中考二次函数压轴题及答案

1、二次函数压轴题精讲1二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时， 先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号， 然后判断新 的函数关系式中系数的符号， 再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征， 则 符合所有特征的图象即为正确选项（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、 几何知识有机地结合在一起 这类试题一般难度较大 解这 类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、 定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件（3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型关键在于观察、分

2、析、 创建，建立直角坐标系下的二次函数图象， 然后数形结合解决问题， 需要我们注 意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义例 1. 已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A 、B，将 OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C（1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为 平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为 T，Q为线段 BT上一点，直

3、接写出 |QAQO|的取值范围2如图，直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6（a0）相交于 A （ ， ）和 B（4， m），点P是线段 AB 上异于 A、B的动点，过点 P作PCx轴于点 D，交抛物 线于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大 值；若不存在，请说明理由；（ 3）求PAC 为直角三角形时点 P的坐标3如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A （0，4），B（1，0），C（5，0）， 其对称轴与 x 轴相交于点 M （1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使PAB 的周

4、长最小？若存在，请 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接 AC，在直线 AC 的下方的抛物线上，是否存在一点 N，使 NAC 的 面积最大？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由4如图，抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于点 A （3，0）和点 B，交 y 轴于点 C （0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 P 在抛物线上，且 SAOP=4SBOC，求点 P的坐标；（3）如图 b，设点 Q是线段 AC 上的一动点，作 DQx轴，交抛物线于点 D， 求线段 DQ 长度的最大值5如图，在矩形 OABC 中， OA=5，AB=4，点 D 为边 AB 上一点，

5、将 BCD 沿直线CD折叠，使点 B恰好落在边 OA上的点E处，分别以 OC，OA所在的 直线为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系（1）求 OE 的长及经过 O，D，C 三点抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿 CB以每秒2个单位长度的速度向点 B运动，同 时动点Q从E点出发，沿 EC以每秒1个单位长度的速度向点 C运动，当点 P 到达点 B时，两点同时停止运动，设运动时间为 t秒，当 t为何值时， DP=DQ；（3）若点 N 在（ 1）中抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的 点M 与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 M 点坐标；若不存

6、在，请说明理由6如图，边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线 经过点 A，点P是抛物线上点 A，C间的一个动点（含端点），过点 P作PFBC 于点 F，点 D、E 的坐标分别为（ 0，6），（4，0），连接 PD、PE、DE（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点 P的位置发现：当 P与点 A 或点 C重合时， PD与PF的差为 定值，进而猜想：对于任意一点 P，PD与 PF的差为定值，请你判断该猜想是否 正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论： 若将“使 PDE的面积为整数 ”的点 P记作“好点”， 则存在多个 “好点”，且使 PDE的周长

7、最小的点 P也是一个 “好点”请直接写出 所有“好点”的个数，并求出 PDE周长最小时 “好点”的坐标7如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 与坐标轴分别交于点 A （0，8）、B（8，0） 和点 E，动点 C从原点 O开始沿 OA 方向以每秒 1个单位长度移动，动点 D从 点 B 开始沿 BO 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 C 、 D 同时出发，当动点 D 到达原点 O时，点 C、D 停止运动（ 1）直接写出抛物线的解析式：；（2）求CED的面积 S与 D点运动时间 t的函数解析式；当 t为何值时，CED 的面积最大？最大面积是多少？（3）当CED 的面积最大时， 在抛物线上是否存

8、在点 P（点 E 除外），使PCD 的面积等于 CED 的最大面积？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，请说明8如图，已知二次函数 L1：y=ax22ax+a+3（a>0）和二次函数 L 2：y=a（x+1） 2+1（a>0）图象的顶点分别为 M，N，与 y 轴分别交于点 E，F（1）函数 y=ax22ax+a+3（ a>0）的最小值为，当二次函数 L 1，L2的 y值同时随着 x 的增大而减小时， x的取值范围是 （2）当 EF=MN 时，求 a 的值，并判断四边形 ENFM 的形状（直接写出，不必 证明）3）若二次函数 L 2的图象与 x 轴的右交点为 A（m，0），当A

