高考专题复习第一节　直线方程与两条直线的位置关系

1、第八章解析几何第一节直线方程与两条直线的位置关系学习要求-公众号：新课标试卷:1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直,能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正方向与直线l 向上的方向 之间所成的角叫做直线l的倾斜角,当直线l与x轴 平行或重合 时,规定它的倾斜角为0

2、.(2)范围:直线l的倾斜角的范围是 0,) .2.斜率公式(1)若直线l的倾斜角90,则斜率k= tan .(2)若P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1x2,则l的斜率k=y2-y1x2-x1 .3.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式 y-y0=k(x-x0) 直线不垂直于x轴斜截式 y=kx+b 直线不垂直于x轴两点式 y-y1y2-y1=x-x1x2-x1 (x1x2,y1y2)直线不垂直于x轴,y轴截距式 xa+yb=1 (a0,b0)直线不垂直于x轴,y轴且不过原点一般式 Ax+By+C=0 (A2+B20)平面直角坐标系内的直线都适用提醒当直线与x轴不垂直

3、时,可设直线的方程为y=kx+b;当不确定直线的斜率是否存在时,可设直线的方程为ky+x+b=0.4.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行:对于两条不重合的直线l1、l2,若斜率分别为k1、k2,则有l1l2 k1=k2 .特别地,当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时,l1与l2 平行 .(2)两条直线垂直:若两条直线l1、l2的斜率都存在,设为k1、k2,则有l1l2 k1k2=-1 .当一条直线的斜率为零,另一条直线的斜率不存在时,两条直线互相 垂直 .提醒当两条直线平行时,不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况;当两条直线垂直时,不要忘记一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零的

4、情况.5.三种距离点点距点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 点线距点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= |Ax0+By0+C|A2+B2 线线距两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d= |C1-C2|A2+B2 提醒解题时,点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中的直线方程必须是一般式.特别地,在两平行直线间的距离公式中,两直线方程的一般式中的x,y的系数要对应相等.知识拓展1.直线的斜率k和倾斜角之间的关系(1)当直线不垂直于x轴时,直线的斜率和直线的倾斜角一一对应.(2)当

5、直线l的倾斜角0,2时,越大,直线l的斜率越大;当2,时,越大,直线l的斜率越大.(3)所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率.2.直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mR且mC).(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(nR).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R),但不包括l2.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2)若两直线的方程组成的方程

6、组有解,则两直线相交.()(3)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为|kx0+b|1+k2.()(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.()(5)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k0)对称,则直线AB的斜率等于-1k,且线段AB的中点在直线l上.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.若k0,b0,则直线y=kx+b不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B3.(新教材人教A版选择性必修第一册P66T1改编)过点P(-1,3)且倾斜角为30的直线方程为()A.3x3y+43=0B.3xy+23=0

7、C.3x3y+23=0D.3x-y=0答案A4.(新教材人教A版选择性必修第一册P67T1改编)过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为.答案3x-2y=0或x+y-5=05.直线l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,若l1l2,则m=.答案2直线的倾斜角与斜率典例1(1)直线2xcos -y-3=06,3的倾斜角的取值范围是()A.6,3B.4,3C.4,2D.4,23(2)已知点A(2,3),B(-3,-2),若直线l过点P(1,1),且与线段AB始终没有交点,则直线l的斜率k的取值范围是()A.34k2或k34D.k2答案(1)B(2)A解析(1)直线2x

8、cos -y-3=0的斜率k=2cos ,因为6,3,所以12cos 32,因此k=2cos 1,3.设直线的倾斜角为,则有tan 1,3,又0,),所以4,3,即倾斜角的取值范围是4,3.(2)易知kAP=3-12-1=2,kBP=-2-1-3-1=34,作出直线AP,BP,线段AB,如图:因为直线l与线段AB始终没有交点,所以直线l的斜率k的取值范围是34,2.故选A.名师点评(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时,常借助正切函数y=tan x的单调性求解.(2)过一定点作直线与已知线段相交,求直线斜率的取值范围时,应注意倾斜角为2时,直线斜

9、率不存在的情况.1.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是()A.0,4B.0,234,C.2,D.34,答案D设直线的斜率为k,倾斜角为,由题意可知k=-1a2+1,-1k0,即-1tan 0,倾斜角的取值范围是34,.2.已知点A(1,3),B(-2,-1).若过点P(2,1)的直线l与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是()A.k12B.k-2C.k12或k-2D.-2k12答案D作出直线PA,PB,线段AB,如图.由图可知,若直线l与线段AB相交,则kPAkkPB,kPA=-2,kPB=12,-2k12,故选D.直线的方程典例2根据所给条件求直线的方程:(1)直线过点

