第十章多元函数微分学PPT学习教案

1、会计学1第十章多元函数微分学第十章多元函数微分学第1页/共70页第一节多元函数的概念第一节多元函数的概念多元函数的定义多元函数的定义先看几个例子先看几个例子例题例题1 直圆柱体的侧面积直圆柱体的侧面积S和底面半径和底面半径R和高和高H之间的依之间的依赖关系可用公式赖关系可用公式S=2 RH ,(R，H)R 0，H 0表表示。当（示。当（R，H）的值在一定范围内取定一对数值时，）的值在一定范围内取定一对数值时，S的的对应值就随之确定了。对应值就随之确定了。例题例题2 气缸内理想气体的容积气缸内理想气体的容积V与压强与压强p，绝对温度，绝对温度T之间之间的关系为的关系为V=RT/p,其中其中R是常

2、数，是常数，(T，p) )T T 0 0，p p 0 0,V是随是随T、p变化而变化的。当（变化而变化的。当（T，p）在一定范围内取定）在一定范围内取定一对数值时，一对数值时，V的对应值就随之确定了。的对应值就随之确定了。例题例题3 一氧化氮的氧化过程为一氧化氮的氧化过程为2NO+O2 22N2NO2 2，由实验可，由实验可知，在此过程中，其氧化速度知，在此过程中，其氧化速度V与一氧化氮的克分子浓度与一氧化氮的克分子浓度x、氧气的克分子浓度氧气的克分子浓度y之间的关系为之间的关系为V=Kx2y, (x，y) )0 x1, 0y10 x1, 0y1，其中，其中K为反应速度常数。当为反应速度常数。

3、当(x,y)在一在一定范围内取定一对数值时，定范围内取定一对数值时，V的对应值就随之确定了。的对应值就随之确定了。第2页/共70页第3页/共70页第4页/共70页RxHyxyxy32-3-2oooo图1图3图2图4221 ()zxy定义域是闭单位圆：(x，y)0 x2+y21例题5 函数 arcsinarcsin23xyz 定义域是闭矩形：(x，y)-2x2, -3y3第5页/共70页2200()()xxyy第6页/共70页第7页/共70页ezsurf(x2+y2,circ);shading flat;view(-18,28)第8页/共70页而函数它们的定义域为(x，y)x2+y2a2。 的图

4、形是以坐标原点为球心，a为半径的上半球面，的图形则是同一个球的下半球面，222zaxy222zaxy 当自变量的个数多于两个时，函数就不可以用当自变量的个数多于两个时，函数就不可以用几何图形直观地表示出来。几何图形直观地表示出来。第9页/共70页x=cos(s)*cos(t);y=cos(s)*sin(t);z=sin(s);subplot(1, 2, 2)ezsurf(x,y,z,0,pi/2,0,2*pi) % view(45,45);shading interp;colormap(spring)x=cos(s)*cos(t);y=cos(s)*sin(t);z=-sin(s);subpl

5、ot(1, 2, 3)ezsurf(x,y,z,0,pi/2,0,2*pi) % view(45,45);shading interp;colormap(spring)画函数221zxy的图形 221zxy 第10页/共70页多元函数的极限及连续性多元函数的极限及连续性 要求：要求：1、理解掌握二元函数极限的定义，掌握二、理解掌握二元函数极限的定义，掌握二元函数连续的概念元函数连续的概念2、会求简单的二元函数的极限，能判断比较简单、会求简单的二元函数的极限，能判断比较简单的二元函数的连续性的二元函数的连续性3、掌握连续函数的两个基本性质、掌握连续函数的两个基本性质最值定理，最值定理，介值定理介

6、值定理重点：二元函数极限和连续的定义重点：二元函数极限和连续的定义难点：判断二元函数是否存在极限难点：判断二元函数是否存在极限第11页/共70页 1. 二元函数的极限二元函数的极限 定义定义 2 2 设二元函数设二元函数),(yxfz ， 如果当点如果当点 ),(yx以任以任意方式趋向点意方式趋向点),(00yx时，时，),(yxf总趋向于一个确定的常数总趋向于一个确定的常数A，那么就称，那么就称A是二元函数是二元函数),(yxf当当 ),(yx ),(00yx时的时的极限，记为极限，记为 Ayxfyxyx),(lim),(),(00或或Ayxfyyxx),(lim00. 同一元函数的极限一样