9、MN 为等腰三9如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交 于点 C抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x= 且经过 A 、C 两点，与 x 轴的另 一交点为点 B（ 1） 直接写出点 B 的坐标； 求抛物线解析式（2）若点 P为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC求PAC的面 积的最大值，并求出此时点 P 的坐标（3）抛物线上是否存在点 M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点 A、M、 N 为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说 明理由10如图，顶点 M在y轴上的抛物线与直线 y=x+

10、1相交于A、B两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连结 AM 、BM （1）求抛物线的函数关系式；（2）判断 ABM 的形状，并说明理由；（ 3）把抛物线与直线 y=x 的交点称为抛物线的不动点 若将（1）中抛物线平移， 使其顶点为（ m， 2m），当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点11（2015?孝感）在平面直角坐标系中， 抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，直线 y=x+4 经过 A，C 两点（1）求抛物线的解析式；（ 2）在 AC 上方的抛物线上有一动点 P 如图 1，当点 P 运动到某位置时，以 AP ， AO

11、为邻边的平行四边形第四个顶 点恰好也在抛物线上，求出此时点 P 的坐标； 如图 2，过点 O，P 的直线 y=kx 交 AC 于点 E，若 PE： OE=3：8，求 k 的值12（ 2015?无锡）一次函数 y= x 的图象如图所示，它与二次函数 y=ax24ax+c 的图象交于 A、B 两点（其中点 A 在点 B 的左侧），与这个二次函数图象的对称 轴交于点 C（1）求点 C 的坐标；（ 2）设二次函数图象的顶点为 D 若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，且 ACD 的面积等于 3，求此二次函数的关系 式； 若 CD=AC，且 ACD 的面积等于 10，求此二次函数的关系式13（2015?

12、济宁）如图， E的圆心 E（3，0），半径为 5，E与y轴相交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的上方），与 x 轴的正半轴交于点 C ，直线 l 的解析式为 y= x+4，与 x 轴相交于点 D，以点 C 为顶点的抛物线过点 B（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线 l 与E 的位置关系，并说明理由；（3）动点 P在抛物线上，当点 P到直线 l 的距离最小时求出点 P的坐标及最 小距离14（2015?佛山）如图，一小球从斜坡 O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次 函数 y= x2+4x 刻画，斜坡可以用一次函数 y= x 刻画（1）请用配方法求二次函数图象的最高点 P 的坐标；（2）小球

13、的落点是 A ，求点 A 的坐标；（3）连接抛物线的最高点 P与点 O、A 得POA，求POA的面积；（4）在 OA 上方的抛物线上存在一点 M（M 与 P 不重合），MOA 的面积等于 POA的面积请直接写出点 M 的坐标15（2015?甘孜州）如图，已知抛物线 y=ax25ax+2（a0）与 y 轴交于点 C， 与 x 轴交于点 A（ 1， 0）和点 B（1）求抛物线的解析式；（2）求直线 BC 的解析式；（3）若点 N是抛物线上的动点，过点 N作NHx轴，垂足为 H，以B，N，H 为顶点的三角形是否能够与 OBC 相似（排除全等的情况）？若能，请求出所 有符合条件的点 N 的坐标；若不能

14、，请说明理由16（2015?连云港）如图，已知一条直线过点（ 0，4），且与抛物线 y= x2 交于A， B 两点，其中点 A 的横坐标是 2（1）求这条直线的函数关系式及点 B 的坐标（2）在x轴上是否存在点 C，使得ABC 是直角三角形？若存在，求出点 C的 坐标，若不存在，请说明理由（3）过线段 AB 上一点 P，作 PMx 轴，交抛物线于点 M ，点 M 在第一象限， 点 N（ 0，1），当点 M 的横坐标为何值时， MN+3MP 的长度最大？最大值是多 少？17（2015?赤峰）已知二次函数 y=ax2+bx3a 经过点 A（ 1，0）、C（0，3）， 与 x 轴交于另一点 B，抛物

15、线的顶点为 D （1）求此二次函数解析式；（2）连接 DC、BC、DB，求证：BCD 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 为等腰三角形？若存 在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由18（ 2015?贵阳）如图，经过点 C（0， 4）的抛物线 y=ax2+bx+c（ a0）与 x 轴相交于 A（2，0），B 两点（ 1） a0，b24ac0（填 “>”或“<”）；（ 2）若该抛物线关于直线 x=2 对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（ 2）的条件下，连接 AC，E是抛物线上一动点，过点 E作AC 的平行 线交 x 轴于点 F是否存在

