和空间相关),(cos)(),(tPPAtPU二、光波是电磁波（矢量波） w电场分量、磁场分量、波的传播方向即波

3、矢等物理量，都是矢量。nk2传播方向的单位矢量 电场分量的振幅、磁场分量的振幅、波长、频率等物理量是标量 波矢n00/1rrrrc/1v光速00/1c真空中的光速rrvcn/折射率 1rrn对于透光的介质 故能流密度，即坡印廷矢量 HES200| Err200En20Ecn如光波做简谐振动，E0为简谐振动的振幅，则光强 20221EE202002nEEcnSI即20EI 在均匀介质中，通常取 坡印廷矢量表示的是能流密度的瞬时值，这一数值以光的频率作周期性变化，光强是指能流密度的平均值。光波长的范围 紫外光 可见光 红外光50nm-400nm-760nm-100m对红外光1m-10m-100m

4、近红外 中红外 远红外 对紫外光(UV)，其波长较短的部分由于只能在真空中传播，被称为真空紫外光（VUV）三定态光波 w1定态光波 w具有下述性质的波场为定态波场w（1）空间各点的扰动是同频率的简谐振动。w（2）波场中各点扰动的振幅不随时间变化，在空间形成一个稳定的振幅分布。 w满足上述要求的光波应当充满全空间，是无限长的单色波列。但当波列的持续时间比其扰动周期长得多时，可将其当作无限长波列处理。w任何复杂的非单色波都可以分解为一系列单色波的叠加。w定态光波不一定是简谐波，其空间各点的振幅可以不同。2定态光波的描述电磁波都是矢量波，应该用矢量表达式描述。但对符合上述条件的定态光波，通常用标量表

5、达式描述。 其实是在一个取定的平面内描述定态光波的振动zxyxy)(cos)(),(PtPAtPU)(cos)(tPPA)(PA)(P振幅的空间分布 位相的空间分布 均与时间均与时间t无关无关 定态光波（光场）的标量表达式3定态光波按波面分类 w波面：波场空间中位相相同的曲面构成光波的等位相面，即波面或波阵面。可根据波面的形状将光波分类。 .)(ConstP 位相相同的空间点应满足下述方程（相同时刻）zyxezeyexzyxP),(场点（1）平面波平面波：波面是平面 w（a）振幅为常数w（b）空间位相为直角坐标的线性函数 00)(zkykxkrkPzyx.Constrk满足上式的点构成与波矢垂

6、直的一系列平面 波面krk1r2r波矢的方向角表示 w在数学中常用方向余弦表示矢量的方向，即用矢量与坐标轴间的夹角表示w在光学中习惯上采用波矢与平面间的夹角表示矢量的方向XYZ123)coscos(coszyxeeekk)sinsin(sin321zyxeeekk波场中一点（X,Y,Z)处的位相为 0),(rkzyx通常取一平面在z=0处，则该平面上的位相分布为 021)sinsin()0 ,(yxkyxXOY平面0Z0321)sinsinsin(zyxk)sinsin(sin321zyxeeekkzyxezeyexr),(zyx如果平面波沿z向传播，其波面垂直于z轴。轴上某一点z处的波面在t

7、时刻的位相为 0),(tkzzt在下一时刻， dttt设该波面的位置为 dzzz00)()(dttdzzktkzdtkdz22kdtdzv相速度 沿沿+ +z向传播向传播kkz如果波面的表达式为 0),(tkzzt其相速度为 kdtdzv向-z方向传播 （2）球面波：波面是球面 raPA/)(0)( krP振幅空间位相.)(0ConstkrP波面为球面 振幅沿传播方向衰减 从点源发出或向点源汇聚 如果波源为O（0，0，0），波面为 0)(tkrP0)()(drtdrrk0tkrkdtdrv0)(tkrPkdtdrv从原点发出的发散球面波 向原点汇聚的球面波 如果波面为在一个平面（观察平面）上，

8、球面波的位相分布不是恒定值。2022)0()0()0(zyxr2022zyx)0 ,(yxPOZS平面XOY0z)0 ,(yxPOZS平面XOY0z轴上一点发散和汇聚的球面波), 0 , 0(0zS), 0 , 0(0zS（0，0，z0）发出的球面波在（x，y，0）平面的振动为 cos)0 ,(020222022tzyxkzyxAyxU（0，0，-z0）出发出的球面波在（x，y，0）平面上的振动亦为 cos)0 ,(020222022tzyxkzyxAyxU向（0，0，z0）点汇聚的球面波为 向（0，0，-z0）点汇聚的球面波为 cos)0 ,(020222022*tzyxkzyxAyxUco