7、， 二元函数的极限也有类似的同一元函数的极限一样， 二元函数的极限也有类似的四则运算法则四则运算法则 第12页/共70页),(yxP),(000yxP注意：点趋向于点的方式是任意的。如果点P只是沿着某一特殊途径趋向于点P0，即使这时函数趋向于某一确定值，也不能断定函数的极限存在。第13页/共70页例题1 考察函数22,( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyx yxyf x yx y在点（0，0）的极限。（MATLAB图形命令ezsurf(x*y/(x2+y2),circ) ；view(1,1,1);shading flat）图形如右）-10-50510-10-50510-0

8、.6-0.4-0.200.20.40.6xx y/(x2+y2)yz第14页/共70页( ,0)0f x解：因为在x轴上，0lim( ,0)0 xf x故当点P（x，y）沿x轴趋向于（0，0）时(0, )0fy 同样,在y轴上，0lim(0, )0yfy故当点P（x，y）沿x轴趋向于（0，0）时( , )f x y虽然沿上面两条特殊路径函数都趋向于0，( , )(0,0)lim( , )x yf x y是不存在的。 但第15页/共70页2222222( , )1xykxkf x yxyxk xkykx因为当点P沿着路径趋向于点（0，0）时，有它的值随着k的变化而变化，故极限不存在。第16页/共

9、70页22( , )xyf x yxy例题2 设函数( , )(0,0)lim( , )0 x yf x y证明 （MATLAB作图命令，从不同方向观察图形）作图命令，从不同方向观察图形）ezsurf(x*y/sqrt(x2+y2),circ);view(1,1,1);shading flatezsurf(x*y/sqrt(x2+y2),circ);view(0,1,0);shading flat-10-50510-10-50510-505xx y/sqrt(x2+y2)yz-10-8-6-4-20246810-5-4-3-2-1012345xx y/sqrt(x2+y2)z-10-50510

10、-10010-505yxx y/sqrt(x2+y2)z第17页/共70页2222(0)(0)xyxy222cos sin( , )cos sinxyf x yxycos ,sinxy证明：证明：设其中( , )0( , )cos sin2f x yf x y于是0任给正数2取0则当( , )02f x y时，有( , )(0,0)lim( , )0 x yf x y所以第18页/共70页322200lim,lim0 xxy kxkxf x yxxk下列说法正确吗?( , )x yykx当动点沿着任意一条直线(k为任意常数)趋向于点（0,0）时,有答：不能.( , )f x y00lim,xx

11、yyfx y等于A,则存在.当动点（x,y）沿着任意一条直线趋向于点(0，0)时,函数的极限存在且242,x yf x yxy例如第19页/共70页2444001lim,lim02xxy xxf x yxx( , )x y2yx但当沿抛物线趋向于（0,0）时，有00lim,xxyyfx y故不存在。-10-50510-10-50510-0.500.5xx2 y/(x4+y2)yz第20页/共70页000(,)P xy( , )P x y000(,)P xy00(,)xy注注: 根据二重极限的定义根据二重极限的定义,在点在点的邻域内的邻域内,动点动点趋向于趋向于的方式是任意的的方式是任意的. .

12、于是常常用动点取不同的于是常常用动点取不同的的方法来判定函数极限不存在的方法来判定函数极限不存在. .路径趋向于路径趋向于使其有不同极限使其有不同极限第21页/共70页2. 2. 二元函数的连续性二元函数的连续性 定义定义 3 3 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(000yxP的某邻域内的某邻域内有定义，如果有定义，如果 ),(),(lim0000yxfyxfyyxx 则称二元函数则称二元函数),(yxfz 在点在点),(000yxP处连续如果处连续如果),(yxf在区域在区域 D 内的每一点都连续内的每一点都连续,则称则称),(yxf在区域在区域 D上连续上连续 若令若令yyyxxx