16、这样的点 E，使得以 A，C，E，F 为顶点所组成的四 边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明 理由19（2015?宁德）已知抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C， O是坐标原点，点 A的坐标是（ 1，0），点 C的坐标是（ 0， 3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线 BC的函数表达式和 ABC 的度数；（3）P为线段 BC 上一点，连接 AC，AP，若ACB=PAB，求点 P的坐标20（2015?盘锦）如图 1，在平面直角坐标系中， 抛物线 y=ax2+bx+3 交 x 轴于 A （1，0）和B（5，0）两

17、点，交 y轴于点 C，点D是线段 OB上一动点，连接 CD，将线段 CD绕点D顺时针旋转 90°得到线段 DE，过点 E作直线 lx轴于 H， 过点 C 作 CFl 于 F（1）求抛物线解析式；（2）如图 2，当点 F恰好在抛物线上时，求线段 OD 的长；（3）在（ 2）的条件下： 连接 DF，求 tan FDE 的值； 试探究在直线 l 上，是否存在点 G，使EDG=45°？若存在， 请直接写出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由21（2015?攀枝花）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（ 1，0）、B （3，0）两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的

18、对称轴与抛物线交于点 P、与直线 BC 相交于点 M ，连接 PB（1）求该抛物线的解析式；（2）在（ 1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D，使得 BCD 的面积 最大？若存在，求出 D点坐标及BCD面积的最大值； 若不存在，请说明理由（3）在（1）中的抛物线上是否存在点 Q，使得 QMB 与 PMB 的面积相等？ 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由22（ 2015?黔南州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y= x2+bx+c 过点 A （0，4）和 C（8，0）， P（ t，0）是 x 轴正半轴上的一个动点， M 是线段 AP的中点，将线段 MP 绕点 P顺

19、时针旋转 90°得线段 PB，过点 B 作 x 轴的垂线， 过点 A 作 y 轴的垂线，两直线交于点 D（1）求 b、c 的值；（ 2）当 t 为何值时，点 D 落在抛物线上；（ 3）是否存在 t，使得以 A ，B，D 为顶点的三角形与 AOP 相似？若存在，求 此时 t 的值；若不存在，请说明理由23（2015?金华）如图，抛物线 y=ax2+c（a0）与y轴交于点 A，与x轴交于 B， C 两点（点 C 在 x 轴正半轴上）， ABC 为等腰直角三角形，且面积为 4，现将 抛物线沿 BA 方向平移，平移后的抛物线过点 C时，与 x 轴的另一点为 E，其顶 点为 F，对称轴与 x

20、轴的交点为 H（1）求 a、c 的值（2）连接 OF，试判断 OEF是否为等腰三角形，并说明理由（3）现将一足够大的三角板的直角顶点 Q放在射线 AF 或射线 HF 上，一直角 边始终过点 E，另一直角边与 y 轴相交于点 P，是否存在这样的点 Q，使以点 P、 Q、E 为顶点的三角形与 POE全等？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请 说明理由24（2015?德州）已知抛物线 y=mx2+4x+2m 与 x 轴交于点 A（ ，0），B（， 0），且=2，（1）求抛物线的解析式（2）抛物线的对称轴为 l，与 y轴的交点为 C，顶点为 D，点C关于 l的对称点 为E，是否存在 x轴上的点 M

21、，y轴上的点 N，使四边形 DNME 的周长最小？ 若存在，请画出图形（保留作图痕迹） ，并求出周长的最小值；若不存在，请说 明理由（3）若点 P在抛物线上，点 Q在 x 轴上，当以点 D、E、P、Q为顶点的四边形 是平行四边形时，求点 P 的坐标25（ 2015?湖北）边长为 2 的正方形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所 示，点D 是边 OA 的中点，连接 CD，点 E在第一象限，且 DEDC，DE=DC以 直线 AB 为对称轴的抛物线过 C，E 两点（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线 CB每秒 1个单位长度的速度运动，运动时间为 t秒过点 P作PFCD于点 F，