9、s)0 ,(020222022*tzyxkzyxAyxU)0 ,(yxPOZ平面XOY0z)0 ,(yxPOZS平面XOY0z202020)0()()(zyyxxr),(000zyxS),(000zyxSS轴外一点发散和汇聚的球面波 如果点光源在轴外（x0，y0，z0），则发出和汇聚的球面波分别为 )()(cos)()()0 ,(0202020202020tzyyxxkzyyxxAyxU)()(cos)()()0 ,(0202020202020*tzyyxxkzyyxxAyxU4光波的复振幅描述 w由于可以用复指数的实部或虚部表示余弦或正弦函数，所以可以用复数来描述光波的振动)()(),(tP

10、iePAtPUtiPieePA)()(指数取正号w定态光波的频率都是相等的，可以不写在表达式中。w定态部分，即与时间无关部分为 )()()(PiePAPU 复振幅包含了振幅和位相，直接表示了定态光波在空间P点的振动，或者说复振幅表示了波在空间的分布情况。所以，凡是需要用振动描述的地方，都可以用复振幅代表。 w光波场在P点的强度 )()()()(*2PUPUPAPI光学多媒体网页whttp:/ w1波面：位相相等的空间点构成的曲面，也称波阵面。w2波前：光波场中的任一曲面。w3等幅面：振幅相等的空间点构成的曲面。w4共轭波：复振幅互为共轭的波。互为共轭的波，其传播方向应该是相关联的。 )sins

11、insin(exp)(321zyxikpAU)sin()sin()sin(exp)(321*zyxikpAU),(321),(321平面波的共轭波由于上述角度是波矢于平面间的夹角，所以不能认为两列波的方向相反)sinsin(exp)(21yxikpAU)sin()sin(exp)(21*yxikpAU如果2=0sinexp)(1ikxpAU )sin(exp)(1*ikxpAU11在z=0平面上)()()(exp202020zzyyxxikrAU)()()(exp202020*zzyyxxikrAU),(000zyx球面波发出),(000zyx汇聚从向5.波线w与波面垂直的直线，表示波的传播方

12、向。w与波矢的方向是相同的。w在几何光学中，波线就是光线。6波的位相与光程 w平面波，在一维情况下，位相为 0)( kxP)/(220nknsnxkx0022ns为介质中波的光程空间位相由光程决定w即同一时刻，空间中光程相同的点，其位相也相同，振动也相同。w波在不同媒质中，光程改变，产生折射，方向和波面都会发生改变。棱镜、透镜的原理都可以从光程的变化进行解释 1n2n菲涅耳（Fresnel）透镜 菲涅耳（Fresnel）透镜 五位相的超前与滞后 wP点的振动是由O点传播出来的 w波从O点传播到P点的时间为t ，即P点的振动比O点延迟t时间，则P点在t时刻的振动就是O点在t- t时刻的振动),(

13、),(ttOUtPU)(cos)(0ttPAvv/xOPtOPttt)/(cos)(),(0 xtPAtPUv)cos()(0tkxPA)(cos)(tPPA)/(cos)(),(0 xtPAtPUvcos)(),(0kxtPAtPUv/0)( kxPP点的位相 P点的位相比O点滞后kx，在上述表达式中，即通常的复振幅表达式中，位相数值大，为滞后 /2/2k如果表达式写成cos(t-kx+0)的形式，位相数值小，为滞后 。2.2 波的叠加原理 w两列波在空间相遇一内容一内容 w1波的独立传播定律w从不同振源发出的波在空间相遇时，如振动不十分强，各个波将保持各自的特性不变，继续传播，相互之间没有

14、影响。w2波的叠加原理w几列波在相遇点的合振动是各个波独自在该点振动的矢量叠加（矢量和）。成立的条件w传播介质为线性介质。w振动不十分强。在振动很强烈时，线性介质会变为非线性的。w注意要点：不是强度的叠加，也不是振幅的简单相加，而是振动矢量（瞬时值）的叠加。二叠加方法 w同频率、同振动方向的单色光。 w1代数法（瞬时值法） )cos(111tA)cos(222tA21)cos(2122122212AAAAA)sinsin/()coscos(22112211AAAAtg)cos(tA合振动w2复数法 111ieAU 22ieU2121iieAeA振幅和位相的表达式与代数方法相同21UUUiAew

15、3振幅矢量法 w在复空间中 ，如图所示 21UUUU1U2U11A22AAw连续多个振幅矢量的叠加122334各个矢量按次序首尾相接，夹角为相应的位相差三叠加的强度 w光的频率是1014 Hz，其变化周期比仪器的响应时间小得多w光强的测量值只能是一定时间内的平均值I0212221cos12dtAAAA12两列波在空间P点的位相差021dtAdtAAAA012212221)cos(21w在观察时间内不是定值，而是随时间改变，是时间的随机函数，则有 )(12t0cos0dt212221IIAAI是两列光的强度简单相加，没有干涉现象 。或者说它们是不相干的w在观察时间内不随时间改变，则有 cosco