13、00,，则式，则式 ),(),(lim0000yxfyxfyyxx, 可写成可写成0),(),(lim000000yxfyyxxfyx. 即即 0lim00zyx. 第22页/共70页这里这里z为函数为函数),(yxf在点在点),(00yx处的全增量，即处的全增量，即 ),(),(0000yxfyyxxfz. 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点0P),(00yx处不连续， 则称点处不连续， 则称点0P),(00yx为函数为函数),(yxf的不连续点或间断点的不连续点或间断点 同一元函数一样， 二元连续函数的和、 差、 积、 商同一元函数一样， 二元连续函数的和、 差、 积、 商(分分母不

14、等于零母不等于零)及复合函数仍是连续函数及复合函数仍是连续函数 由此还可得“多元初等函数在其定义域内连续” 由此还可得“多元初等函数在其定义域内连续” 第23页/共70页22222200()()(0)(0)xxyyxyxy2222,( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyxyx yf x yxyx y( , )f x y例题3 设试证明在原点处连续。222xy即可取当证明：给定任意小正数第24页/共70页-10-50510-10-50510-20-1001020 xx y (x2-y2)/(x2+y2)yz2222( , )(0,0)( , )xyf x yff x yxyx

15、yxy时就有（MATLAB作图命令)ezsurf(x*y*(x2-y2)/(x2+y2),circ);view(1,1,1);shading flat）( , )f x y，所以在原点连续。第25页/共70页函数的不连续点称为间断点。如函数函数的不连续点称为间断点。如函数22,( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyx yxyf x yx y在点（在点（0，0）的极限不存在，所以该点是函数的）的极限不存在，所以该点是函数的一个间断点。一个间断点。二元函数的间断点有可能还可以形成一条或几条二元函数的间断点有可能还可以形成一条或几条曲线。曲线。第26页/共70页( , )f x

16、y( , )f x y若函数在区域D的每一点都连续，则称函数一个无孔隙、无裂缝的曲面。在区域D上连续。二元连续函数的图形是221zxy22( , )|1x yxy的图形是球心在原点、半径等于1的上半球面。例如连续函数第27页/共70页与闭区间上的一元连续函数的性质类似，在有与闭区间上的一元连续函数的性质类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质：界闭区域上多元连续函数也有如下性质：1()f P2()f P为最大值，为最大值，为最小值。为最小值。12()( )()f Pf Pf P（点（点P在在D上）上）性质性质1（最值定理）（最值定理） 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元上的多元函数，在该区

17、域上有界，且取得最大至于最小函数，在该区域上有界，且取得最大至于最小值。就是说，在值。就是说，在D上至少存在一点上至少存在一点P1及及P2，使，使得得第28页/共70页性质性质2（介值定理）（介值定理） 在有界闭区域在有界闭区域D上的上的多元函数，若取得两个不同的函数值，多元函数，若取得两个不同的函数值，则它在该区域上取得介于这两个值之间则它在该区域上取得介于这两个值之间的任何值。特殊地，若的任何值。特殊地，若a是函数介于最小是函数介于最小值值m与最大值与最大值M之间的一个数，则在之间的一个数，则在D上上至少存在一点至少存在一点Q，使得，使得( )f Qa第29页/共70页注意：根据极限运算法

18、则，可以证明多元连续函数注意：根据极限运算法则，可以证明多元连续函数的和差积均为连续函数；在分母不为零处，连续函的和差积均为连续函数；在分母不为零处，连续函数的商也是连续函数；多元连续函数的复合函数也数的商也是连续函数；多元连续函数的复合函数也是连续函数。是连续函数。有了二元连续函数的运算法则和复合函数的连续性有了二元连续函数的运算法则和复合函数的连续性定理以及已知的一元函数的连续性，就能判断许多定理以及已知的一元函数的连续性，就能判断许多常见的二元函数的连续性，并且注意把常见的二元函数的连续性，并且注意把( ), ( )xy看作是二元连续函数的特殊情况看作是二元连续函数的特殊情况。第30页/