22、当 t为何值时，以点 P，F，D为顶点的三角形 与COD 相似？（3）点 M 为直线 AB 上一动点，点 N 为抛物线上一动点，是否存在点 M， N， 使得以点 M，N，D，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满 足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由26（2015?威海）已知：抛物线 l1：y=x2+bx+3交x轴于点 A，B，（点A在点 B的左侧），交 y轴于点 C，其对称轴为 x=1，抛物线 l2经过点 A，与 x 轴的另 一个交点为 E（5，0），交 y 轴于点 D（0， ）（1）求抛物线 l2 的函数表达式；（2）P为直线 x=1 上一动点，连接 PA，PC，当 PA=

23、PC时，求点 P的坐标；（3）M为抛物线 l2上一动点，过点 M 作直线 MN y轴，交抛物线 l1于点 N， 求点 M 自点 A 运动至点 E 的过程中，线段 MN 长度的最大值27（2015?东营）如图，抛物线经过 A （2，0），B（ ，0），C（0，2）三 点（1）求抛物线的解析式；（ 2）在直线 AC 下方的抛物线上有一点 D，使得 DCA 的面积最大，求点 D 的 坐标；（3）设点 M 是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点 H 满足AMH=90 °？ 若存在，请求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由28（2015?临沂）在平面直角坐标系中， O为原点，直线 y=2x

24、1与 y 轴交于 点A，与直线 y=x交于点 B，点 B关于原点的对称点为点 C（1）求过 A，B，C 三点的抛物线的解析式；（2）P 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为 Q 当四边形 PBQC为菱形时，求点 P 的坐标； 若点 P的横坐标为 t（ 1<t< 1），当 t 为何值时，四边形 PBQC面积最大？ 并说明理由29（2015?自贡）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=1， 且抛物线经过 A（1，0），C（0，3）两点，与 x 轴交于点 B（ 1）若直线 y=mx+n 经过 B、 C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称

25、轴 x=1上找一点 M，使点 M到点 A的距离与到点 C的 距离之和最小，求出点 M 的坐标；（3）设点 P为抛物线的对称轴 x=1上的一个动点，求使 BPC 为直角三角形 的点 P 的坐标30（2015?丹东）如图，已知二次函数 y=ax2+ x+c 的图象与 y 轴交于点 A （0，4），与x轴交于点 B、C，点C坐标为（8，0），连接 AB、AC1）请直接写出二次函数y=ax22）判断ABC 的形状，并说明理由；3）若点 N 在 x 轴上运动，当以点 A 、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时， 请直接写出此时点 N 的坐标；（4）若点 N在线段 BC上运动（不与点 B、C重合），过点

26、N作NM AC，交AB 于点 M ，当AMN 面积最大时，求此时点 N 的坐标参考答案与试题解析一解答题（共 30 小题） 1（2016?深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线与x轴、 y轴的交点分别为 A、B，将OBA对折，使点 O的对应点 H落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C（1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为 平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为 T，Q为线段 BT上一点，直接写出

27、 |QAQO|的取值范围【考点】 二次函数综合题【专题】 压轴题；开放型【分析】（1）点 A 的坐标是纵坐标为 0，得横坐标为 8，所以点 A 的坐标为（ 8， 0）；点 B 的坐标是横坐标为 0，解得纵坐标为 6，所以点 B 的坐标为（ 0， 6）； 由题意得： BC 是 ABO 的角平分线，所以 OC=CH，BH=OB=6 AB=10，AH=4，设 OC=x，则 AC=8 x 由勾股定理得： x=3 点C的坐标为（ 3，0） 将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（ 2）求得直线 BC 的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且 相等，借助于三角函数即可求得；（ 3）如

28、图，由对称性可知 QO=QH， |QAQO|=|QAQH| 当点 Q与点 B重合时，Q、H、A 三点共线， |QA QO|取得最大值 4（即为 AH 的长）； 设线段 OA 的垂直平分线与直线 BC 的交点为 K， 当点Q与点K重合时， |QAQO|取得最小值 0【解答】 解：（1）点 C 的坐标为（ 3，0）（1 分） 点A、B 的坐标分别为 A（8，0），B（0，6）， 可设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 y=a（x3）（x8）将 x=0， y=6 代入抛物线的解析式，得（2 分）过 A、B、C三点的抛物线的解析式为（3 分）2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点 D 的坐标为设抛物线