16、s10dt2121221cos2IIAAAAIcos221AA被称为干涉项 即两列波在空间不同的地点有不同的位相差，叠加后有不同的强度，出现干涉现象。只与空间位置有关，即不同的空间点具有不同的位相差，因而有不同的干涉项的数值。j21cos2122212AAAAI221)(AA 21212IIII21II 干涉相长 ) 12(j1cos2122212AAAAI221)(AA 21212IIII21II 干涉相消两列波在空间相遇，使得光的能量重新分布，称为干涉现象。能够产生干涉的光，称为相干光 四相干条件 w（1）、稳定w（2）、相同w （3）、存在相互平行的振动分量。 212122212|21I

17、II总光强是两列波的光强之和，无干涉。两列波的振动方向相互垂直21按矢量叠加数量关系光强是振幅的平方如两振动不平行，可将其中一个正交分解为和另一个分别平行、垂直的分量，再进行叠加。其中垂直的分量作为背底，不参与干涉。 21x2y221xxyyee221)(cos2212221yyAAAAIcos2Asin2Acoscos22121AAII22xA五不同频率单色波的叠加 w振动方向相同、传播方向相同，频率不同的两列波 1)cos(10kztA2)cos(220zktA222)()(cos2)()(cos2212121210zkktzkktA)cos()cos(20zktzktAmm)cos()c

18、os(20zktzktAmmw形成光学拍，拍频为m ，强度分布随时间和空间变化。w结论：w1、不同频率单色光叠加形成光学拍；w2、不同频率的定态光波叠加形成非定态光。 )(2cos1 2)(cos420220zktAzktAImmmm光强随时间变化，没有稳定的光强分布。3.2 两列单色波的干涉花样 w一两相干个点光源的干涉一两相干个点光源的干涉w发出球面波，在场点P相遇。 )2cos()cos(01111011111trnAtrkA)2cos()cos(02222022222trnAtrkA1S2S1r2r),(zyxP可设初位相均为零， 位相差 )(21122rnrn1122rnrn)(21

19、2rr jrr122) 12(12jrr光程差 在真空中 干涉相长 干涉相消 j=0，1，2，3，4， ，干涉级数交错的亮条纹和暗条纹在空间形成一系列双叶旋转双曲面。在平面接收屏上为一组双曲线，明暗交错分布。干涉条纹为非定域的，空间各处均可见到。 1S2S杨氏双孔干涉 w轴外物点和场点都满足近轴条件w两点光源间距为d，可以求得发出的光波在屏上的复振幅1S2S1r2r),(yxPD)2exp(2)2/(exp),(2221xDikdDyxdDikDAyxU)2exp(2)2/(exp),(2222xDikdDyxdDikDAyxU),(),(),(21yxUyxUyxU)2exp()2exp(2

20、)2/(exp222xDikdxDikdDyxdDikDA)2cos(2)2/(exp2222xDkdDyxdDikDA合成的复振幅为 )2(cos4)2(cos4)2(cos2202222xDkdIxDkdDAxDkdDAI强度分布为 20)(DAI 从一个孔中出射的光波在屏中心的强度 是一系列等间隔的平行直条纹 )2(cos420 xDkdII干涉相长（亮条纹）jxDkd2dDjkdDjx2干涉相消（暗条纹）2) 12(2jxDkddDjkdDjx21222) 12(dDx 相邻亮（暗）条纹间隔XYXndDjkdDjx2ndDx相邻亮（暗）条纹间隔如光源和接收屏之间充满介质，则条纹间距为

21、三干涉条纹的反衬度（可见度） w反衬度的定义：在接收屏上一选定的区域中，取光强最大值和最小值，有mMmMIIII221221)(,)(AAIAAImMw当A1=A2时，=1，反衬度最大w当A1A2时，即A1、A2相差悬殊时，=0，反衬度最小2221212AAAA22121)(12AAAA四两束平行光的干涉 w两列同频率单色光，振幅分别为A1，A2；初位相为10，20 ，方向余弦角为（1 ， 1 ， 1） ，（2 ， 2 ， 2） w研究在Z=0的波前上的位相 ZXOY101111)0coscos(cos),(yxkyx202222)0coscos(cos),(yxkyx)()cos(cos)cos(cos),(10201211ykxkyxcos2),(212221AAAAyxIZ=0)()cos(cos)cos(cos),(10201