19、共70页22( , )cos()x yf x yexyxy-1-0.500.51-1-0.500.51020406080100例题4 函数( , )f x y都是x，y的连续函数，从而是x，y的连续函数。x=-1:0.1:1;y=x;X,Y=meshgrid(x,y);z=exp(X+Y)*sqrt(X.2+Y.2)+cos(X+Y);surf(X,Y,z)）（MATLAB作图命令：在整个xoy平面上是连续的。因为x和y是x，y的连续函数，所以x2和y2，也是x，y的连续函数，于是x+y，x2+y2，22,cos()x yexyxy第31页/共70页-10-50510-10-50510-100

20、0-50005001000yx+y2 sin(x)/sin(x2+y2)xz222sin( , )sin()xyxf x yxy22sin()0 xy22()xynnZ同样可以判断函数同样可以判断函数当当（即）时连续时连续（MATLAB作图命令：ezsurf(x+y2*sin(x)/sin(x2+y2),circ); shading flat ）第32页/共70页00lim( )()PPf Pf P22( , )(0,0)lim4()4(00)2x yxy( , )(1, 1)lim (arcsinarccos )arcsin1arccos( 1)022x yxx根据多元函数的连续性，若点根据

21、多元函数的连续性，若点P0在此函数的在此函数的定义域内，则函数在点定义域内，则函数在点P0的极限值就是函数在的极限值就是函数在该点的函数值，即该点的函数值，即例如例如第33页/共70页下列问题是否正确？下列问题是否正确？00(,)xy答：不正确.因为二元函数的连续性定义是建立在二重极限的基础之上的,因此,当一个变量固定时，二元函数对另一个变量连续相当于一种特定方式（即点(x,y)沿平行于坐标轴的方式趋于点 时）的极限存在,并不能保证( , )x y00(,)xy00(,)f xy以任何方式趋向于的极限存在且等于( , )f x y就是说不能保证的连续性. 0(, )f xy0y0( ,)f x

22、 y0 x( , )f x y00(,)xy在处连续,在处连续,那末,二元函数在点如果一元函数处是连续的.第34页/共70页2222222( , )(0,)( , )(0,)0lim( , )limlim1x ykxx ykxxxykxkf x yxyxk xk22,( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyx yxyf x yx y例如函数(0, )0fy 一元函数在y=0连续,( ,0)0f x在x=0连续,它的值随着k的变化而变化，所以极限不存在,从而不连续.ykx趋向于点(0,0)时, 有事实上, 当动点(x,y)沿着任意一条直线( , )f x y在(0,0)处不连续

23、.但第35页/共70页思思考考题题 1. 将二元函数与一元函数的极限、连续概念相比将二元函数与一元函数的极限、连续概念相比较，说明二者之间的区别较，说明二者之间的区别 2. 若二元函数若二元函数),(yxfz 在区域在区域 D内分别对内分别对yx,都连续，试问都连续，试问),(yxfz 在区域在区域 D上是否必定连续上是否必定连续? 第36页/共70页( , )vf u vu(,)f xy xy11(13),(13)22xy2arctan()arctan()xyzxy习题1、求时函数的值。，试求2、已知函数( , )lnlnF x yxy(,)( , )( , )( , )( , )F xy

24、uvF x uF x vF y uF y v3、试证明满足如下关系式：第37页/共70页4、求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：2ln(48)zyx（1）zxy（2）2224ln(1)xyzxy（3）22sin()zxy（4）第38页/共70页5、求下列各极限：（1）( , )(0,0)lim1 1x yxyxy （作图命令（作图命令ezsurf(xezsurf(x* *y/(sqrty/(sqrt(x(x* *y+1)-1),circ);y+1)-1),circ);shading flatshading flat）-10-8-6-4-20246810-100101234567x y/(s

25、qrt(x y+1)-1)xyz-10-50510-10-50510246yx y/(sqrt(x y+1)-1)xz第39页/共70页( , )(0, )sin()limx yaxyx（2）22( , )(1,0)ln()limyx yxexy（3）222222( , )(0,0)1 cos()lim()x yxyxyx y（4）第40页/共70页一、多元函数的极值一、多元函数的极值二、条件极值、拉格朗日乘数法二、条件极值、拉格朗日乘数法多元函数的极值与最值要求：要求：1、了解多元函数极值和最值概念，掌握二元函数取得、了解多元函数极值和最值概念，掌握二元函数取得极值的充分条件和必要条件，掌握