10、(-4,0),倾斜角的正弦值为1010;(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;(3)直线过点(5,10),且原点到该直线的距离为5.解析(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式求解.设直线的倾斜角为,则sin =1010(00)与直线l2:2x+6y-3=0的距离为10,则m=()A.7B.172C.14D.17答案B直线l1:x+3y+m=0(m0)即2x+6y+2m=0(m0),因为它与直线l2:2x+6y-3=0的距离为10,所以|2m+3|4+36=10,解得m=172或m=232(舍去).故选B.2.已知点M是直线x+3y=2上的一个动点,且P(3,-1

11、),则|PM|的最小值为()A.12B.1C.2D.3答案B|PM|的最小值即点P(3,-1)到直线x+3y=2的距离,又|3-3-2|1+3=1,故|PM|的最小值为1.故选B.3.设A为直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx+y+3=0的交点,P,Q分别为l1,l2上的点,M为PQ的中点.若|AM|=12|PQ|,则m的值为()A.2B.-2C.3D.-3答案A在APQ中,M为PQ的中点,且|AM|=12|PQ|,APQ为直角三角形,且PAQ=90,l1l2,1m+(-2)1=0,解得m=2.故选A.对称问题角度一点关于点对称典例5过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8

12、=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,求直线l的方程.解析设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,将点B的坐标代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,则A(4,0),又P(0,1),所以直线l的方程为x+4y-4=0.角度二点关于线对称典例6如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是()A.210B.6C.33D.25答案A易得直线AB的方程为x+y=4,设点P关于直线AB的对称点为A

13、1,则A1(4,2),点P关于y轴的对称点为A2,则A2(-2,0),则光线所经过的路程即A1(4,2)与A2(-2,0)两点间的距离,即|A1A2|=(4+2)2+(2-0)2=210.角度三线关于线对称典例7已知三角形的一个顶点A(4,-1),它的两条角平分线所在的直线分别为l1:x-y-1=0和l2:x-1=0,则BC边所在直线的方程为. 答案2x-y+3=0解析易得A不在l1和l2上,因此l1,l2为B,C的平分线,所以点A关于l1,l2的对称点在BC边所在的直线上,设点A关于l1的对称点为A1(x1,y1),点A关于l2的对称点为A2(x2,y2).则4+x12-y1-12-1=0,

14、y1+1x1-41=-1,解得x1=0,y1=3,所以A1(0,3),又易得点A关于l2的对称点A2的坐标为(-2,-1),所以BC边所在直线的方程为y-3x=3-(-1)0-(-2),即2x-y+3=0.名师点评1.关于中心对称问题的处理方法(1)若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得x=2a-x1,y=2b-y1.(2)求直线关于点的对称直线的方程的主要方法:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用两直线平行,由点斜式得到所求直线方程,当然斜率必须存在.2.关于轴对称问题的处

15、理方法若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在l上,且直线P1P2垂直于直线l,由方程组Ax1+x22+By1+y22+C=0,y2-y1x2-x1-AB=-1,可得点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B0,x1x2).1.(2019岳阳模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是() A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0答案D2.已知直线l:3x-y+3=0,求:(1)点P(4,5)关于直线l的对称点;(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程;(3

16、)直线l关于(1,2)的对称直线.解析(1)设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P(x,y),kPPkl=-1,y-yx-x3=-1.又PP的中点在直线3x-y+3=0上,3x+x2y+y2+3=0.联立得x=-4x+3y-95,y=3x+4y+35.把x=4,y=5代入得x=-2,y=7,点P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(-2,7).(2)用分别替换x-y-2=0中的x,y,得关于l对称的直线方程为-4x+3y-953x+4y+35-2=0,化简得7x+y+22=0.(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),设其关于(1,2)的对称点为M(xM,yM),x

17、M+02=1,则xM=2,yM+32=2,则yM=1,M(2,1).又l关于(1,2)的对称直线平行于l,k=3,所求直线方程为y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.A组基础达标1.直线l:xsin 30+ycos 150+1=0的斜率是()A.33B.3C.3D.33答案A2.(多选题)(2020广东惠州高三期末)如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为1,2,3,则下列选项中正确的是()A.k1k3k2B.k3k2k1C.132D.320,1+2k0,解得k0;当k=0时,直线l的方程为y=1,符合题意.综上,k的取值范围是k0.(3)依题意得A-1+2kk

18、,0,B(0,1+2k),且-1+2kk0,解得k0.S=12|OA|OB|=12-1+2kk|1+2k|=12(1+2k)2k=124k+1k+412(22+4)=4,当且仅当4k=1k(k0),即k=12时,等号成立.Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.C组思维拓展14.在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,再沿y轴正方向平移5个单位长度得到直线l1.将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,再沿y轴负方向平移2个单位长度,所得直线与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,3)对称,则直线l的方程是.答案6x-8y+1=0解析由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b,将直线l沿