29、的对称轴与 x 轴的交点为 G直线 BC 的解析式为 y= 2x+6.4 分）设点 P的坐标为（ x，2x+6） 解法一：如图，作 OPAD 交直线 BC 于点 P， 连接 AP，作 PMx 轴于点 M OPAD，POM=GAD，tanPOM=tanGAD，经检验 是原方程的解此时点 P 的坐标为 （5 分）但此时，OM <GA， OP<AD，即四边形的对边 OP与AD 平行但不相等，直线 BC 上不存在符合条件的点 P（6 分）解法二：如图，取 OA 的中点 E， 作点 D 关于点 E的对称点 P，作 PNx 轴于 点 N则PEO=DEA ，PE=DE可得PENDEG由 ，可得

30、E 点的坐标为（ 4， 0） NE=EG= ，ON=OENE= ， NP=DG= 点 P的坐标为（5分）点P不在直线 BC 上直线 BC 上不存在符合条件的点 x= 时，P（6 分）（3）|QAQO|的取值范围是（8 分）当Q在OA的垂直平分线上与直线 BC的交点时，（如点 K处），此时 OK=AK ， 则|QAQO|=0，当Q在AH的延长线与直线 BC交点时，此时 |QAQO|最大， 直线 AH 的解析式为： y= x+6，直线 BC 的解析式为： y= 2x+6， 联立可得：交点为（ 0，6），OQ=6，AQ=10， |QAQO|=4， |QAQO|的取值范围是： 0|QAQO|4【点评】

31、此题考查了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合知识， 解题的关 键是认真识图，注意数形结合思想的应用2（2015?枣庄）如图，直线 y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于A（ ， ）和 B（4，m），点 P是线段 AB 上异于 A、B的动点，过点 P作 PCx轴于 点 D ，交抛物线于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大 值；若不存在，请说明理由；（ 3）求PAC 为直角三角形时点 P的坐标【分析】（1）已知 B（4，m）在直线 y=x+2 上，可求得 m 的值，抛物线图象上 的 A 、B 两点坐标，可将其

32、代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待 定系数的值（2）要弄清 PC的长，实际是直线 AB 与抛物线函数值的差可设出 P点横坐 标，根据直线 AB 和抛物线的解析式表示出 P、C 的纵坐标，进而得到关于 PC 与 P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出 PC 的最大值（3）当PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类 讨论，分别求解【解答】 解：（1）B（4，m）在直线 y=x+2 上， m=4+2=6， B（4，6）， A（）、 B（4，6）在抛物线 y=ax2+bx+6 上， 抛物线的解析式为 y=2x28x+6，解得（2）设动点 P的坐标为（ n，n

33、+2），则C点的坐标为（ n，2n28n+6），PC=（n+2）（ 2n28n+6），2=2n2+9n4，=2（n ）2+ ，PC>0，当 n= 时，线段 PC最大且为 （3）PAC 为直角三角形，i）若点 P 为直角顶点，则 APC=90° 由题意易知， PCy 轴， APC=45°，因此这种情形不存在；ii ）若点 A 为直角顶点，则 PAC=90°如答图 31，过点 A（ ， ）作 AN x轴于点 N，则 ON= ，AN= 过点A作AM 直线AB，交x轴于点M，则由题意易知， AMN 为等腰直角 三角形， MN=AN= ， OM=ON+MN= + =3

34、，M（3，0） 设直线 AM 的解析式为： y=kx+b ， 直线 AM 的解析式为： y= x+3 又抛物线的解析式为： y=2x28x+6 联立 式，解得： x=3或x= （与点 A重合，舍去）C（3， 0），即点 C、 M 点重合当 x=3 时， y=x+2=5 ，iii ）若点 C 为直角顶点，则 ACP=90° y=2x28x+6=2（x2）22， 抛物线的对称轴为直线 x=2如答图 32，作点 A（ ， ）关于对称轴 x=2 的对称点 C， 则点 C 在抛物线上，且 C（ ， ）当 x= 时，y=x+2= ，）P2）点P1（3，5）、P2（ ， ）均在线段 AB 上， 综

35、上所述， PAC为直角三角形时，点 P 的坐标为（ 3，5）或（ ， 【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、 二次函数最值的应用以及直角 三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识3（2015?酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A（0，4）， B（1， 0）， C（ 5，0），其对称轴与 x 轴相交于点 M （1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使PAB 的周长最小？若存在，请 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接 AC，在直线 AC 的下方的抛物线上，是否存在一点 N，使 NAC 的 面积最大？若存在，请求出点 N 的坐标；若