26、求函数极值的一般步骤极值的充分条件和必要条件，掌握求函数极值的一般步骤2、理解掌握求条件极值的方法、理解掌握求条件极值的方法拉格朗日乘数法及其解题步骤拉格朗日乘数法及其解题步骤3、能解简单的条件极值应用题、能解简单的条件极值应用题重点：重点：1、二元函数取得极值的条件，判断二元函数极值的方、二元函数取得极值的条件，判断二元函数极值的方法法2、拉格朗日乘数法、拉格朗日乘数法第41页/共70页 一、多元函数的极值极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值 . .使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点 . .1二元函数极值的定义 设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的

27、点若满足不等式，则称函数在有极大值；若满足不等式，则称函数在有极小值；),(yxfz ),(00yx),(00yx),(yx),(),(00yxfyxf),(00yx),(),(00yxfyxf),(00yx第42页/共70页(1(1) )(2(2) )(3(3) )例例1 1 函数函数2243yxz处有极小值处有极小值在在)0 , 0(例例函数函数处有极大值处有极大值在在)0 , 0(22yxz处有极大值处有极大值在在)0 , 0(例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 如图1如图2如图3第43页/共70页2 2多元函数取得极值的条件定理 1 1（二元函数取得极值的必要条件）设

28、函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，. .),(yxfz ),(00yx),(00yx0),(00yxfx0),(00yxfy证),(00yx不妨设不妨设在点在点处有极大值处有极大值,则对于则对于的某邻域内任意的某邻域内任意都有都有,),(yxfz ),(00yx),(),(00yxyx),(),(00yxfyxf第44页/共70页故当故当时，时， 有有00,xxyy),(),(000yxfyxf说明一元函数说明一元函数在在处有极大值，处有极大值，),(0yxf0 xx 必有必有;0),(00yxfx类似地可证类似地可证.0),(00yxfy推广推广 如果三元函数

29、如果三元函数在点在点具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在有极值的必要条有极值的必要条件为件为),(zyxfu ),(000zyxP),(000zyxP ，.;0),(000zyxfx0),(000zyxfy0),(000zyxfz第45页/共70页 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点零的点，均称为函数的驻点. .问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 驻点驻点极值点极值点注意注意：定理定理 2 2（二元函数取得极值的充分条件）（二元函数取得极值的充分条件） 设函数设函数在点在点的某邻域内连续，的某邻

30、域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数， ),(yxfz ),(00yx.例如例如 点点是函数是函数的驻点，的驻点， 但不是极值点但不是极值点xyz )0,0(第46页/共70页又又 ，0),(00yxfx0),(00yxfyAyxfxx),(00Byxfxy),(00 令令，Cyxfyy),(00则则在点在点处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：),(yxf),(00yx（1 1）时具有极值，时具有极值，02 BAC当当时有极大值，时有极大值， 当当时有极小值；时有极小值；0A0A（3 3）时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作

31、讨论还需另作讨论02 BAC（2 2）时没有极值；时没有极值；02 BAC第47页/共70页求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第一步第一步 解方程组解方程组 , 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点 .第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值 .第48页/共70页例例4 4求函数的极值求函数的极值333yxxyz解解033),(033),(22yyyxfxyyxfyx求得驻点求得驻点)0

32、, 0() 1 , 1 (，在点处在点处)0 , 0(06)0 , 0()0,0(xfAxx3)0 , 0(xyfB06)0 , 0()0,0(yfAyy第49页/共70页092ACB所以，在处函数没有极值所以，在处函数没有极值)0 , 0(在点处在点处) 1 , 1 (66) 1 , 1 ()1 , 1(xfAxx3) 1 , 1 (xyfB66) 1 , 1 ()1 , 1(yfAyy0272ACB又又06 A所以，在处函数有极大值且所以，在处函数有极大值且) 1 , 1 (1) 1 , 1 (f第50页/共70页求最值的一般方法： 1 1）将函数在）将函数在D D内的所有驻点处的函数值内