36、不存在，请说明理由【专题】 压轴题【分析】（1）抛物线经过点 A （0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法 设抛物线的解析式为 y=a（x 1）（x5），代入 A（0，4）即可求得函数的解析 式，则可求得抛物线的对称轴；（2）点 A 关于对称轴的对称点 A的坐标为（ 6，4），连接 BA 交对称轴于点 P， 连接 AP，此时PAB 的周长最小，可求出直线 BA的解析式，即可得出点 P的 坐标（ 3）在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使NAC 面积最大设 N 点的横 坐标为 t，此时点 N（ t， t2 t+4）（ 0<t<5），再求得直线 AC 的解析式，即

37、可求得 NG的长与ACN 的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案 【解答】 解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 y=a（x1）（x 5），把点 A （0，4）代入上式得： a= ， y= （x1）（ x 5） = x2 x+4= （x3）2 ， 抛物线的对称轴是： x=3；（2）P点坐标为（ 3， ）理由如下：点 A （0，4），抛物线的对称轴是 x=3， 点A 关于对称轴的对称点 A的坐标为（ 6，4）如图 1，连接 BA交对称轴于点 P，连接 AP，此时PAB 的周长最小设直线 BA的解析式为 y=kx+b ， 把 A （6，4），B（1，0）代入得y= x ，点 P的横坐标为

38、 3， y= ×3 = ，y= ×3 = ， P（ 3， ）（3）在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使 NAC 面积最大 设 N 点的横坐标为 t，此时点 N（ t， t2 t+4）（0<t<5），如图 2，过点 N作NGy轴交 AC 于G；作 ADNG于 D，由点 A （0，4）和点 C（ 5， 0）可求出直线 AC 的解析式为： y= x+4，把 x=t 代入得：y= t+4，则 G（ t， t+4（ t2 t+4）= t2+4t，此时： NG= AD+CF=CO=5 ， S ACN =SANG +SCGN = AD ×NG+ NG

39、5;CF= NG?OC= ×（ t2+4t） ×5=）2+2t2+10t=2（t当t= 时， CAN 面积的最大值为 ，由 t= ，得： y= t2 N（ ， 3）=3，【点评】本题主要考查了二次函数与方程、 几何知识的综合应用， 解题的关键是 方程思想与数形结合思想的灵活应用4（2015?阜新）如图，抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于点 A （ 3，0）和点 B， 交 y 轴于点 C（ 0， 3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 P 在抛物线上，且 SAOP=4SBOC，求点 P的坐标；（3）如图 b，设点 Q是线段 AC 上的一动点，作 DQx轴，交抛物线于

40、点 D，求线段 DQ 长度的最大值【考点】 二次函数综合题【专题】 压轴题【分析】（1）把点 A 、C 的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组， 通过解方程组求得系数的值；（2）设 P 点坐标为（ x ， x 2 2x+3），根据 S AOP=4S BOC列出关于 x 的方程， 解方程求出 x 的值，进而得到点 P 的坐标；（3）先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式为 y=x+3，再设 Q点坐标为（ x， x+3），则 D 点坐标为（ x， x2+2x3），然后用含 x 的代数式表示 QD ，根据二次 函数的性质即可求出线段 QD 长度的最大值【解答】 解：（1）把 A（ 3，0）

41、，C（0，3）代入 y=x2+bx+c，得故该抛物线的解析式为： y=x 22x+3（2）由（ 1）知，该抛物线的解析式为 y=x22x+3，则易得 B（1，0） S AOP=4SBOC， ×3×|x22x+3|=4× ×1×3 整理，得（ x+1）2=0 或 x2+2x 7=0，解得 x= 1 或 x=1±2 则符合条件的点 P的坐标为：（1，4）或（ 1+2 ， 4）或（ 12 ， 4）；3）设直线 AC 的解析式为 y=kx+t ，将 A（3，0），C（0，3）代入，解得即直线 AC 的解析式为 y=x+3设 Q 点坐标为（ x