33、的所有驻点处的函数值 2 2）求）求D D的边界上的最大值和最小值的边界上的最大值和最小值 3 3）相互比较函数值的大小，其中最大者）相互比较函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值即为最大值，最小者即为最小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值. .3 多元函数的最值第51页/共70页解解先求函数在先求函数在D内的驻点，内的驻点，xyo6 yxDD如图如图,例例 5 5 求二元函数求二元函数 在直线在直线， 轴和轴和 轴所围成的闭区域轴所围成的闭区域上的最大值与最小值上的最大值与最

34、小值.)4(),(2yxyxyxfz6 yxxyD第52页/共70页解方程组解方程组0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx再求再求在在边界上的最值，边界上的最值，D),(yxf得区域得区域内唯一驻点内唯一驻点,且且D4) 1 , 2(f) 1 , 2( 在边界在边界和和上上,0 x0y0),(yxf第53页/共70页xyo6 yxD在边界在边界上上，即，即6 yxxy 6于是于是,)6)(2(),(2xxyxfz由由 , 02)6(42xxxfx得得4, 021xx264xxy64)2 , 4(f 比较后可知比较后可知为最大值为最大值,为最小值为最小值.4)

35、 1 , 2(f64)2 , 4(f第54页/共70页, 0) 1()(2) 1(22222yxyxyyxzy, 0) 1()(2) 1(22222yxyxxyxzx解解 由由例例 6 6 求求的最大值和最小值的最大值和最小值.122yxyxz得驻点得驻点和和,)21,21()21,21(第55页/共70页即边界上的值为零即边界上的值为零.,21)21,21(z,21)21,21(z无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件，并无其他条件. .因为因为01lim22yxyxyx所以最大值为所以最大值为，最小值为最小值为2121第56页/共70页例例7 某

36、厂要用铁板做成一个体积为某厂要用铁板做成一个体积为2的有盖长的有盖长方体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才方体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？能使用料最省？此水箱的用料面积此水箱的用料面积0)y0,(x )22(2)22(2yxxyxyxxyyxyA解解：设水箱的长为：设水箱的长为x,x,宽为宽为y,y,则其高为则其高为xy2第57页/共70页332,2 yx332,2 yx时，时，A A取得最小值，取得最小值，根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域定存在，并在开区域D(x0,y0)D(x0,y0)内取得。又函数内

37、取得。又函数在在D D内只有唯一的驻点，因此可断定当内只有唯一的驻点，因此可断定当就是说，当水箱的长、宽、高均为就是说，当水箱的长、宽、高均为3332,2,2时，时，水箱所用的材料最省。水箱所用的材料最省。0)2(20)2(222yxAxyAyx第58页/共70页实例：实例： 小王有小王有200200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为，效果函数为 设每张磁盘设每张磁盘8 8元，每盒磁带元，每盒磁带1010元，问他如何元，问他如

38、何分配这分配这200200元以达到最佳效果元以达到最佳效果xyyxyxUlnln),(问题的实质：求问题的实质：求 在条件在条件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),(200108yx二、条件极值、拉格朗日乘数法第59页/共70页拉格朗日乘数法 条件极值：对自变量有附加条件的极值对自变量有附加条件的极值无条件极值：对自变量除有定义域限制外，对自变量除有定义域限制外，无任何其它条件限制的极值无任何其它条件限制的极值要找函数要找函数在条件在条件下的下的可能极值点，可能极值点，),(yxfz 0),(yx 其中其中 为某一常数，可由为某一常数，可由先构造函数先构造函数),(),(),(yxyx

39、fyxF 0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出，其中其中就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标. , yxyx,第60页/共70页拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数在条件在条件 ，下的极值，下的极值，),(tzyxfu 0),(tzyx 0),(tzyx 先构造函数先构造函数),(),(),(),(21tzyxtzyxtzyxftzyxF 其中其中均为常数，可由均为常数，可由 偏导数为零及条件解出偏导数为零及条件解出，即得极值点的坐标，即得极值点的坐标.tzyx,21, 第61页/共70页例例 8 8 将正数将正数12 分成三个正数分成三个正数zyx,之和之和