42、，x+3），（ 3x0），则 D 点坐标为（ x，x22x+3）， QD=（x22x+3）（ x+3）=x23x=（当x= 时，QD 有最大值 【点评】 此题考查了待定系数法求二次函数、 一次函数的解析式， 二次函数的性 质以及三角形面积、 线段长度问题 此题难度适中， 解题的关键是运用方程思想 与数形结合思想5（2015?荆门）如图，在矩形 OABC 中，OA=5，AB=4，点D为边 AB上一点， 将BCD沿直线CD折叠，使点 B恰好落在边 OA上的点E处，分别以 OC， OA 所在的直线为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系（1）求 OE 的长及经过 O，D，C 三点抛物线的解析式；（2）

43、一动点P从点C出发，沿 CB以每秒2个单位长度的速度向点 B运动，同 时动点Q从E点出发，沿 EC以每秒1个单位长度的速度向点 C运动，当点 P 到达点 B时，两点同时停止运动，设运动时间为 t秒，当 t为何值时， DP=DQ； （3）若点 N 在（ 1）中抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的 点M 与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出【分析】（1）由折叠的性质可求得 CE、CO，在 RtCOE 中，由勾股定理可求 得 OE，设 AD=m ，在 Rt ADE 中，由勾股定理可求得 m 的值，可求得 D 点坐 标，结合 C、O 两点，利用待定系数法可

44、求得抛物线解析式；（ 2）用 t 表示出 CP、BP 的长，可证明 DBPDEQ，可得到 BP=EQ，可求 得 t 的值；（3）可设出 N点坐标，分三种情况 EN为对角线， EM为对角线， EC 为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得 M 点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得 M 点的坐标【解答】 解：（1）CE=CB=5，CO=AB=4 ，在 RtCOE 中，OE=3，设 AD=m ，则 DE=BD=4 m，OE=3，AE=53=2，在 RtADE 中，由勾股定理可得 AD 2+AE2=DE2，即 m2+22=（4m）2，解得 m= ，D（ ， 5），C（4，0）

45、，O（0，0），设过 O、D、C 三点的抛物线为 y=ax（x+4）， 5= a（ +4），解得 a= ， 抛物线解析式为 y= x（x+4）2）CP=2t，BP=52t，在 RtDBP 和 Rt DEQ 中，RtDBPRtDEQ（HL），BP=EQ，（ 3） 抛物线的对称轴为直线 x=2，设 N（ 2， n）， 又由题意可知 C（ 4，0），E（0，3）， 设 M （m，y）， 当 EN 为对角线，即四边形 ECNM 是平行四边形时，则线段 EN的中点横坐标为=1，线段 CM中点横坐标为EN， CM 互相平分，= 1，解得 m=2，又M 点在抛物线上， y= ×22+ ×

46、2=16， M（2，16）； 当 EM 为对角线，即四边形 ECMN 是平行四边形时，则线段 EM 的中点横坐标为 ，线段 CN 中点横坐标为=3，EM，CN 互相平分， =3，解得 m= 6， 又 M 点在抛物线上，y= ×（ 6）2+ ×（6）=16，M（6，16）； 当 CE 为对角线，即四边形 EMCN 是平行四边形时， 则M 为抛物线的顶点，即 M（2， ）综上可知，存在满足条件的点 M，其坐标为（ 2，16）或（ 6，16）或（ 2，【点评】本题主要考查二次函数的综合应用， 涉及待定系数法、 全等三角形的判 定和性质、折叠的性质、平行四边形的性质等知识点在（ 1

47、）中求得 D 点坐标 是解题的关键，在（ 2）中证得全等，得到关于 t 的方程是解题的关键，在（ 3） 中注意分类讨论思想的应用本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中6（2015?河南）如图，边长为 8的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点 C为 顶点的抛物线经过点 A，点 P是抛物线上点 A ，C间的一个动点（含端点） ，过 点 P 作 PFBC 于点 F，点 D、E 的坐标分别为（ 0，6），（4，0），连接 PD、 PE、DE（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点 P的位置发现：当 P与点 A 或点 C重合时， PD与PF的差为 定值，进而猜想：对于任意一点 P，PD与

48、PF的差为定值，请你判断该猜想是否 正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论： 若将“使 PDE的面积为整数 ”的点 P记作“好点”， 则存在多个 “好点”，且使 PDE的周长最小的点 P也是一个 “好点”请直接写出 所有“好点”的个数，并求出 PDE周长最小时 “好点”的坐标【考点】 二次函数综合题【专题】 压轴题 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）首先表示出 P，F 点坐标，再利用两点之间距离公式得出 PD，PF的长，进 而求出即可；（3）根据题意当 P、E、F三点共线时， PE+PF最小，进而得出 P点坐标以及利 用PDE的面积可以等于 4到 13所有整数，在

49、面积为 12时，a的值有两个，进 而得出答案【解答】解：（1）边长为 8的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点 C为顶 点的抛物线经过点 A ，C（0，8），A（8，0），设抛物线解析式为： y=ax2+c，则，解得：故抛物线的解析式为： y= x2+8；（2）正确，理由：设 P（a， a2+8），则 F（a，8），D（0，6），PD= = a2+2，PF=8（ a2+8） = a2，PDPF=2；（3）在点 P运动时， DE大小不变，则 PE与PD 的和最小时， PDE的周长最 小，PDPF=2，PD=PF+2， PE+PD=PE+PF+2，当 P、E、F三点共线时， PE+PF最小，

50、此时点 P，E 的横坐标都为 4， 将x=4代入y= x2+8，得 y=6，P（4，6），此时PDE 的周长最小，且 PDE 的面积为 12，点 P恰为“好点， PDE 的周长最小时 ”好点“的坐标为：（ 4， 6），由（ 2）得： P（a， a2+8），点 D、E 的坐标分别为（ 0，6），（4，0）， 当 4a<0 时，SPDE= （ a+4）（ a2+8） ?（ a2+86）=； 4< S PDE12， 当 a=0 时， S PDE=4， 8<a<4 时，SPDE=（ a2+8+6）×（ a）× ×4×6（ a4）×

51、;（ a2+8）×= a2 3a+4， 4S PDE13， 当 a= 8 时， S PDE=12，PDE的面积可以等于 4到 13所有整数，在面积为 12时， a的值有两个， 所以面积为整数时好点有 11 个，经过验证周长最小的好点包含这 11个之内，所 以好点共 11 个，【点评】此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函数 最值等知识，利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键7（ 2015?桂林）如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 与坐标轴分别交于点 A（0，8）、 B（8，0）和点 E，动点 C从原点 O开始沿 OA 方向以每秒 1个单位长度移动， 动点D

52、从点B开始沿BO方向以每秒 1个单位长度移动，动点 C、D同时出发， 当动点 D 到达原点 O 时，点 C、D 停止运动（ 1）直接写出抛物线的解析式： y= x2+3x+8 ；（2）求CED的面积 S与 D点运动时间 t的函数解析式；当 t为何值时，CED 的面积最大？最大面积是多少？（3）当CED 的面积最大时， 在抛物线上是否存在点 P（点 E 除外），使PCD 的面积等于 CED 的最大面积？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，请说明【考点】 二次函数综合题【专题】 压轴题【分析】（1）将点 A （0，8）、B（8，0）代入抛物线 y= x2+bx+c 即可求出抛 物线的解析式为： y

53、= x2+3x+8 ；（2）根据题意得：当 D 点运动 t 秒时， BD=t ，OC=t，然后由点 A（0，8）、B（8，0），可得 OA=8，OB=8，从而可得 OD=8t，然后令 y=0，求出点 E 的坐标为（ 2，0），进而可得 OE=2，DE=2+8t=10t，然后利用三角形的面积公 式即可求CED的面积 S与 D点运动时间 t的函数解析式为： S= t2+5t，然后 转化为顶点式即可求出最值为： S 最大= ；（3）由（2）知：当t=5时，S最大= ，进而可知：当 t=5时， OC=5，OD=3， 进而可得 CD= ，从而确定 C（ 0，5），D（3，0）然后根据待定系数法求出直 线 CD 的解析式为： y= x+5，然后过 E 点作 EF CD，交抛物线与点 P，然后 求出直线 EF的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点 P 的坐 标，然后利用面积法求出点 E到CD的距离为：，然后过点 D作 DNCD，垂足为 N，且使 DN=，然后求出 N 的坐标，然后过点 N 作 NH CD，与抛物线交与点 P，然后求出直线 NH 的解析式，与抛物线联立方程